第三章 三角函数、解三角形 阶段质量检测

第三章 三角函数、解三角形

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的)

1．已知sinα＝

2m－5m

cosα＝－，且α为第二象限角，则m的允许值为 ( ) m＋1m＋1

55

A.＜m＜6 B．－6＜m＜ 223C．m＝4 D．m＝4或m＝

22m－52m2

解析：由sin2α＋cos2α＝1得，()＋(－＝1，

m＋1m＋13

∴m＝4，又sinα＞0，cosα＜0，

2把m的值代入检验得，m＝4. 答案：C

ππ3．已知0<α<sin2α＝sin(α＋)的值等于 ( )

425443718

A. B. C. D.552525π724解析：由0<α<sin2α＝>0知cos2α＝

4252524272

由cos2α＝1－2sin2α＝sinα＝cosα＝.

251010π224

∴sin(α＋＝sinα＋cosα＝.

4225答案：A

2．函数y＝|sinx|－2sinx的值域是 ( ) A．[－3，－1] B．[－1,3] C．[0,3] D．[－3,0]

解析：当0≤sinx≤1时，y＝sinx－2sinx＝－sinx，此时y∈[－1,0]；当－1≤sinx＜0时，y＝－sinx－2sinx＝－3sinx，这时y∈(0,3]，求其并集得y∈[－1,3]． 答案：B

3．在△ABC中，角A，B均为锐角，且cosA＞sinB，则△ABC的形状是 ( ) A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形

ππ

解析：cosA＝sin(A)＞sinB，A，B都是锐角，

22πππ

则A＞B，A＋B＜C＞. 222答案：C

π

4．给定性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x＝对称．则下列四个函数中，同

3时具有性质①②的是 ( ) xππ

A．y＝) B．y＝sin(2x＋266π

C．y＝sin|x| D．y＝sin(2x－)

6解析：∵T＝答案：D

5．(文)如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为 ( ) 5337A. B. C. D. 18428解析：设等腰三角形的底边为a，顶角为θ，则腰长为2a. 4a2＋4a2－a27由余弦定理得cosθ＝＝.

8a8答案：D

6．在△ABC中，角A，B所对的边长为a，b，则“a＝b”是“acosA＝bcosB”的 ( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

解析：a＝b A＝B acosA＝bcosB，条件是充分的；acosA＝bcosB sinAcosA＝π

sinBcosB sin2A＝sin2B 2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝2不必要的． 答案：A

7．已知函数f(x)＝asin2x＋cos2x(a∈R)图象的一条对称轴方程为x＝

π

a的值为 12

( )

13

A. B.3 C. D．2 23π

解析：函数y＝sinx的对称轴方程为x＝kπ＋，k∈Z，f(x)a＋1sin(2x＋φ)，其

2ππ中tanφ＝a，故函数f(x) 的对称轴方程为2x＋φ＝kπ＋k∈Z，而x＝是其一

212

2πππππ

π，∴ω＝2.对于选项D，又2×－，所以x＝ ω3623

πππ

条对称轴方程，所以2φ＝kπ＋k∈Z，解得φ＝kπ＋，k∈Z，故tanφ

1223π13

＝tan(kπ＋＝3，所以a. a33答案：C

1＋cos2x＋8sin2xπ

8．当0＜x＜f(x)＝ ( )

2sin2x

A．2 B．2C．4 D．43

1＋cos2x＋8sin2x2cos2x＋8sin2xcosx4sinx

解析：f(x)＝≥2

sin2x2sinxcosxsinxcosx

4，sinxcosx

cosx4sinxπ1

，即tanx＝时，取“＝”，∵0＜x＜∴存在x使tanx

sinxcosx221

＝f(x)min＝4. 2答案：C

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中的横线上)

9.如图是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0， ω＞0，－π＜φ＜π)，x∈R的部分图象， 则下列命题中，正确命题的序号为________． π

①函数f(x)的最小正周期为

2②函数f(x)的振幅为23； ③函数f(x)的一条对称轴方程为x＝

7π 12

π7π

④函数f(x)的单调递增区间为[，]；

12122π

⑤函数的解析式为f(x)＝3sin(2x－)．

3

5ππ

解析：由图象可知，函数f(x)的最小正周期为()×2＝π，故①不正确；函数f(x)

635ππ＋

637π

3，故②不正确；函数f(x)的一条对称轴方程为x＝＝故③正确；

212π7π7π

④不全面，函数f(x)的单调递增区间应为[＋2kπ＋2kπ]，k∈Z；3sin(2×

121212

7ππ2π

＋φ)＝3得2×＋φ＝2kπ，k∈Z，即φ＝2kπ－，k∈Z，

1223∵－π＜φ＜π，故k取0，从而φ＝－故f(x)＝3sin(2x－答案：③⑤

三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

ππ

10．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2sinxcos(－x)－3sin(π＋x)cosx＋sin(x)cosx.

22

(1)求函数y＝f(x)的最小正周期和最值；

(2)指出y＝f(x)图象经过怎样的平移变换后得到的图象关于原点对称． 解：(1)f(x)＝2sin2x＋3sinxcosx＋cos2x ＝1＋sin2x＋3sinxcosx

1－cos2xπ33

＝1＋＋sin2x＝sin(2x－＋

2262y＝f(x)最小正周期T＝π.

3531

y＝f(x)的最大值为＋11＝.

2222π3

(2)∵y＋sin(2x－的图象

26

2π

)． 3

2π， 3

y＝sin2x的图象．

A＋C311．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos23

(1)求cosB的值；

3

左移个单位,下移个单位

122

(2)若BA·BC＝2，b＝2，求a和c的值．

A＋C解：(1)∵

23BπA＋C3

∴sin)＝，

2223B1∴cosB＝1－2sin2.

23

(2)由BA·c·cosB＝2， BC＝2可得a·

1

又cosB＝，故ac＝6，

3

由b2＝a2＋c2－2accosB可得a2＋c2＝12， ∴(a－c)2＝0，故a＝c，∴a＝c＝6.

ππ

12．(文)(本小题满分14分)已知函数f(x)＝sin2x＋23sin(x＋x－－cos2x－3.

44

(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间； (2)求函数f(x)在[－

π25

，]上的最大值和最小值，并指出此时相应的x的值． 1236

πππ

解：(1)f(x)＝sin2x＋23sin(x＋x－－cos2x－3＝23sin2(x＋)－cos2x－3

444π2π

＝3sin2x－cos2x＝2sin(2x－)，所以T＝π.

62ππ3π

由2kπ＋2x－2kπ＋(k∈Z)得，

262π5π

kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，

36所以函数f(x)的最小正周期为π， π5π

单调递减区间为[kπ＋，kπ＋k∈Z)．

36

ππ25

(2)由(1)有f(x)＝2sin(2x－．因为x∈[－π]，

61236ππ11

所以2x－∈[－π]．

639

ππ411

因为sin(－＝sin＜sinπ，所以当xf(x)3；当x

33912π

＝时，函数f(x)取得最大值2. 3

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