高考数学总复习配套教案：6.4不等式的综合应用

高考数学总复习配套教案

第六章 不 等 式第4课时

不等式的综合应用(对应学生用书(文)、

(理)91～92页

)

4

1. (必修5P102习题7改编)函数y＝x＋(x≠0)的值域是________．

x答案：(－∞，－4]∪[4，＋∞) 4

解析：当x>0时，y＝x＋≥2

x－2

4 －4 ≤4，当x<0时，y＝x＋ （－x）＋ x xx

－ ＝－4. （－x）· x

2. (必修5P102习题9改编)某种产品按下列三种方案两次提价．方案甲：第一次提价p%，

p＋q

%，2

第二次提价q%；方案乙：第一次提价q%，第二次提价p%；方案丙：第一次提价p＋q

第二次提价其中p>q>0，上述三种方案中提价最多的是________．

2

答案：方案丙

pq

1 1 ＝解析：设原来价格为A，方案甲：经两次提价后价格为A 100 100 pqp＋qpq1＋ 1＋；方案丙：经两次A 1；方案乙：经两次提价后价格为A ＋ 100 10010010000

p＋q p＋q2p＋qp＋q1提价后价格为A 1＋＝A[1＋＋.>pq，所以方案丙提·100 2220010 000 价最多．

13. (2013·海门联考)设x∈R，f(x)＝ 2，若不等式f(x)＋f(2x)≤k对于任意的x∈R恒成立，则实数k的取值范围是________． 答案：k≥2

1 1 ，因为 1 ∈(0，1]，所以k≥2. 解析：不等式化为k≥＋2 2 2

4. (2013·苏州期中)设变量x，y满足|x|＋|y|≤1，则x＋2y的最大值为________．

答案：2

解析：作出可行域为正方形，4个顶点分别为(1，0)，(0，1)，(－1，0)，(0，－1)，则

|x|

|2x|

|x|

|x|

2

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z＝x＋2y过点(0，1)时最大值为2.

[备课札记

]

题型1 含参数的不等式问题

2 x－x－2＞0，

例1 若不等式组 2的解集中所含整数解只有－2，求k的取值

2x＋（5＋2k）x＋5k＜0

范围．

解：由x2－x－2>0有x＜－1或x＞2，

由2x2＋(5＋2k)x＋5k＜0有(2x＋5)(x＋k)＜0. 因为－2是原不等式组的解，所以k＜2.

5

由(2x＋5)·(x＋k)＜0有－＜x＜－k.

2因为原不等式组的整数解只有－2， 所以－2＜－k≤3，即－3≤k＜2， 故k的取值范围是[－3，2)． 变式训练

（－1）n1

不等式(－1)a<2＋n∈N*恒成立，求实数a的取值范围．

n

＋

n

11

2. 解：当n为奇数时，－a＜2＋，即a＞－ nn1

2＋≤－3，则a>－3； 而－ n1113当n为偶数时，a＜2，而2－≥2－＝，

nn223

所以a＜.

2

3

综上可得：－3<a<.

2

题型2 不等式在函数中的应用

2x－a

例2 已知函数f(x)＝在区间[－1，1]上是增函数．

x＋2(1) 求实数a的值组成的集合A；

1

(2) 设x1、x2是关于x的方程f(x)a∈A及t∈[－1，1]，

x不等式m2＋tm＋1≥|x1－x2|恒成立，求实数m的取值范围．

4－2x2＋2ax

解：(1) f′(x)＝，

（x＋2）因为f(x)在[－1，1]上是增函数，所以当x∈[－1，1]时， f′(x)≥0恒成立，

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令φ(x)＝x2－ax－2，即x2－ax－2≤0恒成立．

φ（1）＝－a－1≤0， 解得－1≤a≤1. φ（－1）＝a－1≤0，

所以A＝{a|－1≤a≤1}． 1

(2) 由f(x)x2－ax－2＝0.

x

设x1，x2是方程x2－ax－2＝0的两个根，所以x1＋x2＝a，x1x2＝－2.从而|x1－x2|＝（x1＋x2）－4x1x2a＋8，因为a∈[－1，1]，所以a＋8≤3，即|x1－x2|max＝3， 不等式对任意a∈A及t∈[－1，1]不等式恒成立， 即m2＋tm－2≥0恒成立．

设g(t)＝m2＋tm－2＝mt＋m2－2，则

2

g（1）＝m＋m－2≥0， 2 g（－1）＝m－m－2≥0.

解得m≥2或m≤－2.

故m的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)． 备选变式（教师专享）

ab

设a，b＞0，且ab＝1，不等式＋λ恒成立，则λ的取值范围是________．

a＋1b＋1答案：[1，＋∞)

abab21

解析：因为ab＝1，所以＝1，所以λ≥1.

a＋1b＋1a＋abb＋aba＋bab

题型3 不等式在实际问题中的应用

例3 某森林出现火灾，火势正以100 m2/分钟的速度顺风蔓延，消防站接到报警立即派消防队员前去，在火灾发生后5分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人灭火50 m2/分钟，所消耗的灭火材料，劳务津贴等费用为人均125元/分钟，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用人均100元，而烧毁森林的损失费60元/m2，应该派多少消防队员前去救火才能使总损失最少？

解：设派x名消防队员前去救火，用t分钟将火扑灭，总损失为y，则t＝y＝灭火劳务津贴＋车辆、器械装备费＋森林损失费 ＝125xt＋100x＋60(500＋100t) 1060 000

＝125x×＋100x＋30 000＋x－2x－262 500

＝100(x－2)＋＋31 450

x－2≥62 500

100（x－2）31 450＝36 450，

x－2

5×10010

＝，

50x－100x－2

62 500

当且仅当100(x－2)，即x＝27时，y有最小值36 450，故应派27人前去救火

x－2才能使总损失最少，最少损失36 450元．

备选变式（教师专享）

某学校拟建一块周长为400 m的操场，如图所示，操场的两头是半圆形，中间区域是矩

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形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何设计矩形的长和宽？

解：设中间矩形区域的长，宽分别为x m，y m， πy

中间的矩形区域面积为S m2，则半圆的周长为m.

2πy

∵ 操场周长为400 m，所以2x＋2400，

2400

即2x＋πy＝400 0＜x＜200，0＜y＜π .

∴ S＝xy1

(2x)·(πy) 2π

1 2x＋πy220 000≤ ＝π 2π 2

2x＝πy，

由解得 200 2x＋πy＝400， y＝

π

x＝100，

∴ 当且仅当 200时等号成立．

y＝ π

200

即把矩形的长和宽分别设计为100 m和m时，矩形区域面积最大．

π

x＝100，

1. (2013·连云港模拟)关于x的不等式x2－ax＋2a＜0的解集为A，若集合A中恰有两个整数，则实数a的取值范围是________．

125

－1∪ ，9 答案： 3 3

解析：设方程x2－ax＋2a＝0的两根为x1、x2，则1<|x1－x2|＝a－8a≤3，解得417417a9

<a≤9或－1≤a<417.当4＋17<a≤9时，考虑抛物线的对称轴，因为4<<，

222

aa－8aa25

集合A中恰有两个整数即4和5，所以5－<－3，解得<a≤9；当－1≤a<4

2223

1a4－17

－17时，考虑抛物线的对称轴，因为－<0，集合A中恰有两个整数即－1和

222a－8aaa1

0，所以－(－≤1－1≤a<－2223

2. (2013·天津)已知函数f(x)＝x(1＋a|x|)．设关于x的不等式f(x＋a)<f(x)的解集为A，若

－11 A，则实数a的取值范围是________．

22

答案：

1－5

20

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解析：由题意得0∈A，所以f(0＋a)<f(0)，即a(1＋a|a|)<0，显然a<0，解得－1<a<0，11

函数f(x)＝x(1＋a|x|)是奇函数且图象中两条抛物线的对称轴x＝，x＝－之间的距离大于

2a2a1a1a111a1

，－，所以 －(－1，而－1<a<0，所以f(x＋a)<f(x)的解集为 2a2 2a2 222a22a1－51＋51－5a

－<a<又－1<a<0，所以2222

3. (2013·宿迁模拟)若a>0，b>0，且2＋1答案：2

11＋1，则a＋2b的最小值为________． 2a＋bb＋1

11＝[(2a＋b)＋3(b＋1)]· 1＋1＝1解析：2a＋4b＋3＝(2a＋4b＋3)·2a＋bb＋12a＋bb＋1

2a＋b3（b＋1）23＋1

＋＋3≥4＋3，所以a＋2b≥.

2b＋12a＋b

4. (2013·天津)设a＋b＝2，b>0，则当a＝________时，答案：－2

1|a|a＋b|a|ab|a|1

＋＝＋＋＋2

2|a|b4|a|b4|a|4|a|b4取等号，

即a＝－2，b＝4.

3b|a|

＝，且a<04|a|b44|a|b1|a|

＋取得最小值． 2|a|b

1. (2013·徐州模拟)若对满足条件x＋y＋3＝xy (x＞0，y＞0)的任意x、y，(x＋y)2－a(x＋y)＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围是________．

37－∞， 答案： 6

x＋y1

解析：x＋y＋3＝xy≤ ，所以x＋y≥6，则a≤x＋y＋，因为上述不等式右

2x＋y13737

边的的最小值为6＋，故a≤

666

2x－y≥0， 2x3＋y3

2. (2013苏州模拟)已知实数x、y满足不等式 x＋y－4≥0，则的取值范围是

xy

x≤3________．

55

3， 答案： 9

2x3＋y322y 1 y 1 2

解析：作出可行域，求得 3，2 ，令t＝∈ 3，2 ，则＋t，求导可得＋

xxxytt1 2x＋y255

，1上递减，在(1，2)上递增，故＋t2∈ 3，. t在 9 3 xyt

2

3

3

2

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3. (2013·南通模拟)设P(x，y)为函数y＝x2－1(x3)图象上一动点，记m＝x＋3y－7

，则当m最小时，点P的坐标为________． y－2

答案：(2，3)

3x＋x2－6x＋3x2－10x2－3x－1

解析：m＝＋＝6＋＋

x－1x－3x－1x－3

3x＋y－5

＋x－1

x2－3x－1

当且仅当＝x＝2时m取得最小，此时点P的坐标为(2，3)．

x－1x－3xy

4. (2013·镇江模拟)已知x、y为正数，则________．

2x＋yx＋2y2答案：3

yxy1t

解析：设t＝(0，＋∞)，则令f(t)＝f(t)在(0，

x2x＋yx＋2yt＋22t＋11)上递增，在(1，＋∞)上递减，故所求的最大值为f(1)＝

1. 不等式应用大致可分为两类：一类是建立不等式求参数的取值范围，或解决一些实际应用问题；另一类是建立函数关系，利用基本不等式求最值问题．

不等式的综合题主要是不等式与函数、解析几何、数列、三角函数等知识的综合．解决这些问题的关键是找出综合题的各部分知识及联系，充分利用数学思想和数学方法解题．

2. 建立不等式的主要途径有：利用基本不等式；利用问题的几何意义；利用判别式；利用函数的有界性；利用函数的单调性等．

3. 解答不等式的实际应用问题一般分四步，即审题、建模、求解、检验．

2. 3

请使用课时训练（B）第4课时（见活页）.

[备课札记]

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