第六讲、数论专题（一）

第六讲、数论专题（一）

知识点：

1、整除：如果整数a除以整数b（b≠0），除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或吧，能整除a，记b∣a 2、整除的性质：

⑴如果a与b都能被c整除，那么a与b的和与差也能被c整除 ⑵如果a与b的积能整除c，则a与b都能整除c

⑶如果a与b都能整除c，且a与b互质，那么a与b的积也能整除c ⑷如果a能整除b，b能整除c，那么a能整除c ⑸1能整除任意整数，任意非0整数都能整除0 3、特殊数的整除特征： ⑴2,5 ⑵3,9 ⑶4,25

⑷8,125 ⑸7,11,13 ⑹11

4、约数个数的计算：指数加1的乘积

例：24×53的约数个数是（4+1）×（3+1）=20（个） 5、最大公因数、最小公倍数表示法： （A，B）最大公因数 [A，B] 最小公倍数 A×B=（A,B)×[A，B]

6、同余：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a，b模m同余，记a≡b（modm）

7、同余的性质

⑴若a≡b（modm），b≡c（modm），则a≡c（modm）

⑵若a≡b（modm），c≡d（modm），则a ±c≡b±c（modm），ac≡bd（modm） ⑶若ac≡bc（modm）且（c，m）=1，则a≡b（modm） 8、特殊数求余 ⑴尾数判断法：

一个数除以2,5的余数，与它的末一位除以2或5的余数相同。

一个数除以4,25的余数，与它的末两位除以4或25的余数相同 一个数除以8,125的余数，与它的末三位除以8或125的余数相同 ⑵数字求和法

一个数除以3,9的余数，与它的各位数字之和除以3,9的余数相同 ⑶奇偶位求差法

一个数除以11的余数，与它的“奇位数字和”减去“偶数位数字和”的差除以11的余数相同 ⑷分段判断法：

一个数除以7,11,13的余数，与它从右向左每三位一分段，奇数段的和减去偶数段的和除以7,11,13的余数相同。

例1、将1，2,3...依次写下去组成一个数12345678910111213……，如果写到某个自然数时，所组成的数恰好第一次能被225整除，那么最后写出的自然数时多少？

练1、小明和小刚做一个数学游戏，两人在黑板上轮流写下从1开始的连续自然数：1,2,3，......，小明先写然后依次写下去，写在黑板上的数组成了一个多位数1234567891011......两人约定，若有人写到某个自然数时，黑板上的数所组成的

多位数第一次为90的倍数，游戏结束，并算此人获胜。请问谁将获胜？最后写出的自然数是多少？

例2、已知一个六位数能被21整除，它的前三位数字相同，后三位数字也相同，这样的六位数共有多少个？

练2、一个六位数时77的倍数，如果它的后三位构成的三位数是前三位构成的三位数的2倍，那么这样的六位数有多少个？

例3、（1）算式1×2×3×...×29×30的计算结果的末尾有几个连续的0？ （2）算式31×32×33×...×150的计算结果的末尾有几个连续的0？

练3、算式2×4×6×...×100的计算结果的末尾有多少个连续的0？

例4、在射箭运动中，每射一箭得到的环数或者是”0”(脱靶），或者是不超过10的正整数。甲乙两名运动员各射了5箭，每人5箭得到的环数的乘积都是2520，求甲乙的成绩最多相差多少环？

练4、两名运动员进行一场乒乓球比赛，三局两胜，每局先得11分者为胜，如果达到10平，则先多得2分者为胜，结果三局比赛下来，单方最高得分不超过20分，把每人每局得分乘在一起恰为480480，那么各局的比分分别是多少？（按大比小的方式写出）

例5、A、B两数都反含有质数3和5，它们的最大公约数是75，已知A有12个约数，B有10个约数，那么A、B两数的和是多少？

练5、两个自然数的最小公倍数是20000,且其中一个数有12个约数，另外一个数有20个约数，那么这两个数的差是多少？

例6、已知a与b的最大公约数是14，a与c的最小公倍数是350，b与c的最小公倍数也是350，满足上述条件的正整数a，b，c共有多少组？

练6、有三个整数a，b，c，且a>b>c，a，b，c的最大公约数是15，a，b的最大公约数是75；a，b的最小公倍数是450；b，c的最小公倍数是1050，那么c是多少？

例7、在一个带有余数的除法算式中，商比除数大2，且其中的最大数与最小数之差是1023，请问：此算式中的4个数的和最大可能是多少？

练7、在一个带有余数的除法算式中，商与除数的和为20，且其中被除数与除数之差是90，余数比除数小1,那么算式中的4个数的和最大可能是多少？

例8、6+82+83+......+82013除以5的余数是多少？

练8、6+62+63+......+620除以7的余数是多少？

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