2019年中考数学总复习提分专练04二次函数小综合练习湘教版

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提分专练(四)二次函数小综合

|类型1| 二次函数与其他函数的综合

1.如图T4-1,在平面直角坐标系内,二次函数y=ax+bx(a≠0),一次函数y=ax+b(a≠0)以及反比例函数

2

y=(k≠0)的图象都经过点A,其中一次函数的图象与反比例函数的图象还交于另一点B,且一次函数的图象

与x轴,y轴分别交于点C,D.若点A的横坐标为1,该二次函数图象的对称轴是直线x=2,有下列结论:①

b=-4a;②a+b>k;③8a+4b>k;④a+2b>4k.其中正确结论的个数是()

图T4-1

A.1B.2C.3D.4

2.如图T4-2,曲线BC是反比例函数y=(4≤x≤6)图象的一部分,其中B(4,1-m),C(6,-m),抛物线y=-x+2bx的顶点记作A. (1)求k的值.

(2)判断点A是否可与点B重合.

(3)若抛物线与曲线BC有交点,求b的取值范围.

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图T4-2

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|类型2| 二次函数与几何图形综合

3.[2018·岳阳] 已知抛物线F:y=x+bx+c经过坐标原点O,且与x轴另一交点为-,0. (1)求抛物线F的表达式.

(2)如图T4-3①,直线l:y=x+m(m>0)与抛物线F相交于点A(x1,y1)和点B(x2,y2)(点A在第二象限),求y2-y1的值(用含m的式子表示).

(3)在(2)中,若m=,设点A'是点A关于原点O的对称点,如图T4-3②. ①判断△AA'B的形状,并说明理由.

②平面内是否存在点P,使得以点A,B,A',P为顶点的四边形是菱形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

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图T4-3

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4.[2018·益阳] 如图T4-4,已知抛物线y=x-x-n(n>0)与x轴交于A,B两点(A点在B点的左边),与y轴交于点C.

(1)如图①,若△ABC为直角三角形,求n的值;

(2)如图①,在(1)的条件下,点P在抛物线上,点Q在抛物线的对称轴上,若以BC为边,以点B,C,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求点P的坐标;

(3)如图②,过点A作直线BC的平行线交抛物线于另一点D,交y轴于点E,若AE∶ED=1∶4,求n的值.

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图T4-4

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5.[2018·张家界] 如图T4-5,已知二次函数y=ax+1(a≠0,a为实数)的图象过点A(-2,2),一次函数

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y=kx+b(k≠0,k,b为实数)的图象l经过点B(0,2).

(1)求a的值并写出二次函数的表达式; (2)求b的值;

(3)设直线l与二次函数的图象交于M,N两点,过点M作MC垂直x轴于点C,试证明:MB=MC; (4)在(3)的条件下,请判断以线段MN为直径的圆与x轴的位置关系,并说明理由.

图T4-5

参考答案

1.B[解析] 对称轴为直线x=-=2, ∴b=-4a,故结论①正确;

∵一次函数与反比例函数的图象都经过点A,

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∴x=1时,a+b=k,故结论②错误;

由图象可知,4a+2b>,∴8a+4b>k,故结论③正确;

a+2b=-+2b=b,4k=4(a+b)=4-+b=3b,∵二次函数图象开口向下,∴a<0,∴b=-4a>0,∴b<3b,∴a+2b<4k,故

结论④错误.

2.解:(1)∵B(4,1-m),C(6,-m)在反比例函数y=的图象上, ∴k=4(1-m)=6×(-m),∴解得m=-2,∴k=4×[1-(-2)]=12. (2)∵m=-2,∴B(4,3),

∵抛物线y=-x+2bx=-(x-b)+b,∴A(b,b).

若点A与点B重合,则有b=4,且b=3,显然不成立,∴点A不与点B重合. (3)当抛物线经过点B(4,3)时,有3=-4+2b×4,解得b=, 显然抛物线右半支经过点B;

当抛物线经过点C(6,2)时,有2=-6+2b×6,解得b=, 这时仍然是抛物线右半支经过点C. 故b的取值范围为≤b≤.

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3.[解析] (1)将(0,0)和-,0代入y=x+bx+c,解出b和c即可.

(2)首先联立y=x+m与y=x+x,解出x1和x2,然后将x1和x2分别代入y=x+m,解出y1和y2,进而得出结果. (3)①首先根据题意得出A'的坐标,进而得出A'B的长度,根据点A的坐标得出OA的长度,进而得出AA',然后根据三角函数的定义得出sinA',进而得出∠A'的度数,进而得出△AA'B的形状; ②分别以AA',A'B和AB为菱形的对角线,根据菱形的性质得出点P的坐标即可. 解:(1)根据题意,得 解得

∴抛物线F的表达式为y=x+x.

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(2)联立y=x+m与y=x+x, 解得x1=-,x2=,

∴y1=x1+m=-+m,y2=x2+m=+m,

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∴y2-y1=+m--+m=.

(3)①△AA'B是等边三角形.理由:当m=时,x1=-,x2=, ∴y1=,y2=2,

∴A-,,B,2.

∵点A与点A'关于原点对称,

∴A',-,

∴A'B=2--=. ∵OA==, ∴OA'=, ∴AA'=, ∴A'B=AA'.

∵点A到BA'的距离d=+=, ∴sinA'===, ∴∠A'=60°,

∴△AA'B是等边三角形. ②存在.

若以AA'为菱形的对角线,则点P与点B关于原点对称,此时点P的坐标为-,-2;

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若以A'B为菱形的对角线,则点P为将点A向右移动2d个单位长度得到的点,此时点P的坐标为2,;

若以AB为菱形的对角线,则点P为将点A向上移动A'B个单位长度得到的点,此时点P的坐标为-,.

综上,点P的坐标为-,-2或2,或-,.

4.[解析] (1)利用一元二次方程根与系数的关系结合相似三角形的性质即可求出n的值; (2)因为以BC为边,所以PQ∥BC,PQ∥BC可分为点P在点Q左侧和点P在点Q右侧两种情况;

(3)过点D作DF⊥x轴,垂足为F,构造△ADF∽△BCO,利用三角形相似,结合点A和点D在抛物线上列方程组求解.

解:(1)若△ABC为直角三角形,则OC=OA·OB. 由抛物线y=x-x-n(n>0),可得

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OC=n,OA·OB=2n,

∴n=2n,解得n1=2,n2=0(舍去), ∴n=2.

(2)由(1)可知抛物线的表达式为y=x-x-2,抛物线的对称轴为直线x=. 令y=0,得x1=-1,x2=4, ∴A(-1,0),B(4,0).

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设点Pm,m-m-2,

当直线PQ∥BC,点P在点Q的左侧(如图所示),

△BOC平移到△QNP的位置时,四边形PQBC为平行四边形, 此时NQ=OB,即-m=4,则m=-, 则m-m-2=,

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此时点P的坐标为-,;

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当点P在点Q的右侧时(如图所示),

同理可得m-=4,即m=, 则m-m-2=,

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此时点P的坐标为,.

综上所述,满足条件的点P的坐标为-,,,. (3)过点D作DF⊥x轴,垂足为F.如图,

则AO∶OF=AE∶ED=1∶4. 设A(a,0),B(b,0), 则AO=-a,OF=-4a. ∵AD∥BC, ∴∠OBC=∠DAO. ∵∠BOC=∠AFD=90°, ∴△BOC∽△AFD, ∴=,

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即=, ∴=.

由题意得ab=-2n,∴=-,

∴DF=-5a·=-5a·-=a. ∵点A,D在抛物线上, ∴ 解得 ∴n的值为.

5.[解析] (1)将点A的坐标代入二次函数的表达式,即可求出a的值,进而得到二次函数的表达式. (2)将点B的坐标代入一次函数的表达式,即可求出b的值.

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(3)过点M作ME⊥y轴于点E,设Mx,x+1,进而用含x的式子分别表示MB和MC.

(4)过点N作ND⊥x轴于点D,取MN的中点为P,过点P作PF⊥x轴于点F,过点N作NH⊥MC于点H,交PF于点G.根据(3)知NB=ND,通过等量代换,得出PF=MN. 解:(1)根据题意,得2=a×(-2)+1, 解得a=,∴y=x+1.

(2)根据题意,得2=k×0+b,解得b=2. (3)证明:如图,过点M作ME⊥y轴于点E.

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设Mx,x+1,则MC=x+1, ∴ME=|x|,EB==. ∵MB===

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==x2+1,

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∴MB=MC.

(4)相切.理由如下:

如图,过点N作ND⊥x轴于D,取MN的中点为P,过点P作PF⊥x轴于点F,过点N作NH⊥MC于点H,交PF于点G. 由(3)知NB=ND, ∴MN=NB+MB=ND+MC.

∵PG=MH,ND=GF=HC,PF=PG+GF, ∴2PF=2PG+2GF

=MH+ND+HC =ND+MC,

∴PF=MN,

∴以线段MN为直径的圆与x轴相切.

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∴MB=MC.

(4)相切.理由如下:

如图,过点N作ND⊥x轴于D,取MN的中点为P,过点P作PF⊥x轴于点F,过点N作NH⊥MC于点H,交PF于点G. 由(3)知NB=ND, ∴MN=NB+MB=ND+MC.

∵PG=MH,ND=GF=HC,PF=PG+GF, ∴2PF=2PG+2GF

=MH+ND+HC =ND+MC,

∴PF=MN,

∴以线段MN为直径的圆与x轴相切.

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