2022年温州市重点中学自主招生模拟数学试题含答案 (2).docx

2017 年温州市重点中学自主招生模拟数学试题含答案

2017 年温州市重点中学自主招生模拟试题

数学试卷

（考试时间120 分钟，满分 150 分）

一 . 选择题（每题 5 分，共 50 分）

1. 下列数中不属于有理数的是（）

12

A.1

B.2

C.

D.0.1113

2

2.如图，在矩形中截取两个相同的圆作为圆柱的上．下底面，剩余的矩形作为圆柱的侧面，刚好能组合成圆

柱．设矩形的长和宽分别为y 和 x，则 y 与 x 的函数图象大致是（）

A. B. C. D.

3. 如果把 1、3、6、10 ,这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16 ,这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于 1 的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形

数”之和．下列等式中，

符合这一规律的是（）

A、 13 = 3+10

B、 25 = 9+16

C、 49 = 18+31

D、 36 = 15+21

4. a、b、c 均不为 0，若x yy

z z x abc 0 ，则 p(ab,bc) 不可能在（）

a b c

A 、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限

5. 如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2， a）（ a＞ 2），

半径为 2，函数 y=x 的图象被⊙P 截得的弦AB的长为2 3 错误！未找到引用源。，

则 a 的值是（）

A、2 2 错误！未找到引用源。 B 、2 2 错误！未找到引用源。C、2 3 +2错误！未找到引用源。

D 、23

6. 如图，在Rt△ABC中，∠ ACB=90o，∠ A=30o，BC=2，将△ ABC绕

点 C按顺时针方向旋转n 度后，得到△ EDC，此时，点 D 在 AB边

上，斜边 DE交 AC边于点 F，则 n 的大小和图中阴影部分的面积

分别为（）

A、30， 2

B、60，2

C、60，

3

D 、 60，3 2

7.如图一个长为 m、宽为 n 的长方形（ m＞ n）沿虚线剪开，

拼接成图 2，成为在一角去掉一个小正方形后的一个大

正方形，则去掉的小正方形的边长为（）

m n

B 、 m－ n m n

A、 C 、 D 、

222

8. 抛物线

y x 2 上有三点

1、 2、3，其横坐标分别为t ， t

+1

， t，则△ 1 2 3的面积为（）．P P P+3P P P

A.1Ｂ.2Ｃ . 3Ｄ .4

9. 已知直线

4

x y y y x8 与轴、轴分别交于点A和点B M是

，

3

B

OB 上的一点，若将△ABM 沿 AM 折叠，点B恰好落在x轴上的

点 B 处，则直线AM 的函数解析式是( ) A. y 1 x8 B.y 1 x8

23

C. y 1 x3

D.y 1 x3

23

M

B/O A x

10.正五边形广场 ABCDE的边长为 80 米，甲、乙两个同学做游戏，分别从 A、C 两点处同时出发，沿 A-B-C-D-E-A

的方向绕广场行走，甲的速度为50 米 / 分，乙的速度为 46 米/ 分，则两人第一次刚走到同一条边上时（）．Ａ . 甲在顶点 A 处Ｂ.甲在顶点B处

C. 甲在顶点 C 处Ｄ.甲在顶点D处

二 . 填空题（每题 6分，共 36 分）

11.分解因式： 2x 24xy 2 y2=________________.

12.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y k

( x 0, k 0 ) x

的图象经过点A（1, 2 ）， B（ m ， n）（ m＞ 1），过点B 作

y 轴的垂线 , 垂足为 C. 若△ ABC面积为２，则点 B 的坐标

为________.

13.如右图，是一回形图，其回形通道的宽和 OB的长均为 1，

回形线与射线 OA交于 A1， A2， A3，, ．若从 O

B

点到 A 点的回形线为第 1 圈（长为 7），从 A 点到 A A

112

点的回形线为第 2 圈， , ，依次类推．则第11 圈的长A 3 A 2 A 1

O

为．

14. 今有一副三角板（如图1），中间各有一个直径为4cm 的圆洞，现将三角板 a 的30o角的那一头插入三角

板 b 的圆洞内（如图2），则三角板 a 通过三角板 b 的圆洞的那一部分的最大面积为cm2（不计三角板的厚度，精确到0.1cm2）．

a

b

图1

15.如图，等腰梯形 MNPQ的上底长为 2，腰长为 3，一个底角

为 60°．正方形 ABCD的边长为 1，它的一边 AD

在MN上，且顶点 A与 M重合．现将正方形 ABCD在梯形

的外面沿边 MN、 NP、 PQ进行翻滚，翻滚到有一个顶点

与 Q重合时，点 A 所经过的路线与梯形 MNPQ的三边

MN、 NP、 PQ所围成图形的面积是________．

16.如图，在矩形 ABCD中， AB=2， BC=4，⊙D的半径为 1．

现将一个直角三角板的直角顶点与矩形的对称中心O

重合，绕着O点转动三角板，使它的一条直角边与⊙D

切于点 H，此时两直角边与AD交于 E， F 两点，则tan EFO的值为．三 . 解答题（共 6 小题，分别为8,10,10,10,12， 14 分，共 64 分）

17. 设数列1

,

1

,

2

,

1

,

2

,

3

,,

1

, 2 ,,

k

,，1 2 1 3 2 1k k11

问：（ 1）这个数列第 2010项的值是多少？

（ 2）在这个数列中，第2010 个值为 1 的项的序号是多少？D C

18. 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，⊙O为内切圆，E为切点，E

（Ⅰ）求AOD 的度数；

O

（Ⅱ）若 AO8 cm， DO 6 cm，求的长．A B

OE

.

19.请设计三种方案：把一个正方形剪两刀，使剪得的三块图形能够拼成一个三角形，并且使拼成的三角形既

不是直角三角形也不是等腰三角形，画出必要的示意图，并附以简要的文字说明．

20.某商场在促销期间规定：商场所有商品按标价的 80%出售，同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，可按

如下方案获得相应金额的奖券：

消费金额 w（元）的范围200≤w＜ 400400≤w＜ 500500≤ w＜ 700700≤ w＜ 900 ,

获得奖券的金额（元）3060100130,

根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠。例如，购买价为400 元的商品，则消费金额为320 元，获得的优惠为： 400× 0.2 ＋ 30 = 110 （元）。

购买商品获得的优惠额

设购买商品得到的优惠率.试问商品的标价

（1）购买一件标价为1000 元的商品，顾客得到的优惠率是多少？

（2）对于标价在500≤ w＜800（元）的商品，顾客购买标价为多少元商品，可得到不小于1

的优惠率。3

21. 已知：以原点 O 为圆心、 5 为半径的半圆与y 轴交于 A、G 两点， AB 与半圆相切于点A，点 B 的坐标为（ 3，

y B ）（如图 1）；过半圆上的点

C(x C ， y C )作 y 轴的垂线，垂足为

D ； Rt △DOC 的面积等于

3 x C 2 ．

8

（ 1）求点 C 的坐标；

（ 2）①命题“如图 2，以 y 轴为对称轴的等腰梯形 MNPQ 与 M 1 N 1P 1Q 1 的上底和下底都分别在同一条直线上，

NP ∥MQ ，PQ ∥ P 1Q 1 ，且 NP ＞MQ ．设抛物线 y=a 0x 2＋ h 0 过点 P 、Q ，抛物线 y=a 1x 2＋ h 1 过点 P 1、Q 1，

则 h 0＞ h 1”是真命题．请你以 Q （ 3， 5）、 P （4， 3）和 Q 1（ p ，5）、 P 1(p+1， 3)为例进行验证；②当图 1 中的线段 BC 在第一象限时，作线段 BC 关于 y 轴对称的线段 FE ，连接 BF 、 CE ，点 T 是线段

2

的取

BF 上的动点（如图

、 、

C 三点的抛物线 y=ax +bx+c 的顶点，求 K 的纵坐标 y K

3）；设 K 是过 T B

值范围．

y

y

y

A

B

M M 1 Q 1

Q

F T

B

N N 1

P 1 P

E

C

O

x

O

x

O x

G

图1

图2

图 3

22. 已知：二次函数 y ax 2

bx c 的图象与 x 轴交于 A 、B 两点，与 y 轴交于点 C ，

其中点 B 在 x 轴的正半轴上，点 C 在 y 轴的正半轴上，线段 OB 、 OC 的长（ OB ＜ OC ）是方程 x 2－ 10x ＋16

＝0 的两个根，且 A 点坐标为（－ 6， 0）．

（ 1）求此二次函数的表达式；

（ 2）若点 E 是线段 AB 上的一个动点（与点 A 、点 B 不重合），过点

E 作 E

F ∥AC 交 BC 于点 F ，连接 CE ，

设 AE 的长为 m ，△ CEF 的面积为 S ，求 S 与 m 之间的函数关系式，并写出自变量

m 的取值范围；

（ 3）在（ 2）的基础上试说明 S 是否存在最大值，若存在，请求出

S 的最大值，

并求出此时点 E 的坐标，判断此时△ BCE 的形状；若不存在，请说明理由．

参考答案

一 . 选择题（每题 5 分，共 50 分）

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

答案C

A

D

A

B

C

A

C

C

D

二 . 填空题（每题 6 分，共 36 分）

11.____

2

12._____

（ 3， 2 ______ 13.______87_______

2(x y) ______

3 ）

14.____14.9____________

15.

7 2 ______ 16.________

3

_________

3

4

三 . 解答题（共 6 小题，共 64 分）

17. （ 1）将数列分组： (1), (1 , 2), ( 1 ,

2

, 3

), , ( 1 , 2 , , k

),

1 2 1

3 2 1 k k 1 1

因为 1+2+3+ , +62=1953 ；1+2+3+ , +63=2016 ，

所以数列的第

2010 项属于第 63 组倒数第 7 个数，即为

57

。

7

（ 2）由以上分组可以知道，每个奇数组中出现一个 1，

所以第 2010 个 1 出现在第 4019 组，而第 4019 组中的 1 位于该组第 2010 位， 所以第 2010 个值为 1 的项的序号为（ 1+2+3+ , +4018 ）+2010=809428 。

18. 解（Ⅰ）∵ AB ∥ CD ，

∴ BADADC 180 ．

∵⊙ O 内切于梯形 ABCD ，

1

D C

∴ AO 平分 BAD ，有

DAO BAD ，

E

2

O

1

DO 平分

ADC ，有 ADO

ADC ．

2

A

B

1

( BAD

∴

DAO

ADO

ADC ) 90 ．

2

∴ AOD 180

( DAO

ADO ) 90 ．

（Ⅱ）∵在 Rt △ AOD 中， AO 8 cm ， DO 6 cm ，

∴由勾股定理，得

AD

AO

2

DO

2

10 cm ． M

∵ E 为切点，∴ OE AD ．有 AEO

90 ．

∴ AEO AOD ．

又

OAD 为公共角，∴△ AEO ∽△ AOD ．

O 1

O 2

D

∴ OE

AO

，∴ OE

AO OD 4.8 cm ．

A

N

OD AD

AD

19. 如图，在 AD 边上任取一点 N ，使点 N 不是边 AD 的中点 .

分 别 作 出 线 段

B C

AN、DN的中点 O1、 O2，只要把正方形ABCD沿 BO1、 CO2剪两刀，则得到的三块图形就可以如图所示地拼成一个符合题意的三角形.

答案不唯一：

H

A

E

D

A D

A E D

G

F

O

M

B C N F B E C G

B F

C G

G

A D

E

E O D

F A F

B C

B C

G

20. 解（ 1）1000 0.2

13033%

1000

（ 2）商品的标价为x 元，则

500x800，消费额： 4000.8x640 ，由已知得

0.2x6010.2x1001Ⅰx3或Ⅱ)x3 ( )(

0.8x

4000.8x500500640

不等式（Ⅰ）无解，不等式（Ⅱ）的解为625 x750

因此，当顾客购买标价在625x750 元内的商品时，可得到不小于1

的优惠率。3

21.解：（ 1）连 AC 交 BD 于 O，

∵ABCD 为菱形，∴AOB90， OA h

， OB 20 ．在 Rt△ AOB 中，∵ AO 2BO 2AB 2，2

∴ ( h

) 220 2302h 20 5 ．2

（ 2）从 a40 开始，螺旋装置顺时针方向旋转x 圈，则 BD 40x ．

∴ ( h

) 2(40x)2302h602(40 x) 2 22

（ 3）结论：s1s2．在h602(40x)2中，

令 x0 得，h060240244.721；

令 x 1 得，h160239245.596 ；

令 x 2 得，h260238246.433．

∴ s1h1h00.88 ， s2h2 h10.84 ，∴ s1s2．也可以如下比s1、 s2的大小：

∵

s1602392602402(602392 )(60 240 2 )

992179，

60239260240210020

s2602382602392( 602382 ) (602392 )

982277

9921

．

60238260239 2

而 7977 ， 100209822 ，∴ s s ．若将条件“从 a40 开始”改“从任

12

意刻开始”，s1s2仍成立．

∵ s1602(a1) 2602 a 2

602

2a1

60 2 a 2

，(a1)2

s2602(a2) 260 2(a1) 2

602

2a3

1) 2

．(a 2) 2602( a

而 2a 1 2a 3 ， 602 a 260 2( a 2) 2，∴ s1s2．

10. （1） y B=5= 半径 ;1x C y C=3x C2,x C2+y2C=25,得 C (4,3)?2分和 C(4, －3)

28

（ 2）① 点 P（ 4， 3）、 Q（3， 5）的抛物 y=a0x2＋ h0即 y=－2

x2+53,得 h0＝

53

. 777

P1(p+1， 3)、 Q1（p， 5）的抛物 y=a1x2＋h1即 y= -2

1x2 2 p210 p 5,

2 p 2 p 1

2 p210p5 h1=

1.

2 p

h0— h1＝53

－

2 p210 p5 7 2 p1

＝ -2(7 p3)( p - 3)＝ 2(7 p3)(3 - p) ，

7(2 p1)7(2 p1)

（∵ MQ ＞M 1 Q1，其中 MQ ＝ 6，∴ 0≤p＝ 1／ 2M 1Q1＜ 3，）可知0≤p＜ 3；

∴7p+3＞ 0，2p+1＞ 0， 3-p＞ 0，因而得到 h0— h1＞0，得 h0＞h1.

（或者明2p+1＞ 0，2

是大于0，得到 h0—h1＞0)② 然抛物 y=ax2

+bx+c

-14 p 36p 18 在0≤p＜3

的开口方向向下，a＜ 0.

当 T 运到 B 点， B 、 T、 K 三点重合即 B 抛物的点，∴y K≥5；?6分将点 T、 B、 C 三点的抛物y=ax 2+bx+c 沿 x 平移，使其称y ， y K不 .

由上述①的，当 T 在 FB 上运， F（－ 3，5）、 B （3， 5）、 C（ 4， 3）三点的抛物的

点最高点，∴ y K≤53

，

∴ 5≤ y K≤537

.

7

22.解： (1 ）解方程 x2－ 10x＋ 16＝ 0 得 x1＝ 2， x2＝ 8

∴B（ 2， 0）、 C（ 0， 8）

∴所求二次函数的表达式

2 28

y＝－ 3x －3x＋ 8

（ 2）∵ AB＝ 8， OC＝ 8，依意， AE＝m， BE＝ 8－ m，∵OA＝ 6， OC＝ 8，∴AC＝10.

∵E F∥AC,∴△ BEF∽△ BAC.

EF BE EF8－m

∴EF＝40－ 5m

∴＝ .即＝..

AC AB1084

点 F 作 FG⊥AB，垂足 G，

sin ∠FEG＝sin ∠CAB＝4FG 4 . ∴＝ . 5EF 5

4 40－ 5m

∴FG＝5·4＝ 8－ m.

∴S＝ S△BCE－ S△BFE

11

m（)8 m)＝（8 m) 8（8

22

1

m2 4m （0＜m＜8）

2

(3)存在．理由如下 :

1212

∵S＝－ m＋ 4m＝－（ m－4）＋ 8

22

∴当 m＝ 4 ， S 有最大， S 最大值＝8.

∵m＝ 4，∴点 E 的坐（－ 2， 0）

∴△ BCE等腰三角形．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ygxl.html