2014届高三数学一轮复习专讲专练 ：5.5 数系的扩充与复数的引入

双基限时练

巩固双基,提升能力

一、选择题

1．(2012·安徽)复数z满足(z－i)(2－i)＝5，则z＝( ) A．－2－2i C．2－2i

B．－2＋2i D．2＋2i

5解析：由(z－i)(2－i)＝5可得z－i＝＝2＋i，所以z＝2＋2i.

2－i答案：D

2．(2013·宝鸡质检)若复数z＝1＋i，i为虚数单位，则(1＋z)·z＝( ) A．1＋3i C．3－i

B．3＋3i D．3

解析：∵(1＋z)·z＝z＋z2＝1＋i＋(1＋i)2＝1＋i＋2i＝1＋3i. 答案：A

3．若(x－i)i＝y＋2i，x、y∈R，则复数x＋yi＝( ) A．－2＋i C．1－2i

B．2＋i D．1＋2i

解析：由题意得，xi＋1＝y＋2i，故x＝2，y＝1，即x＋yi＝2＋i. 答案：B

4．(2012·山东)若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i为虚数单位)，则z为( ) A．3＋5i C．－3＋5i

B．3－5i D．－3－5i

11＋7i?11＋7i?·?2＋i?15＋25i解析：由题目可知，z＝＝＝5＝3＋5i，故答案选

2－i?2－i?·?2＋i?A.

答案：A

1＋ai

5．(2013·荆州质检)设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为( )

2－iA．2 1C．－2

B．－2 1D.2

1＋ai?1＋ai??2＋i?2－a＋?2a＋1?i

解析：方法一：＝＝为纯虚数，所以2－a52－i?2－i??2＋i?＝0，a＝2；

1＋aii?a－i?方法二：＝为纯虚数，所以a＝2.

2－i2－i答案：A

2

6．(2012·课标全国)下面是关于复数z＝的四个命题：

－1＋ip1：|z|＝2, p2：z2＝2i，

p3：z的共轭复数为1＋i, p4：z的虚部为－1. 其中的真命题为( ) A．p2，p3 C．p2，p4

B．p1，p2 D．p3，p4

2

解析：因为z＝＝－1－i，所以|z|＝1＋1＝2，z2＝(－1－i)2＝2i，z

－1＋i＝－1＋i，z的虚部是－1，所以p2，p4是真命题，所以选C.

答案：C 二、填空题

7．已知复数x2－6x＋5＋(x－2)i在复平面内对应的点在第三象限，则实数x的取值范围是__________．

解析：∵x为实数，∴x2－6x＋5和x－2都是实数．

2??x?－6x＋5＜0，?1＜x＜5，

由题意，得?解得?

???x－2＜0，?x＜2，

即1＜x＜2.故x的取值范围是(1,2)． 答案：(1,2)

8．(2012·湖南)已知复数z＝(3＋i)2(i为虚数单位)，则|z|＝__________. 解析：利用复数的运算法则得到z＝8＋6i，|z|＝82＋62＝10，所以答案为10.

答案：10

11－7i9．(2012·江苏)设a，b∈R，a＋bi＝(i为虚数单位)，则a＋b的值为

1－2i__________．

11－7i?11－7i??1＋2i?

解析：因为a＋bi＝＝＝5＋3i，所以a＝5，b＝3，∴a51－2i＋b＝8.

答案：8 三、解答题

10．已知m∈R，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i. (1)若z与复数2－12i相等，求m的值；

(2)若z与复数12＋16i互为共轭复数，求m的值； (3)若z对应的点在x轴上方，求m的取值范围．

2

?m?＋5m＋6＝2，

解析：(1)根据复数相等的充要条件得?2

??m－2m－15＝－12.

解之得m＝－1.

2

??m＋5m＋6＝12.

(2)根据共轭复数的定义得?2解之得m＝1.

?m－2m－15＝－16.?

(3)根据复数z对应点在x轴上方可得m2－2m－15＞0，解之得m＜－3或m＞5.

32

11．复数z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，若z1＋z2是实数，求

a＋51－a

实数a的值．

322

解析：z1＋z2＝＋(a－10)i＋＋(2a－5)i

a＋51－a

＝??32?

?a＋5＋1－a??

＋[(a2－10)＋(2a－5)]i ＝a－13?a＋5??a－1?＋(a2＋2a－15)i. ∵z1＋z2是实数， ∴a2＋2a－15＝0. 解得a＝－5或a＝3. ∵分母a＋5≠0， ∴a≠－5，故a＝3.

12．设复数z＝－3cosθ＋2isinθ. (1)当θ＝4

3π时，求|z|的值；

(2)若复数z所对应的点在直线x＋3y＝0上，求解析：(1)∵θ＝4

3π，

∴z＝－3cos44＝3

3π＋2isin3π2－3i， ∴|z|＝

??3??2?2?

＋?－3?2＝

212. (2)由条件得－3cosθ＋3×2sinθ＝0， ∴tanθ＝1

2，

原式＝cosθ12

sinθ＋cosθ＝tanθ＋1

＝3.

2cos2θ

2－1

?π?的值．2sin?

?θ＋4??

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