灰色系统理论

1灰色系统理论

背景：1982年，中国学者邓聚龙教授创立的灰色系统理论是一种研究少数据、贫信息不确定性问题的新方法。

研究对象：灰色系统理论以“部分信息已知，部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不确定性系统

方法和作用：通过对“部分”已知信息的生成、开发，提取有价值的信息，实现对系统运行行为、演化规律的正确描述和有效监控。（社会、经济、农业、工业、生态、生物等许多系统，是按照研究对象所属的领域和范围命名的，而灰色系统确是按颜色命名的。在控制论中，人们常用颜色的深浅形容信息的明确程度，如艾什比(Ashby)将内部信息未知的对象称为黑箱(BlackBox)，这种称谓已为人们普遍接受。我们用“黑”表示信息未知，用“白”表示信息完全明确，用“灰”表示部分信息明确、部分信息不明确。相应地，信息完全明确的系统称为白色系统，信息未知的系统称为黑色系统，部分信息明确、部分信息不明确的系统称为灰色系统。）

主要内容：以“灰色朦胧集”为基础的理论体系、以灰色关联空间为依托的分析体系、以灰色序列生成为基础的方法体系，以灰色模型（G，M）为核心的模型体系。以系统分析、评估、建模、预测、决策、控制、优化为主体的技术体系。

2灰色关联度分析

背景：灰色关联分析是灰色系统理论的一个分支，对受多种因素影响的事物和现象从整体观念出发进行综合评价。为了克服统计相关分析的上述种种缺陷，灰色关联分析给我们提供了一种分析因素之间相互关系的又一种方法。（在实际问题中，许多因素之间的关系是灰色的，人们很难分清哪些因素是主导因素，哪些因素是非主导因素；哪些因素之间关系密切，哪些不密切。灰色关联分析，为我们解决这类问题提供了一种行之有效的方法） 灰色关联分析的基本思想：

属于几何处理的范畴，实质是对反映各因素变化特性的数据序列所进行的几何比较

根据序列曲线几何形状的相似程度来判断其联系是否紧密。曲线越接近，相应序列之间关联度就越大，反之就越小。 灰色关联度分析计算步骤：

2.1 根据评价目的确定评价指标体系，收集评价数据

??1??x1???2??x1??,Xn?????X1?,X2???x??m??1??1?x2??2?x2???m?x2??????1??xn???2??xn?????m??xn????xi??1?,xi??2?,?,xi??m??T,Xii?1,2,?,n其中 为指标的个数

2.3确定参考数据列和对指标数据进行无量纲化

参考数据列应该是一个理想的比较标准，可以以各指标的最优值 （或最劣值）构成参考数据列，也可根据评价目的选择其它参照值．记作

??x0?(1),x0?2,?,?mX0 x0无量纲化后的数据序列形成如下矩阵

x11?xn1??x01

?? x12?xn2??x02X0,X1,?,Xn?? ????? ????xmxm?xm 1n?0?

??????????????????????????2.4 求参考数列与比较数列的灰色关联系数ξ（k）

(1) 逐个计算每个被评价对象指标序列与参考序列对应元素的绝对差值

0inm(2) 确定

minminx0(k)?xi(k)

i?1k?1

nm与 maxmaxx(k)?x(k)0ii?1k?1

(3) 分别计算每个比较序列与参考序列对应元素的关联系数．

minminx0(k)?xi(k)???maxmaxx0(k)?xi(k) kik?i(k)?i（12?5) x0(k)?xi(k)???maxmaxx0(k)?xi(k)ik(

式中?为分辨系数，在（0，1）内取值，若?越小，

关联系数间差异越大，区分能力越强。通常?取0.5)

x(k)?x(k)2.5计算关联序

对各评价对象（比较序列）分别计算其个指标与参考序列对应元素的关联系数的均值，以反映各评价对象与参考序列的关联关系，并称其为关联序，记为： m1 r0i??i(k)mk?1

依据各观察对象的关联序，得出综合评价结果

?3 GM(1.1)模型

基本思想：通过对“部分已知信息”的生成、开发,提取有价值的信息,并在研究离散函数性质的基础上,对离散数据建立微分方程的动态模型GM (1, 1) GM模型的基本原理

首先对原始数据进行累加，使生成的序列呈一定规律，其相应的曲线(或折线)可以用典型曲线逼近，然后用逼近的曲线作为模型，用以对系统进行预测． GM(1.1)的一阶微分方程模型： dx(2?13)GM(1.1) dt?ax?u

GM模型的一般过程

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