高考数学知识考点精析3：函数的单调性、周期性、奇偶性、反函数

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第三讲函数的单调性、周期性、奇偶性、反函数

一、函数的单调性：

1、定义：对于给定区间D上的函数f(x)，若对于任意x1,x2∈D,当x1 f(x2)，则称f(x)是区间上的减函数。如果函数y= f(x)在区间上是增函数或减函数，就说函数y= f(x)在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f(x)的单调区间。D

2、函数单调性的证明方法：通常根据定义，其步骤是：1）任取x1，x2∈D，且x1

f?x1??f?x2??0??0??增?减? 任意x1,x2∈

x1?x2f?x2??f?x1??0?，并变形，（4）判定f(x1)－ f(x2)的符号，或比f?x1?f?x2?较与1的大小， 4）根据定义作出结论。

f?x1?有

时

也

根

据

导

数

。

（注：逆命题不x?D,f/?x??0?f?x?在D上递增，f/?x??0?f?x?在D上递减。成立）

3、常见函数的单调性：

（1） 一次函数y=kx+b（k≠0） 1）当k>0时，f(x)在R上是增函数。2）当k<0时，f(x)

在R上是减函数。 （2） 二次函数y=ax+bx+c 1）当a>o时，函数f(x)的图象开口向上，在（－∞，－上是减函数，在[－

2b）2ab，＋∞）上是增函数，2) 当a<0时，函数f(x)的图象开口向下，在2abb（－∞，－）上是增函数，在[－，＋∞）是减函数。

2a2ak（3） 反比例函数y=?k?0? 1) 当k>0时，f(x)在（－∞，0）与（0，＋∞）上都是减函

x数，2) 当k<0时，f(x)在（－∞,0）与（0，＋∞）上都是增函数但要注意在（－∞，0）∪（0，＋∞）上f(x)没有单调性。

b（4） 对钩函数：y?ax??ax0,b??b??b0?,增区间为????,?a?,?a,????，

???? ?b??b?减区间为??,0?,0,??图象如右： ??a??a??------珍贵文档!值得收藏！------ ------精品文档!值得拥有！------

可采用导数法判断。

（5）指数函数y?a,a???单调递增，0?a??时，单调递减 （6）对数函数y?logax,a?1时单调递增,0?a??时单调递减。 （7）三角函数：

x?3???????y=sinx的增区间是?-?2k?,?2k??,减区间是??2k?,?2k??k?Z22?2??2? y=cosx的增区间是?-??2k?,2k??的减区间是?2k?,??2k??,k?Z????y=tanx的增区间是?-?k?,?k??,cotx的减区间是?k?,??k??2?2?二、函数的奇偶性与周期性：

1、函数的奇偶性定义：对于函数f（x）的定义域内的每一个值x，都有f（-x）=f（x），那

么称f（x）为偶函数，如果对每一个值x都有f（-x）=-f（x），则称f（x）为奇函数。 2、奇、偶函数的性质：（1）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。（2）奇函数在关于原点的对称区间上的单调性相同，偶函数在关于原点的对称区间上的单调性相反。

（3）若奇函数有对称轴x=a,则它有周期T=4a,偶函数有对称轴x=a,则它有周期T=2a, （4）若奇函数在x=0处有定义则f(0)=0 3、函数的奇、偶性类型： （1）奇函数：如?1?y?kx,?2?y?2k,?3?y?x2n?1?n?N??4?y?sinx,?5?y?tanx, x2n（2）偶函数：如?1?y?x?c,?2?y?x,?3?y?cosx,?4?y?xsinx,?5?y?x?n?z?

???21y?kx?ckc?02y?ax?bxab?03y?sinx?????????????3? （3）非奇非偶函数：如??4?y?x?1,?5?y?ax,?a0,a?1?（4）既是奇函数又是偶函数：仅有一类：在定义域关于原点的对称区间上恒有f（x）=0. 4、定义：对于函数f（x）的定义域内的每个值x都有f（x+T）=f（x）（T?0）,则称f（x）为周期函数，T为它的一个周期。若T为f（x）的周期，则kT也是f（x）的周期，k为任一非0整数。

5、若f(x)满足f(x?a)?f(x?b)，那么f(x)是周期函数，一个周期是

T＝｜a?b｜；

三、反函数：

1、定义：设式子y=f(x)表示y是x的函数，定义域为A，值域为C，从式子y=f(x)中解出x，得到式子x=?(y),如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x=?(y)，x在A中都有唯一确

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定的值和它对应，那么式子x=?(y)就表示y是x的函数，这样的函数，叫做y=f(x)的反函数，记作x=f?1(y),即x=?(y)＝f?1(y)，一般对调x=f?1(y)中的字母x,y,把它改写成y =f?1(x) 2、求反函数的步骤是：（1）将y=f(x)看成方程，解出x=f?1(y)（2）将x,y互换得y =f?1(x) （3）写出反函数的定义域，（可根据原函数的定义域或反函数的解析式确定）（4）分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数再合成。 3、反函数的一些性质：（1）反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域，称为互调性，（2）定义域上的单调函数必有反函数，且单调性相同（即函数与其反函数在各自的定义域上的单调性相同），对连续函数而言，只有单调函数才有反函数，但非连续的非单调函数也可能有反函数，（3）函数y=f(x)的图象与其反函数y =f?1(x)的图象关于直线y=x对称，（4）函数y=f(x)的图象与其反函数y =f

?1(x)的图象的交点，当它们是递增时，交点在直线

y=x上。当它们递减时，交点可以不在直线y=x上，

?1??11?如y???与y?log1x互为反函数且有一个交点是?，?，它不在直线y=x上

?16??24?16

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