河南省安阳市林州市2017年中考数学二模试卷（含解析）

2017年河南省安阳市林州市中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．在实数3，﹣3，﹣A．3

B．﹣3 C．

，

中最小的数是（ ）

D．﹣

2．据统计，2017年河南省的夏粮收购总产量为796.24亿斤，请用科学记数法表示这个数为（ ）

A．7.9624×1010 B．7.9624×109 C．79.624×109 D．0.79624×1011 3．下列运算正确的是（ ） A．

B．

C．

D．

4．关于x的一元二次方程（m﹣2）2x2+（2m+1）x+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）

A．m＜ B．m＞且m≠2 C．m≤ D．m≥且m≠2 5．把不等式组A．

的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（ ） B．

C．

D．

6．下列说法不正确的是（ ） A．某种彩票中奖的概率是

，买1000张该种彩票一定会中奖

B．了解一批电视机的使用寿命适合用抽样调查

C．若甲组数据的标准差S甲=0.31，乙组数据的标准差S乙=0.25，则乙组数据比甲组数据稳定

D．在一个装有白球和绿球的袋中摸球，摸出黑球是不可能事件

7．如图，在△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（ ）

A．65° B．60° C．55° D．45°

1

8．如图，MN是⊙O的直径，MN=4，∠AMN=40°，点B为弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为（ ）

A．2 B．2 C．2 D．3

9．如图，放置的△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，?都是边长为2的等边三角形，边AO在y轴上，点B1，B2，B3，?都在直线y=

x上，则A2017的坐标为（ ）

A．2015，2017 B．2016，2018 C．2017，2019 D．2017，2017

10．如图所示，P是菱形ABCD的对角线AC上一动点，过P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点，设AC=2，BD=1，AP=x，则△AMN的面积为y，则y关于x的函数图象的大致形状是（ ）

A．

B． C． D．

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．函数

的自变量x的取值范围是 ．

|+2sin60°+（π﹣4）0= ．

12．计算：（﹣）﹣1﹣|

13．一个不透明的口袋里装有红、黑、绿三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中红球有2个，黑球有1个，绿球有3个，第一次任意摸出一个球（不放回），第二次再摸出

2

一个球，则两次摸到的都是红球的概率为 ．

14．如图，在圆心角为90°的扇形OAB中，半径OA=2cm，C为OB的中点，则图中阴影部分的面积为 cm2．

的中点，D、E分别是OA、

15．已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B，C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP（如图①）经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ（如图②），当点C′恰好落在OA上时，点P的坐标是 ．

三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16．先化简，再求值：

，其中x满足x2﹣x﹣1=0．

17．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，以边上AC上一点O为圆心，OA为半径作⊙O，⊙O恰好经过边BC的中点D，并与边AC相交于另一点F． （1）求证：BD是⊙O的切线． （2）若AB=填空： ①当②当

的长度是 时，四边形ABDE是菱形； 的长度是 时，△ADE是直角三角形．

，E是半圆

上一动点，连接AE，AD，DE．

3

18．当今社会手机越来越普及，有很多人开始过份依赖手机，一天中使用手机时间过长而形成了“手机瘾”．为了解我校初三年级学生的手机使用情况，学生会随机调查了部分学生的手机使用时间，将调查结果分成五类：A、基本不用；B、平均一天使用1～2小时；C、平均一天使用2～4小时；D、平均一天使用4～6小时；E、平均一天使用超过6小时．并用得到的数据绘制成了如下两幅不完整的统计图（图1、2），请根据相关信息，解答下列问题：

（1）将上面的条形统计图补充完整；

（2）若一天中手机使用时间超过6小时，则患有严重的“手机瘾”．我校初三年级共有1490人，试估计我校初三年级中约有多少人患有严重的“手机瘾”；

（3）在被调查的基本不用手机的4位同学中有2男2女，现要从中随机再抽两名同学去参加座谈，请你用列表法或树状图方法求出所选两位同学恰好是一名男同学和一位女同学的概率．

19．如图，我市某中学在创建“特色校园”的活动中，将奉校的办学理念做成宣传牌（CD），放置在教学楼的顶部（如图所示）该中学数学活动小组在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿坡面AB向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．已知山坡AB的坡度为i=1：的比）

（1）求点B距水平而AE的高度BH；

4

，AB=10米，AE=15米．（i=1：是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH

（2）求宣传牌CD的高度． （结果精确到0.1米．参考数据：

≈1.414，

≈1.732）

20．已知：关于x的方程kx﹣（3k﹣1）x+2（k﹣1）=0 （1）求证：无论k为任何实数，方程总有实数根；

（2）若此方程有两个实数根x1，x2，且|x1﹣x2|=2，求k的值．

21．我市某风景区门票价格如图所示，黄冈赤壁旅游公司有甲、乙两个旅游团队，计划在“五一”小黄金周期间到该景点游玩．两团队游客人数之和为120人，乙团队人数不超过50人，设甲团队人数为x人．如果甲、乙两团队分别购买门票，两团队门票款之和为W元． （1）求W关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）若甲团队人数不超过100人，请说明甲、乙两团队联合购票比分别购票最多可可节约多少钱；

（3）“五一”小黄金周之后，该风景区对门票价格作了如下调整：人数不超过50人时，门票价格不变；人数超过50人但不超过100人时，每张门票降价a元；人数超过100人时，每张门票降价2a元，在（2）的条件下，若甲、乙两个旅行团队“五一”小黄金周之后去游玩，甲乙两团队联合购票比分别购票最多节约3400元，求a的值．

2

22．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，将△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C1OD1，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），连接AC1、BD1，AC1与BD1交于点P． （1）如图1，若四边形ABCD是正方形． ①求证：△AOC1≌△BOD1．

②请直接写出AC1 与BD1的位置关系．

5

（2）如图2，若四边形ABCD是菱形，AC=5，BD=7，设AC1=kBD1．判断AC1与BD1的位置关系，说明理由，并求出k的值．

（3）如图3，若四边形ABCD是平行四边形，AC=5，BD=10，连接DD1，设AC1=kBD1．请直接写出k的值和AC1+（kDD1）的值．

2

2

23．如图1，抛物线y=ax+bx+3（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、点C三点．

（1）试求抛物线的解析式；

（2）点D（2，m）在第一象限的抛物线上，连接BC、BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC=∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）如图2，在（2）的条件下，将△BOC沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，记平移后的三角形为△B′O′C′．在平移过程中，△B′O′C′与△BCD重叠的面积记为S，设平移的时间为t秒，试求S与t之间的函数关系式？

2

6

2017年河南省安阳市林州市中考数学二模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．在实数3，﹣3，﹣A．3

B．﹣3 C．

，

中最小的数是（ ）

D．﹣

【考点】2A：实数大小比较．

【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．

【解答】解：根据实数比较大小的方法，可得：﹣3＜﹣∴在实数3，﹣3，﹣故选：B．

2．据统计，2017年河南省的夏粮收购总产量为796.24亿斤，请用科学记数法表示这个数为（ ）

A．7.9624×10 B．7.9624×10 C．79.624×10 D．0.79624×10 【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：将796.24亿用科学记数法表示为：7.9624×10． 故选：A．

3．下列运算正确的是（ ） A．

B．

C．

D．

10

10

9

9

11

＜＜3，

，中最小的数是﹣3，

【考点】79：二次根式的混合运算．

【分析】根据二次根式运算的法则，分别计算得出各答案的值，即可得出正确答案． 【解答】解：A．∵

=5，故此选项错误；

7

B．∵4C.D．∵

÷

﹣= ?

=4﹣3=，故此选项错误；

=3，故此选项错误； =

=6，故此选项正确．

故选：D．

4．关于x的一元二次方程（m﹣2）2x2+（2m+1）x+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）

A．m＜ B．m＞且m≠2 C．m≤ D．m≥且m≠2 【考点】AA：根的判别式；A1：一元二次方程的定义．

【分析】本题是根的判别式的应用，因为关于x的一元二次方程（m﹣2）2x2+（2m+1）x+1=0有两个不相等的实数根，所以△=b﹣4ac＞0，从而可以列出关于m的不等式，求解即可，还要考虑二次项的系数不能为0．

【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x+（2m+1）x+1=0有两个不相等的实数根， ∴△=b﹣4ac＞0，即（2m+1）﹣4×（m﹣2）×1＞0， 解这个不等式得，m＞， 又∵二次项系数是（m﹣2）， ∴m≠2，

故M得取值范围是m＞且m≠2． 故选B．

5．把不等式组A．

的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（ ） B．

C．

D．

2

2

2

2

22

2

【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集．

【分析】求得不等式组的解集为﹣1＜x≤1，所以B是正确的． 【解答】解：由第一个不等式得：x＞﹣1； 由x+2≤3得：x≤1．

∴不等式组的解集为﹣1＜x≤1． 故选B．

8

6．下列说法不正确的是（ ） A．某种彩票中奖的概率是

，买1000张该种彩票一定会中奖

B．了解一批电视机的使用寿命适合用抽样调查

C．若甲组数据的标准差S甲=0.31，乙组数据的标准差S乙=0.25，则乙组数据比甲组数据稳定

D．在一个装有白球和绿球的袋中摸球，摸出黑球是不可能事件

【考点】X4：概率公式；V2：全面调查与抽样调查；W8：标准差；X1：随机事件；X2：可能性的大小．

【分析】根据抽样调查适用的条件、方差的定义及意义和可能性的大小找到正确答案即可． 【解答】解：A、某种彩票中奖的概率是定会中奖，故错误；

B、调查电视机的使用寿命要毁坏电视机，有破坏性，适合用抽样调查，故正确； C、标准差反映了一组数据的波动情况，标准差越小，数据越稳定，故正确； D、袋中没有黑球，摸出黑球是不可能事件，故正确． 故选A．

7．如图，在△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（ ）

，只是一种可能性，买1000张该种彩票不一

A．65° B．60° C．55° D．45° 【考点】KG：线段垂直平分线的性质．

【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AD=DC，根据等腰三角形的性质得到∠C=∠DAC，求得∠DAC=30°，根据三角形的内角和得到∠BAC=95°，即可得到结论． 【解答】解：由题意可得：MN是AC的垂直平分线，

9

则AD=DC，故∠C=∠DAC， ∵∠C=30°， ∴∠DAC=30°， ∵∠B=55°， ∴∠BAC=95°，

∴∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=65°， 故选A．

8．如图，MN是⊙O的直径，MN=4，∠AMN=40°，点B为弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为（ ）

A．2 B．2 C．2 D．3

【考点】M5：圆周角定理；PA：轴对称﹣最短路线问题．

【分析】过A作关于直线MN的对称点A′，连接A′B，由轴对称的性质可知A′B即为PA+PB的最小值，由对称的性质可知勾股定理即可求解．

【解答】解：过A作关于直线MN的对称点A′，连接A′B，由轴对称的性质可知A′B即为PA+PB的最小值， 连接OB，OA′，AA′， ∵AA′关于直线MN对称， ∴

=

，

=

，再由圆周角定理可求出∠A′ON的度数，再由

∵∠AMN=40°，

∴∠A′ON=80°，∠BON=40°， ∴∠A′OB=120°， 过O作OQ⊥A′B于Q， 在Rt△A′OQ中，OA′=2， ∴A′B=2A′Q=2

，

10

即PA+PB的最小值2故选C．

．

9．如图，放置的△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，?都是边长为2的等边三角形，边AO在y轴上，点B1，B2，B3，?都在直线y=

x上，则A2017的坐标为（ ）

A．2015，2017 B．2016，2018 C．2017，2019 D．2017，2017

【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征；D2：规律型：点的坐标． 【分析】根据题意得出直线AA1的解析式为：y=得出坐标变化规律，进而得出答案．

【解答】解：过B1向x轴作垂线B1C，垂足为C， 由题意可得：A（0，2），AO∥A1B1，∠B1OC=30°， ∴CO=OB1cos30°=∴B1的横坐标为：

，

，则A1的横坐标为：

，

x+2，进而得出A，A1，A2，A3坐标，进而

连接AA1，可知所有三角形顶点都在直线AA1上， ∵点B1，B2，B3，?都在直线y=∴直线AA1的解析式为：y=∴y=∴A1（

×

+2=3，

x上，AO=2，

x+2，

，3），

，

同理可得出：A2的横坐标为：2

11

∴y=∴A2（2∴A3（3? A2017．

×2 +2=4，

，4）， ，5），

故选C．

10．如图所示，P是菱形ABCD的对角线AC上一动点，过P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点，设AC=2，BD=1，AP=x，则△AMN的面积为y，则y关于x的函数图象的大致形状是（ ）

A． B． C． D．

【考点】E7：动点问题的函数图象．

【分析】△AMN的面积=AP×MN，通过题干已知条件，用x分别表示出AP、MN，根据所得的函数，利用其图象，可分两种情况解答：（1）0＜x≤1；（2）1＜x＜2； 【解答】解：（1）当0＜x≤1时，如图， 在菱形ABCD中，AC=2，BD=1，AO=1，且AC⊥BD； ∵MN⊥AC，∴MN∥BD； ∴△AMN∽△ABD， ∴即，

， ，MN=x；

12

∴y=AP×MN=x（0＜x≤1）， ∵

，∴函数图象开口向上；

2

（2）当1＜x＜2，如图， 同理证得，△CDB∽△CNM，

，

即，

，MN=2﹣x；

∴y=AP×MN=x×（2﹣x）， y=﹣x2+x； ∵﹣

，∴函数图象开口向下；

综上，答案C的图象大致符合； 故选：C．

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．函数

的自变量x的取值范围是 x＜3 ．

【考点】E4：函数自变量的取值范围；62：分式有意义的条件；72：二次根式有意义的条件． 【分析】根据分式的意义和二次根式的意义，列不等式求解． 【解答】解：根据题意得3﹣x＞0， 解得x＜3．

12．计算：（﹣）﹣1﹣|

|+2sin60°+（π﹣4）0= 0 ．

【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．

13

【分析】运用负整数指数幂、二次根式的化简、绝对值及零指数幂及特殊角的三角函数值的运算，可得出答案． 【解答】解：原式=﹣2﹣（故答案为：0．

13．一个不透明的口袋里装有红、黑、绿三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中红球有2个，黑球有1个，绿球有3个，第一次任意摸出一个球（不放回），第二次再摸出一个球，则两次摸到的都是红球的概率为 【考点】X6：列表法与树状图法．

【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出两次都是红球的情况数，即可求出所求的概率． 【解答】解：列表如下：

红 红 黑 绿 绿 绿 红 ﹣﹣﹣ （红，红） 红 黑 绿 绿 绿 ．

）

+1=0，

（红，红） （黑，红） （绿，红） （绿，红） （绿，红） ﹣﹣﹣ （黑，红） （绿，红） （绿，红） （绿，红） ﹣﹣﹣ （绿，黑） （绿，黑） （绿，黑） ﹣﹣﹣ （绿，绿） （绿，绿） ﹣﹣﹣ （绿，绿） ﹣﹣﹣ （红，黑） （红，黑） （红，绿） （红，绿） （黑，绿） （红，绿） （红，绿） （黑，绿） （绿，绿） （红，绿） （红，绿） （黑，绿） （绿，绿） （绿，绿） 所有等可能的情况有30种，其中两次都是红球的情况有2种， 则P=

=

． ．

故答案为：

14．如图，在圆心角为90°的扇形OAB中，半径OA=2cm，C为OB的中点，则图中阴影部分的面积为 （π+

的中点，D、E分别是OA、

﹣） cm2．

14

【考点】MO：扇形面积的计算．

【分析】连结OC，过C点作CF⊥OA于F，先根据空白图形ACD的面积=扇形OAC的面积﹣三角形OCD的面积，求得空白图形ACD的面积，再根据三角形面积公式得到三角形ODE的面积，再根据图中阴影部分的面积=扇形OAB的面积﹣空白图形ACD的面积﹣三角形ODE的面积，列式计算即可求解．

【解答】解：连结OC，过C点作CF⊥OA于F， ∵半径OA=2cm，C为

的中点，D、E分别是OA、OB的中点，

∴OD=OE=1cm，OC=2cm，∠AOC=45°， ∴CF=

，

∴空白图形ACD的面积=扇形OAC的面积﹣三角形OCD的面积 ==π﹣

﹣×（cm2）

三角形ODE的面积=OD×OE=（cm2），

∴图中阴影部分的面积=扇形OAB的面积﹣空白图形ACD的面积﹣三角形ODE的面积 ==π+

﹣（π﹣﹣（cm2）．

﹣）cm．

2

）﹣

故图中阴影部分的面积为（π+故答案为：（π+

﹣）．

15．已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B，C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP（如图①）经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ（如图②），当点C′恰好落在OA上时，点P的坐标是

或 ．

15

【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；D5：坐标与图形性质；LB：矩形的性质．

【分析】设PB=B′P=x，则DE=ED′=15﹣x，只要证明PC=PC′=11﹣x，在Rt△OB′C′中，根据OC′=OB′+B′C′，列出方程即可解决问题． 【解答】解：∵把△OPB沿OP折叠，使点C落在点C′处， ∴BP=PB′，OB=OB′=6，∠A=∠OB′P=90°，

∵把△CPQ沿PQ折叠，使点D落在直线OA上的点C′处， ∴CP=C′P，CQ=C′Q，∠PC′Q=∠C=90°， 设BP=B′P=x，则PC=PC′=11﹣x， ∵BC∥AC， ∴∠1=∠EPOA， ∵∠1=∠2， ∴∠2=∠C′OP， ∴OC′=PC′=11﹣x， ∴B′C′=11﹣2x， 在Rt△OB′C′中， ∵OC′2=OB′2+B′C′2， ∴6+（11﹣2x）=（11﹣x）， 解得x=∴AE=故答案为

或或，

．

．

2

2

2

2

2

2

16

三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16．先化简，再求值：

【考点】6D：分式的化简求值．

【分析】先通分，计算括号里的，再把除法转化成乘法进行约分计算．最后根据化简的结果，可由x﹣x﹣1=0，求出x+1=x，再把x=x+1的值代入计算即可． 【解答】解：原式=∵x2﹣x﹣1=0， ∴x=x+1，

将x=x+1代入化简后的式子得：

17．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，以边上AC上一点O为圆心，OA为半径作⊙O，⊙O恰好经过边BC的中点D，并与边AC相交于另一点F． （1）求证：BD是⊙O的切线． （2）若AB=填空： ①当②当

的长度是 的长度是

π 时，四边形ABDE是菱形； π或π 时，△ADE是直角三角形． ，E是半圆

上一动点，连接AE，AD，DE．

22

2

2

2

，其中x满足x﹣x﹣1=0．

2

×，=×=，

==1．

17

【考点】MR：圆的综合题．

【分析】（1）首先连接OD，由在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，⊙O恰好经过边BC的中点D，易得AB=BD，继而证得∠ODB=∠BAC=90°，即可证得结论；

（2）①易得当DE⊥AC时，四边形ABDE是菱形，然后求得∠AOE的度数，半径OD的长，则可求得答案；

②分别从∠ADE=90°，∠DAE=90°，∠AED=90°去分析求解即可求得答案． 【解答】（1）证明：如图1，连接OD， ∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°， ∴AB=BC， ∵D是BC的中点， ∴BD=BC， ∴AB=BD， ∴∠BAD=∠BDA， ∵OA=OD， ∴∠OAD=∠ODA， ∴∠ODB=∠BAO=90°， 即OD⊥BC， ∴BD是⊙O的切线．

（2）①当DE⊥AC时，四边形ABDE是菱形； 如图2，设DE交AC于点M，连接OE，则DE=2DM， ∵∠C=30°，

∴CD=2DM，∴DE=CD=AB=BC，

18

∵∠BAC=90°， ∴DE∥AB，

∴四边形ABDE是平行四边形， ∵AB=BD，

∴四边形ABDE是菱形； ∵AD=BD=AB=CD=BC=

，

∴△ABD是等边三角形，OD=CD?tan30°=1， ∴∠ADB=60°，

∵∠CDE=90°﹣∠C=60°，

∴∠ADE=180°﹣∠ADB﹣∠CDE=60°， ∴∠AOE=2∠ADE=120°， ∴

的长度为：

=π；

故答案为：；

②若∠ADE=90°，则点E与点F重合，此时的长度为： =π；若∠DAE=90°，则DE是直径，则∠AOE=2∠ADO=60°，此时的长度为：

π；

∵AD不是直径， ∴∠AED≠90°； 综上可得：当

的长度是π或π时，△ADE是直角三角形．

故答案为：π或π．

19

=

18．当今社会手机越来越普及，有很多人开始过份依赖手机，一天中使用手机时间过长而形成了“手机瘾”．为了解我校初三年级学生的手机使用情况，学生会随机调查了部分学生的手机使用时间，将调查结果分成五类：A、基本不用；B、平均一天使用1～2小时；C、平均一天使用2～4小时；D、平均一天使用4～6小时；E、平均一天使用超过6小时．并用得到的数据绘制成了如下两幅不完整的统计图（图1、2），请根据相关信息，解答下列问题：

（1）将上面的条形统计图补充完整；

（2）若一天中手机使用时间超过6小时，则患有严重的“手机瘾”．我校初三年级共有1490人，试估计我校初三年级中约有多少人患有严重的“手机瘾”；

（3）在被调查的基本不用手机的4位同学中有2男2女，现要从中随机再抽两名同学去参加座谈，请你用列表法或树状图方法求出所选两位同学恰好是一名男同学和一位女同学的概率．

【考点】VC：条形统计图；VB：扇形统计图；X6：列表法与树状图法．

【分析】（1）根据C类的人数除以所占的百分比求出总人数，进而确定出B类的人数，补全条形统计图即可；

（2）求出调查样本中一天中手机使用时间超过6小时所占的百分比，乘以1490即可得到结

20

果；

（3）列表得出所有等可能的情况数，找出所选两位同学恰好是一名男同学和一位女同学的情况，即可求出所求概率．

【解答】解：（1）根据题意得：20÷40%=50（人）， 则B类的人数为50﹣（4+20+9+5）=12（人）， 补全条形统计图，如图所示：

；

（2）根据题意得：×1490=149（人），

则我校初三年级中约有149人患有严重的“手机瘾”； （3）列表如下： 男 男 女 女 男 ﹣﹣﹣ （男，男） （男，女） （男，女） 男 （男，男） ﹣﹣﹣ （男，女） （男，女） 女 （女，男） （女，男） ﹣﹣﹣ （女，女） 女 （女，男） （女，男） （女，女） ﹣﹣﹣ 所有等可能的情况有12种，其中所选两位同学恰好是一名男同学和一位女同学的情况有8种，

则P（一男一女）=

19．如图，我市某中学在创建“特色校园”的活动中，将奉校的办学理念做成宣传牌（CD），放置在教学楼的顶部（如图所示）该中学数学活动小组在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿坡面AB向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．已知山坡AB的坡度为i=1：

=．

，AB=10米，AE=15米．（i=1：是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH

21

的比）

（1）求点B距水平而AE的高度BH； （2）求宣传牌CD的高度． （结果精确到0.1米．参考数据：

≈1.414，

≈1.732）

【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．

【分析】（1）在Rt△ABH中，由tan∠BAH=

=i=

=

．得到∠BAH=30°，于是得到结

果BH=AB．sin∠BAH=10．sin30°=10×=5； （2）在Rt△ABH中，AH=AB．cos∠BAH=10．cos30°=5即tan60°=

，得到DE=15

，在Rt△ADE中，tan∠DAE=

，

，如图，过点B作BF⊥CE，垂足为F，求出BF=AH+AE=5+15，

于是得到DF=DE﹣EF=DE﹣BH=15﹣5，在Rt△BCF中，∠C=90°﹣∠CBF=90°﹣45°=45°，

+15，即可求得结果．

求得∠C=∠CBF=45°，得出CF=BF=5【解答】解：（1）在Rt△ABH中， ∵tan∠BAH=

=i=

=

．

∴∠BAH=30°，

∴BH=AB．sin∠BAH=10．sin30°=10×=5． 答：点B距水平面AE的高度BH是5米；

（2）在Rt△ABH中，AH=AB．cos∠BAH=10．cos30°=5在Rt△ADE中，tan∠DAE=即tan60°=

，∴DE=15

， ，

，

如图，过点B作BF⊥CE，垂足为F，

22

∴BF=AH+AE=5+15，

DF=DE﹣EF=DE﹣BH=15

﹣5，

在Rt△BCF中，∠C=90°﹣∠CBF=90°﹣45°=45°， ∴∠C=∠CBF=45°， ∴CF=BF=5

+15，

∴CD=CF﹣DF=5

+15﹣（15

﹣5）=20﹣10

≈20﹣10×1.732≈2.7（米），

答：广告牌CD的高度约为2.7米．

20．已知：关于x的方程kx2﹣（3k﹣1）x+2（k﹣1）=0 （1）求证：无论k为任何实数，方程总有实数根；

（2）若此方程有两个实数根x1，x2，且|x1﹣x2|=2，求k的值． 【考点】AA：根的判别式；AB：根与系数的关系． 【分析】（1）确定判别式的范围即可得出结论；

（2）根据根与系数的关系表示出x1+x2，x1x2，继而根据题意得出方程，解出即可．【解答】（1）证明：①当k=0时，方程是一元一次方程，有实数根； ②当k≠0时，方程是一元二次方程，

∵△=（3k﹣1）2﹣4k×2（k﹣1）=（k+1）2≥0， ∴无论k为任何实数，方程总有实数根．

（2）解：∵此方程有两个实数根x1，x2， ∴x1+x2=，x1x2=

，

∵|x1﹣x2|=2， ∴（x1﹣x2）2=4，

23

∴（x1+x2）2﹣4x1x2=4，即﹣4×=4，

解得： =±2，

即k=1或k=﹣，

经检验k=1或k=﹣是方程的解， 则k=1或k=﹣．

21．我市某风景区门票价格如图所示，黄冈赤壁旅游公司有甲、乙两个旅游团队，计划在“五一”小黄金周期间到该景点游玩．两团队游客人数之和为120人，乙团队人数不超过50人，设甲团队人数为x人．如果甲、乙两团队分别购买门票，两团队门票款之和为W元． （1）求W关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）若甲团队人数不超过100人，请说明甲、乙两团队联合购票比分别购票最多可可节约多少钱；

（3）“五一”小黄金周之后，该风景区对门票价格作了如下调整：人数不超过50人时，门票价格不变；人数超过50人但不超过100人时，每张门票降价a元；人数超过100人时，每张门票降价2a元，在（2）的条件下，若甲、乙两个旅行团队“五一”小黄金周之后去游玩，甲乙两团队联合购票比分别购票最多节约3400元，求a的值．

【考点】FH：一次函数的应用；AD：一元二次方程的应用；C9：一元一次不等式的应用． 【分析】（1）根据甲团队人数为x人，乙团队人数不超过50人，得到x≥70，分两种情况：①当70≤x≤100时，W=70x+80=﹣10x+9600，②当100＜x＜120时，W=60x+80=﹣20x+9600，即可解答；

（2）根据甲团队人数不超过100人，所以x≤100，由W=﹣10x+9600，根据70≤x≤100，利用一次函数的性质，当x=70时，W最大=8900（元），两团联合购票需120×60=7200（元），即可解答；

24

（3）根据每张门票降价a元，可得W=（70﹣a）x+80=﹣（a+10）x+9600，利用一次函数的性质，x=70时，W最大=﹣70a+8900（元），而两团联合购票需120（60﹣2a）=7200﹣240a（元），所以﹣70a+8900﹣=3400，即可解答．

【解答】解：（1）∵甲团队人数为x人，乙团队人数不超过50人， ∴120﹣x≤50， ∴x≥70，

①当70≤x≤100时，W=70x+80=﹣10x+9600， ②当100＜x＜120时，W=60x+80=﹣20x+9600， 综上所述，W=

（2）∵甲团队人数不超过100人， ∴x≤100， ∴W=﹣10x+9600， ∵70≤x≤100，

∴x=70时，W最大=8900（元）， 两团联合购票需120×60=7200（元）， ∴最多可节约8900﹣7200=1700（元）． （3）∵x≤100，

∴W=（70﹣a）x+80=﹣（a+10）x+9600， ∴x=70时，W最大=﹣70a+8900（元），

两团联合购票需120（60﹣2a）=7200﹣240a（元）， ∵﹣70a+8900﹣=3400， 解得：a=10．

22．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，将△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C1OD1，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），连接AC1、BD1，AC1与BD1交于点P． （1）如图1，若四边形ABCD是正方形． ①求证：△AOC1≌△BOD1．

②请直接写出AC1 与BD1的位置关系．

（2）如图2，若四边形ABCD是菱形，AC=5，BD=7，设AC1=kBD1．判断AC1与BD1的位置关系，

25

说明理由，并求出k的值．

（3）如图3，若四边形ABCD是平行四边形，AC=5，BD=10，连接DD1，设AC1=kBD1．请直接写出k的值和AC12+（kDD1）2的值．

【考点】LO：四边形综合题；KD：全等三角形的判定与性质；R2：旋转的性质；S9：相似三角形的判定与性质．

【分析】（1）①如图1，根据正方形的性质得OC=OA=OD=OB，AC⊥BD，则∠AOB=∠COD=90°，再根据旋转的性质得OC1=OC，OD1=OD，∠COC1=∠DOD1，则OC1=OD1，利用等角的补角相等得∠AOC1=∠BOD1，然后根据“SAS”可证明△AOC1≌△BOD1；

②由∠AOB=90°，则∠OAB+∠ABP+∠OBD1=90°，所以∠OAB+∠ABP+∠OAC1=90°，则∠APB=90°所以AC1⊥BD1；

（2）如图2，根据菱形的性质得OC=OA=AC，OD=OB=BD，AC⊥BD，则∠AOB=∠COD=90°，再根据旋转的性质得OC1=OC，OD1=OD，∠COC1=∠DOD1，则OC1=OA，OD1=OB，利用等角的补角相等得∠AOC1=∠BOD1，加上

，根据相似三角形的判定方法得到△AOC1∽△BOD1，得

到∠OAC1=∠OBD1，由∠AOB=90°得∠OAB+∠ABP+∠OBD1=90°，则∠OAB+∠ABP+∠OAC1=90°，则∠APB=90°，所以AC1⊥BD1；然后根据相似比得到

=

=

=，所以k=；

（3）与（2）一样可证明△AOC1∽△BOD1，则===，所以k=；根据旋转的性

质得OD1=OD，根据平行四边形的性质得OD=OB，则OD1=OB=OD，于是可判断△BDD1为直角三角形，根据勾股定理得BD12+DD12=BD2=100，所以（2AC1）2+DD12=100，于是有AC12+（kDD1）2=25． 【解答】（1）①证明：如图1， ∵四边形ABCD是正方形，

26

∴OC=OA=OD=OB，AC⊥BD， ∴∠AOB=∠COD=90°，

∵△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C1OD1， ∴OC1=OC，OD1=OD，∠COC1=∠DOD1， ∴OC1=OD1，∠AOC1=∠BOD1=90°+∠AOD1， 在△AOC1和△BOD1中

，

∴△AOC1≌△BOD1（SAS）； ②AC1⊥BD1；

（2）AC1⊥BD1． 理由如下：如图2， ∵四边形ABCD是菱形，

∴OC=OA=AC，OD=OB=BD，AC⊥BD， ∴∠AOB=∠COD=90°，

∵△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C1OD1， ∴OC1=OC，OD1=OD，∠COC1=∠DOD1， ∴OC1=OA，OD1=OB，∠AOC1=∠BOD1， ∴

，

∴△AOC1∽△BOD1， ∴∠OAC1=∠OBD1， 又∵∠AOB=90°，

∴∠OAB+∠ABP+∠OBD1=90°， ∴∠OAB+∠ABP+∠OAC1=90°， ∴∠APB=90° ∴AC1⊥BD1； ∵△AOC1∽△BOD1，

27

∴====，

∴k=；

（3）如图3，与（2）一样可证明△AOC1∽△BOD1， ∴

=

=

=，

∴k=；

∵△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C1OD1， ∴OD1=OD， 而OD=OB， ∴OD1=OB=OD，

∴△BDD1为直角三角形， 在Rt△BDD1中， BD2

2

2

1+DD1=BD=100， ∴（2AC21）+DD21=100， ∴AC2

1+（kDD2

1）=25．

28

23．如图1，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、点C三点．

（1）试求抛物线的解析式；

（2）点D（2，m）在第一象限的抛物线上，连接BC、BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC=∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）如图2，在（2）的条件下，将△BOC沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，记平移后的三角形为△B′O′C′．在平移过程中，△B′O′C′与△BCD重叠的面积记为S，设平移的时间为t秒，试求S与t之间的函数关系式？

【考点】HF：二次函数综合题．

【分析】（1）将点A、B代入抛物线解析式，求出a、b值即可得到抛物线解析式； （2）根据已知求出点D的坐标，在y轴上取点G，使GC=CD=2，只要证明证明△CDB≌△CGB，可知∠PBC=∠DBC，写出直线BP解析式，联立二次函数解析式，求出点P坐标；

（3）分两种情况，第一种情况重叠部分为四边形，利用大三角形减去两个小三角形求得解析式，第二种情况重叠部分为三角形，可利用三角形面积公式求得．

【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入抛物线y=ax2+bx+3（a≠0），

，

29

解得：a=﹣1，b=2．

故抛物线解析式为：y=﹣x2+2x+3．

（2）存在

将点D代入抛物线解析式得：m=3， ∴D（2，3）， 令x=0，y=3， ∴C（0，3）， ∴OC=OB，

∴∠OCB=∠CBO=45°， 如下图，

在y轴上取点G，使GC=CD=2， 在△CDB与△CGB中

∵BC=BC、∠DCB=∠BCO、GC=DC（SAS）∴△CDB≌△CGB， ∴∠PBC=∠DBC， ∵点G（0，1）， 设直线BP：y=kx+1， 代入点B（3，0）， ∴k=﹣，

∴直线BP：y=﹣x+1， 联立直线BP和二次函数解析式：

30

，

解得：或（舍），

∴P（﹣，）．

（3）直线BC：y=﹣x+3，直线BD：y=﹣3x+9，当0≤t≤2时，如下图： 设直线C′B′：y=﹣（x﹣t）+3 联立直线BD求得F（

，

），

S=S△BCD﹣S△CC′E﹣S△C′DF

=×2×3﹣×t×t﹣×（2﹣t）（3﹣）整理得：S=﹣t2+3t（0≤t≤2）． 当2＜t≤3时，如下图：

31

H（t，﹣3t+9），I（t，﹣t+3）

S=S△HIB= [（﹣3t+9）﹣（﹣t+3）]×（3﹣t）整理得：S=t2﹣6t+9（2＜t≤3）

综上所述：S=．

32

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