2018年全国2卷文科数学十年真题分类汇编9 圆锥曲线

9 圆锥曲线

一．基础题组

x2y21. 【2013课标全国Ⅱ，文5】设椭圆C：2?2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的

ab点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为( ) A．1133 B． C． D． 3263【答案】：D

∴a?3cc3x?3c，∴e??. ?2a3c3x2y23a2. 【2012全国新课标，文4】设F1，F2是椭圆E：2?2?1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为直线x?2ab上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为( ) A．

1234 B． C． D． 23453a与x轴交于点M，则∠PF2M＝60°，在Rt△PF2M中，PF2＝F1F2＝2c，2【答案】C 【解析】设直线x?3a?cF2M213ac33??，解得?，故离心率e?． F2M??c，故cos60??PF22c22a443. 【2010全国新课标，文5】中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它

的离心率为( ) A.6 B.5 C.【答案】D

65 D. 22b21c2－a252【解析】＝＝＝＝e＝. e－12a422ax24. 【2006全国2，文5】已知?ABC的顶点B、C在椭圆?y2?1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且

3椭圆的另外一个焦点在BC边上，则?ABC的周长是( ) （A）23 （B）6 （C）43 （D）12 【答案】C

【解析】由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a，可得△ABC的周长为4a?43，所以选C.

5. 【2005全国2，文5】抛物线x2?4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为（ ）

(A) 2 【答案】D

(B) 3

(C) 4

(D) 5

x2y26. 【2005全国2，文6】双曲线??1的渐近线方程是（ ）

492(A) y??x

34(B) y??x

93(C) y??x

29(D) y??x

4【答案】C

3x2y2【解析】由题意知：a?2,b?3，∴双曲线??1的渐近线方程是y??x.

492x27. 【2017新课标2，文5】若a?1，则双曲线2?y2?1的离心率的取值范围是

aA．(2,??) B．(2,2) C．(1,2) 【答案】C

D．(1,2)

1c2a2?111?1??2，则1?e?2，故选C. 【解析】由题意e?2?，因为，所以a?1?1?222aaaa2【考点】双曲线离心率

【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题的关键就是确立一个关于a,b,c的方程或不等式，再根据a,b,c的关系消掉得到a,c的关系式，而建立关于a,b,c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.

8. 【2015新课标2文数】已知双曲线过点4,3,且渐近线方程为y??为 ．

??1x,则该双曲线的标准方程2x2?y2?1 【答案】4【解析】

【考点定位】本题主要考查双曲线几何性质及计算能力.

【名师点睛】本题是求双曲线的标准方程,若设标准形式,需先判断焦点是在x轴上,还是在y轴上,而此题解法通过设共渐近线的双曲线的方程,就不需要判断双曲线焦点是在x轴上,还是在y轴上.一般的结论是：

x2y2b以y??x?a?0,b?0?为渐近线的双曲线的方程可设为2?2?m?m?0?.

aab二．能力题组

21. 【2014全国2，文10】设F为抛物线C:y=3x的焦点，过F且倾斜角为30?的直线交C于A,B两点，则 AB?（ ）

（A）【答案】C

30 （B） （C）12 （D）73 3【解析】由题意，得F(,0)．又因为k?tan300?34333，故直线AB的方程为y?(x?)，与抛物线334y2=3x联立，得16x2?168x?9?0，设A(x1,y1),B(x2,y2)，由抛物线定义得，AB?x1?x2?p?

1683??12，选C． 1622. 【2013课标全国Ⅱ，文10】设抛物线C：y＝4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|＝3|BF|，则l的方程为( )． A．y＝x－1或y＝－x＋1 B．y＝2

33(x?1)或y＝?(x?1) 3333(x?1)或y＝?(x?1) 3322(x?1)或y＝?(x?1) 22C．y＝D．y＝

【答案】：C

设|AM|＝|AF|＝3t(t＞0)，|BN|＝|BF|＝t，|BK|＝x，而|GF|＝2， 在△AMK中，由

|NB||BK|tx，得?， ?3tx?4t|AM||AK||NB|t1??， |BK|x2解得x＝2t，则cos∠NBK＝

∴∠NBK＝60°，则∠GFK＝60°，即直线AB的倾斜角为60°. ∴斜率k＝tan 60°＝3，故直线方程为y＝3(x－1)．

当直线l的斜率小于0时，如图所示，同理可得直线方程为y＝?3(x－1)，故选C.

2

3. 【2012全国新课标，文10】等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y＝16x的准线交于A，B两点，|AB|?43，则C的实轴长为( ) A．2 B．22 C．4 D．8 【答案】 C

4x2y24. 【2006全国2，文9】已知双曲线2?2?1的一条渐近线方程为y?x，则双曲线的离心率为( )

3ab（A）

5453 （B） （C） （D） 3342【答案】A

x2y2b4【解析】双曲线2?2?1的一条渐近线方程为y?x，与y?x相同，∴a?3t,b?4t，

a3abca2?b25∴e???.

aa3??????????y2?1的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且MF1?MF2?0,则5. 【2005全国3，文9】已知双曲线x?22点M到x轴的距离为

A．

B．

（ ）

4 35 3C．23 3D．3 【答案】C

所以过A、B、D三点的圆与x轴相切．

8. 【2006全国2，文22】（本小题满分１２分）

????????已知抛物线x?4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且AF??FB(??0).过A、B两点分别作抛

2物线的切线，设其交点为M。

?????????（I）证明FM?AB为定值；

（II）设?ABM的面积为S，写出S?f(?)的表达式，并求S的最小值。 【解析】：(Ⅰ)由已知条件，得F(0，1)，λ＞0． →→设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由AF＝λFB， 即得 (－x1，1－y)＝λ(x2，y2－1)，

??－x1＝λx2 ①? ?1－y1＝λ(y2－1) ②?

12122

将①式两边平方并把y1＝x1，y2＝x2代入得 y1＝λy2 ③

4412

解②、③式得y1＝λ，y2＝，且有x1x2＝－λx2＝－4λy2＝－4，

λ

121

抛物线方程为y＝x，求导得y′＝x．

42所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是

y＝x1(x－x1)＋y1，y＝x2(x－x2)＋y2，

112112

即y＝x1x－x1，y＝x2x－x2．

2424解出两条切线的交点M的坐标为(

1212

x1＋x2x1x2

2

，4

)＝(

x1＋x2

2

，－1)． ??4分

→→x1＋x21212122

所以FM·AB＝(，－2)·(x2－x1，y2－y1)＝(x2－x1)－2(x2－x1)＝0

2244→→所以FM·AB为定值，其值为0． ??7分

9. 【2005全国2，文22】(本小题满分14分)

????????y2?1上，F为椭圆在轴正半轴上的焦点．已知PF与FQ共线，P、Q、M、N四点都在椭圆x?2??????????????????MF与FN共线，且PF?MF?0．求四边形PMQN的面积的最小值和最大值．

2【解析】：如图，由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F(0,1)，且PQ⊥MN，直线PQ、NM中至少有一条存在斜率，不妨设PQ的斜率为K，又PQ过点F(0,1)，故PQ的方程为y=kx+1

22将此式代入椭圆方程得(2+k)x+2kx－1=0

设P、Q两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则

?k?2k2?2?k?2k2?2 x1?,x2?222?k2?k8(1?k2)2从而|PQ|?(x1?x2)?(y1?y2)? 22(2?k)22222(1?k2)亦即|PQ|? 22?k

1222(1?(1?))1k(1)当≠0时，MN的斜率为－，同上可推得|MN|?

1k2?(?)2k112)4(2?k?)221kk 故四边形面积S?|PQ||MN|? ?12222(2?k)(2?2)5?2k?2kk4(1?k2)(1?2令=k?14(2?u)1S??2(1?) 得2k5?2u5?2u1≥2 2k2∵=k?

10. 【2016新课标2文数】(本小题满分12分)

x2y2已知A是椭圆E：??1的左顶点，斜率为k?k?0?的直线交E于A，M两点，点N在E上，

43MA?NA.

(Ⅰ)当AM?AN时，求△AMN的面积 (Ⅱ) 当2AM?AN时，证明：3?k?2. 【答案】（Ⅰ）【解析】

144；（Ⅱ）详见解析. 49x2y2将x?y?2代入??1得7y2?12y?0.

43解得y?0或y?1212，所以y1?. 77因此?AMN的面积S?AMN?2??11212144??. 27749x2y2（Ⅱ）将直线AM的方程y?k(x?2)(k?0)代入??1得

43(3?4k2)x2?16k2x?16k2?12?0.

216k2?122(3?4k2)121?k2由x1?(?2)?得x1?，故|AM|?|x1?2|1?k?.

23?4k23?4k23?4k2112k1?k由题设，直线AN的方程为y??(x?2)，故同理可得|AN|?.

2k3k+4由2|AM|?|AN|得

2k?，即4k3?6k2?3k?8?0. 223?4k3k+4设f(t)?4t3?6t2?3t?8，则是f(t)的零点，f?(t)?12t2?12t?3?3(2t?1)2?0，所以f(t)在

(0,??)单调递增.又f(3)?153?26?0,f(2)?6?0，因此f(t)在(0,??)有唯一的零点，且

零

点在(3,2)内，所以3?k?2.

【考点】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系

【名师点睛】对于直线与椭圆的位置关系问题，通常将直线方程与椭圆方程联立进行求解，注意计算的准确性.

11. 【2012全国新课标，文20】设抛物线C：x＝2py(p＞0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点．

(1)若∠BFD＝90°，△ABD的面积为42，求p的值及圆F的方程；

(2)若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．

2

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