1995考研数二真题及解析

1995年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1) 设y?cos(x)sin221,则y??＿＿＿＿＿＿. x(2) 微分方程y???y??2x的通解为＿＿＿＿＿＿.

2??x?1?t(3) 曲线?在t?2处的切线方程为＿＿＿＿＿＿. 3??y?t(4) lim(n??12n??L?)?＿＿＿＿＿＿.

n2?n?1n2?n?2n2?n?n2(5) 曲线y?x2e?x的渐近线方程为＿＿＿＿＿＿.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)

(1) 设f(x)和?(x)在(??,??)内有定义,f(x)为连续函数,且f(x)?0,?(x)有间断点,

则 ( ) (A) ?[f(x)]必有间断点 (B) [?(x)]2必有间断点 (C) f[?(x)]必有间断点 (D)

?(x)必有间断点 f(x)(2) 曲线y?x(x?1)(2?x)与x轴所围图形的面积可表示为 ( )

(A) ?(B)

?20x(x?1)(2?x)dx

21??10x(x?1)(2?x)dx??x(x?1)(2?x)dx

10(C) ?(D)

?x(x?1)(2?x)dx??x(x?1)(2?x)dx

1220x(x?1)(2?x)dx

(3) 设f(x)在(??,??)内可导,且对任意x1,x2,当x1?x2时,都有f(x1)?f(x2),则

( )

(A) 对任意x,f?(x)?0 (B) 对任意x,f?(?x)?0 (C) 函数f(?x)单调增加 (D) 函数?f(?x)单调增加

(4) 设函数f(x)在[0,1]上f??(x)?0,则f?(1)、f?(0)、f(1)?f(0)或f(0)?f(1)的大小

顺序是 ( ) (A) f?(1)?f?(0)?f(1)?f(0) (B) f?(1)?f(1)?f(0)?f?(0) (C) f(1)?f(0)?f?(1)?f?(0) (D) f?(1)?f(0)?f(1)?f?(0) (5) 设f(x)可导,F(x)?f(x)(1?|sinx|),若使F(x)在x?0处可导,则必有 ( )

(A) f(0)?0 (B) f?(0)?0 (C) f(0)?f?(0)?0 (D) f(0)?f?(0)?0

三、(本题共6小题,每小题5分,满分30分.) (1) 求lim?x?01?cosx. x(1?cosx)f(y)(2) 设函数y?y(x)由方程xed2y?e确定,其中f具有二阶导数,且f??1,求2.

dxyx2(3) 设f(x?1)?ln2,且f[?(x)]?lnx,求??(x)dx.

x?221??xarctan2,x?0,(4) 设f(x)??试讨论f?(x)在x?0处的连续性. x?? 0, x?0,?x?1?cost(5) 求摆线?一拱(0?t?2?)的弧长.

?y?t?sint(6) 设单位质点在水平面内作直线运动,初速度vt?0?v0,已知阻力与速度成正比(比例常

数为1),问t为多少时此质点的速度为

四、(本题满分8分)

求函数f(x)?v0？并求到此时刻该质点所经过的路程. 3?x20(2?t)e?tdt的最大值和最小值.

五、(本题满分8分)

x设y?e是微分方程xy??p(x)y?x的一个解,求此微分方程满足条件yx?ln2?0的特

解.

六、(本题满分8分)

如图,设曲线L的方程为y?f(x),且y???0,又MT,MP分别为该曲线在点

M(x0,y0)处的切线和法线,已知线段MP的长度为???y??(x0)),试推导出点P(?,?)的坐标表达式. y0

七、(本题满分8分)

设f(x)?(1?y?)??y?(x0), (其中y0??y03220y P(?,?) ? L M(x0,y0) T O x ?x0?sintdt,计算?f(x)dx.

0??t

八、(本题满分8分)

设limx?0f(x)?1,且f??(x)?0,证明f(x)?x. x

1995年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】?2xsin(x2)?sin21?xcos(x2)?sinx22x

【解析】该函数是由两个复合函数的乘积构成,满足复合函数求导法则,

?sin21?cos(x2)?sin2?cos(x) y??????x?21?? ?x?1111?cos(x2)?2sin?cos?(?1)2 xxxx2cos(x2)?sin1x. ??2xsin(x2)?sin2?2xx ??sin(x)?2x?sin22【相关知识点】复合函数求导法则：y??(f(x))的导数为y????(f(x))f?(x). (2)【答案】y?c1cosx?c2sinx?2x

【解析】微分方程y???y??2x对应的齐次方程y???y?0的特征方程为r?1?0, 特征根为r1,2??i,故对应齐次方程的通解为C1cosx?C2sinx.

设非齐次方程的特解Y?ax?b,则Y??a,Y???0,代入微分方程y???y??2x,得

20?ax?b??2x,

比较系数得a??2,b?0,故Y??2x.所以通解为

y?C1cosx?C2sinx?2x.

【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构：设y(x)是二阶线性非齐次方程

*y???P(x)y??Q(x)y?f(x)的一个特解.Y(x)是与之对应的齐次方程 y???P(x)y??Q(x)y?0的通解,则y?Y(x)?y*(x)是非齐次方程的通解.

2. 二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解

Y(x),可用特征方程法求解：即y???P(x)y??Q(x)y?0中的P(x)、Q(x)均是常数,方程

2变为y???py??qy?0.其特征方程写为r?pr?q?0,在复数域内解出两个特征根r 1,r2；

分三种情况：

(1) 两个不相等的实数根r1,r2,则通解为y?C1e

rx1?C2er2x;

1(2) 两个相等的实数根r1?r2,则通解为y??C1?C2x?e;

rx?x(3) 一对共轭复根r1,2???i?,则通解为y?e?C1cos?x?C2sin?x?.其中C1,C2为常数.

3.对于求解二阶线性非齐次方程y???P(x)y??Q(x)y?f(x)的一个特解y*(x),可用待定系数法,有结论如下：

?x*k?x如果f(x)?Pm(x)e,则二阶常系数线性非齐次方程具有形如y(x)?xQm(x)e

的特解,其中Qm(x)是与Pm(x)相同次数的多项式,而k按?不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.

如果f(x)?e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x],则二阶常系数非齐次线性微分方程

y???p(x)y??q(x)y?f(x)的特解可设为

(1)(2)y*?xke?x[Rm(x)cos?x?Rm(x)sin?x],

(1)(2)其中Rm(x)与Rm(x)是m次多项式,m?max?l,n?,而k按??i?(或??i?)不是特征

方程的根、或是特征方程的单根依次取为0或1. (3)【答案】y?3x?7?0 【解析】切线的斜率为

dydxt?2dy?dtdxdt3t2?2tt?2t?23?t?3. 2t?2当t?2时,x?5,y?8.故所求切线方程为 y?8?3(x?5).化简得 y?3x?7?0.

【相关知识点】参数方程所确定函数的微分法：如果?(4)【答案】

?x??(t)dy??(t)?,则.

?dx?(t)y??(t)?1 2【解析】应用夹逼准则求数列的极限.令

12n??? 222n?n?1n?n?2n?n?n12n?2??2则 an?2

n?n?nn?n?nn?n?nan?

【相关知识点】积分上限函数的求导公式：

d??x?f?t?dt?f???x?????x??f???x?????x?. ??x??dx

五、(本题满分8分)

【解析】把y?ex和y??ex代入所给的一阶线性微分方程,得

xex?p(x)ex?x,

解得 p(x)?xe?x?x.

线性方程被确定为xy??(xe?x?x)y?x,即

y??(e?x?1)y?1.

这是一阶线性非齐次微分方程,通解为 y?e??(e?x?1)dx?e?(e?x?1)dxdx?C? ??????e?x?x ?ee?x?x??eln2dx?C?e?e?x?x?e?e?e?x?x???e?x?dx?C?eedx?C????? ??ex??????x?? ?ee再由 y?x?x(e?e?C)?ex?Cee?Cex?x?x?x.

?12x?ln2?0得ee?ln2?ln212?0,即C??e.

.

故所求的特解为 y?e?ee?x?x?【相关知识点】一阶线性非齐次微分方程y??p(x)y?q(x)的通解公式为:

?p(x)dxp(x)dxy?e?(?q(x)e?dx?C),其中C为常数.

六、(本题满分8分)

?,y0??,表示出?,?. 【解析】要求点P的坐标,也就是说,要用x0,y0,y0由MP?1?y?0?232???,有 y0(??x0)2?(??y0)2??1?y0?2???2y03, ①

又由法线的斜率与切线斜率互为负倒数的关系,知

???y0

??x0, ②

??y0

?(??y0)代入①消去?,得到 把②式,即(??x0)??y0?2)2/y0??2, ③ (??y0)2?(1?y0?21?y0由y???0,知曲线是向上凹的,容易看出??y0,所以③可化为 ??y0?,

??y0?(1?y0?2)y0?(??y0)??且 ??x0??y0,

??y0?y0?2???x?(1?y),00???y?0于是得 ?

1???y?(1?y?2).00???y0?

七、(本题满分8分)

【解析】方法一：这是一个积分上限函数求定积分,可以考虑用定积分的分部积分法.

由于 f?(x)?因而由分部积分法和f(0)?sinx, ??x?00sintdt?0,有 ??t?0??0f(x)dx??f(x)d(x??)?f(x)(x??)0???f?(x)(??x)dx

0???(??x)0??sinx?dx??sinxdx???cosx?0?2.

0??x方法二：对于二重积分

??0f(x)dx???0?xsint?dt?dx,可以通过变换积分次序来求解. ??0???t??其中

?0f(x)dx???0sint?xsint?dtdx?dtdx, ??0?????t??t??DD??(x,t)0?x??,0?t?x???(x,t)0?t??,t?x???.于是

??0f(x)dx???0?sint????sint?dx?dt??dt?dx??sintdt?2. ??t0??tt0??t??

八、(本题满分8分) 【解析】由于 limx?0f(x)?1,所以必有f(0)?0,且 x

f?(0)?limx?0f(x)?f(0)f(x)?lim?1. x?0x?0x证法一：用函数单调性证明不等式. 令 ?(x)?f(x)?x,

则 ??(x)?f?(x)?1?f?(x)?f?(0). 由于f??(x)?0,所以函数f?(x)单调增加,

????(x)?f?(x)?f?(0)?0,x?0,

?????(x)?f(x)?f(0)?0,x?0,??(x)在x?0由负变正,所以x?0是?(x)的极小值点也是最小值点,

?(x)?f(x)?x??(0)?f(0)?0?0,

即f(x)?x. 证法二：用泰勒公式.

f(x)?f(0)?f?(0)x?因为f??(x)?0,所以 所以 f(x)?x?

11f??(?)x2?x?f??(?)x2. 2!21f??(?)x2?0. 21f??(?)x2?x. 2

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