2018年高中数学北师大版必修4第2章平面向量 检测习题含解析

北师大版2018-2019学年高中数学必修4习题

第二章检测

(时间:120分钟 满分:150分)

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.下列等式成立的是( )

A. ???? =???? B.a·0=0

C.(a·b)c=a(b·c) D.|a+b|≤|a|+|b| 答案:D

2.设P是△ABC所在平面内的一点, ???? +???? =2 ???? ,则( ) A. ????

+???? =0 B. ????

+???? =0 C. ????

+ ???? =0 D. ????

+???? + ???? =0 解析:由 ???? +???? =2???? ,可得P是边AC的中点,从而 ???? +???? =0. 答案:B

3.已知非零向量a,b满足向量a+b与向量a-b的夹角为π2

,则下列结论中一定成立的是(A.a=b B.|a|=|b| C.a⊥b

D.a∥b

解析:因为向量a+b与向量a-b的夹角为π

2,

所以(a+b)⊥(a-b), 即(a+b)·(a-b)=0, 所以|a|2-|b|2=0,即|a|=|b|. 答案:B

4.已知点A(1,2),B(2,-1),C(2,2),若 ???? =13

???? ,???? =23

???? ,则 ????

·???? =( ) A.5 B.-5 C.3

D.-3

解析:由已知,得 ????

=(1,?3),???? =(0,3). ∴ ????

=(0,1),???? =(0,2). ∴ ???? =???? + ???? =(1,?3)+(0,1)=(1,?2), ???? = ???? +???? =(1,?3)+(0,2)=(1,?1). ∴ ????

·???? =1×1+(?2)×(?1)=3. 1

) 北师大版2018-2019学年高中数学必修4习题

答案:C

=?????? +(1???) 5.设O,A,M,B为平面上四点,????????,且??∈(1,2),则( ) A.点M在线段AB上 B.点B在线段AM上 C.点A在线段BM上 D.O,A,M,B四点共线

? 解析:由题意可知????????=??( ????? ????),

=?????? , 即????

∴A,M,B三点共线. 又λ∈(1,2),

|,点B在线段AM上. ∴| ????|>|????答案:B

2=???? ·???? +???? ·???? +???? ·???? ,则△ABC是( ) 6.已知△ABC满足????A.等边三角形 C.直角三角形

B.锐角三角形 D.钝角三角形

2=???? ·???? +???? ·???? +???? ·???? =???? ·( ????? )+???? ·???? =???? 2+???? ·???? ,则???? ·解析:???????? =0. ????

故△ABC为直角三角形. 答案:C

7.已知C为△ABC的一个内角,向量m=(2cos C-1,-2),n=(cos C,cos C+1).若m⊥n,则角C=( ) A.B. C.

2π5π

D. 36π6

π3

解析:由m⊥n,得(2cosC-1)·cosC-2(cosC+1)=0,

即2cos2C-3cosC-2=0,解得cosC=?或cosC=2(不符合题意,舍去).∵C∈(0,π),∴C=答案:C

8.下列说法中正确的个数为( )

+ +???? +???? = ; ①????????+????????

②若a·b<0,则a与b的夹角是钝角;

③向量e1=(2,-3),e2= 2,-4 能作为平面内所有向量的一组基底; ④若a∥b,则a在b方向上的投影为|a|. A.1

B.2

C.3

D.4

1

3

1

2

2π. 3

2

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+ +???? +???? = +???? +( +???? + +???? +???? =???? ,①正确; 解析:????????+????????????????)=????

当|a|=|b|=1且a与b反向时,a·b=-1<0,但a与b的夹角为180°,②不正确;因为e1=4e2,所以e1∥e2,所以向量e1,e2不能作为基底,③不正确;若a∥b,则a与b的夹角为0°或180°,所以a在b方向上的投影为|a|·cosθ=±|a|,④不正确.故选A. 答案:A

+5 =0,则∠ACB=( ) 9.已知O是△ABC外接圆的圆心.若3????????+7????A.6B.3C.6D.3

解析:由O是△ABC外接圆的圆心,

2 |=| |=??,由3 =0,可得 =?1(3 设| ????|=|????????????+5 ????+7????????????+5????),平方可得R=7

ππ5π2π

12(9??2+30??2cos2∠ACB+25R),解得49

cos2∠ACB=2,故由题意得,∠ACB=6.

1π

答案:A

=(??,1),???? =(2,4).若| |≤ 10,则△ABC是直角三角形的概率为( ) 10.已知k∈Z,????????A.B.C.D. |≤ 10及k∈Z,知k∈{-3,-2,-1,0,1,2,3}. 解析:由| ????

=(??,1)与 =(2,4)垂直, 若 ????????则2k+4=0,解得k=-2;

=???? ????? =(???2,?3)与 =(??,1)垂直, 若????????则k(k-2)-3=0,解得k=-1或3; 与 垂直, 若????????

·???? =0,(2,4)·则????(k-2,-3)=2k-4-12=0, 即k=8,不符合题意,

所以△ABC是直角三角形的概率是7. 答案:C

11.若非零向量a,b满足|a|=A.4B.2C.4D.π

解析:由(a-b)⊥(3a+2b)知(a-b)·(3a+2b)=0,即3|a|2-a·b-2|b|2=0.设a与b的夹角为θ,所以3|a|2-|a||b|cosθ-2|b|=0,即

2

172737473

2 2|b|,且(a-b)⊥(3a+2b),则3

a与b的夹角为( )

ππ3π

2 23· 3|??|

2

?3|b|2cosθ-2|b|2=0,整理,得cosθ=2,故??=4.

2 2 2π

3

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答案:A

12.如图,四边形ABCD是正方形,延长CD至点E,使得DE=CD.若动点P从点A出发,沿正方形的边 =?????? +?????? ,则下列判断中正确的是( ) 按逆时针方向运动一周回到点A,其中????

A.满足λ+μ=2的点P必为BC的中点 B.满足λ+μ=1的点P有且只有一个 C.λ+μ的最大值为3 D.λ+μ的最小值不存在

解析:由题意可知,λ≥0,μ≥0,当λ=μ=0时,λ+μ的最小值为0,此时点P与点A重合,故D错误;

当λ=1,μ=1时,点P也可以在点D处,故A错误;

当λ=1,μ=0,λ+μ=1时,点P在点B处,当点P在线段AD的中点时,λ=μ=,亦有λ+μ=1.所以B错误. 答案:C

1

2二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)

13.设向量a=(x,3),b=(2,1).若对任意的正数m,n,向量ma+nb始终具有固定的方向,则x= . 解析:当a与b共线时,向量ma+nb始终具有固定的方向,所以x=6. 答案:6

14.直线l经过原点O,且与向量a=(2,3)垂直,则直线l的方程为 . 解析:设直线l上的一点为A(x,y),

则 ????为直线l的方向向量. ·由题意,知????a=0,所以2x+3y=0, 故直线l的方程为2x+3y=0. 答案:2x+3y=0

15.在△ABC中,点M,N满

=2???? ,???? .若???? +?????? ,则??= ,??= . =???? =??????足????

解析:如图,

+ =????????????

4

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==

1 1 ????????? 321 1 ?????(?????????) 32=

1 1

?????????, 26∴x=2,??=?6. 答案:2 ?6

16.关于平面向量有下列四个命题:①若a·b=a·c,则b=c;②已知a=(k,3),b=(-2,6),若a∥b,则k=-1;③若非零向量a和b满足|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b的夹角为

30°;④ + · - =0.其中正确的命题为 .(写出所有正确命题的序号)

|??||??||??||??|解析:①中,a·b=a·c?a·(b-c)=0,当a=0时也成立,①不正确;②中,若a∥b,则

??

-2

??

??

??

??

1

1

11

=6?k=-1,②正确;③中,

=

??2 |??| 3

由已知可得a,b的夹角为60°,a与a+b的夹角为

??2 |??| ????????

30°,③正确;④中, + · -

|??||??||??||??|

?

=

??2|??|

2?

??

22|??|

=0,④正确.

答案:②③④

三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

=a, 17.(10分)如图,在?ABCD中,E,F分别是BC,DC的中点,G为DE与BF的交点.若????????=b,试以 . ,???? ,????a,b为基底表示????

解连接AE,AF,BD.

? + = ? ????????????=????????????

=a+?????=?????,

? = =????????????????+ ?????????

=b+2?????=???2??. 因为G是△CBD的重心,

=×???? =???? =????? =?(a+b). 所以 ????323332

1

1

1

1

1

1

1

212 5

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18.(12

=(6,3),在 上是否存在点??,使 分)设 ????=(2,5), ????=(3,1),????????????⊥ ?????若存在,求出点??的坐标;若不存在,请说明理由. =?????? =(6??,3??)(0≤λ≤1), 解设存在点M,且????

则 ????=(2?6??,5?3??), ????=(3?6??,1?3??),

∴(2-6λ)(3-6λ)+(5-3λ)(1-3λ)=0. ∴45λ2-48λ+11=0, 解得λ=3或??=15.

=(2,1)或 ∴????????=

∴存在点M(2,1)或

2211

, ,使 ????551

11

2211, . 55⊥ ????.

=???? +?????? (??∈R). 19.(12分)已知A(2,3),B(5,4),C(7,10),点P满足 ????(1)当λ为何值时,点P在正比例函数y=x的图像上? (2)设点P在第三象限,求λ的取值范围.

解由已知,知A,B,C三点的坐标依次是(2,3),(5,4),(7,10).

设点P的坐标为(x1,y1),

=(??1?2,??1?3), 则 ????

+?????? =(5?2,4?3)+??(7?2,10?3), ????

+?????? =(3+5??,1+7??). 即 ????

=???? +?????? , 由????

得(x1-2,y1-3)=(3+5λ,1+7λ).

??-2=3+5??,??=5+5??,由此可得 1? 1

??1=4+7??.??1-3=1+7??所以点P的坐标是(5+5λ,4+7λ). (1)令5+5λ=4+7λ,可得λ=2,

所以,当λ=时,点P在正比例函数y=x的图像上. 5+5??<0,(2)因为点P在第三象限,所以

4+7??<0.解得λ<-1,

所以λ的取值范围是(-∞,-1).

???????? 20.(12分)如图,在矩形ABCD中,|????|=4,|????|=3,e1= ,e2= .

1

1

2|????||????|

6

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=??e1+ye2,求x,y的值; (1)若????

与 的夹角的余弦值. (2)求????????

|=4,| |=3,e1=????,e2=????, 解(1)∵|???????? |????||????|

=???? +???? =4e1+3e2, ∴????∴x=4,y=3.

=3e2-4e1. = (2) ????????? ???? 与???? 的夹角为θ, 设????

|=| |= 32+42=5,|e1|=|e2|=1,e1·∵| ????????e2=0, ∴cosθ=

· ???????? ||???? || ????

=

(3??2+4??1)·(3??2-4??1)

5×5

=?

7. 25

·???? =???? ·???? . 21.(12分)在△ABC中,设????(1)求证:△ABC为等腰三角形;

+???? |=2,且??∈ π,2π ,求???? ·???? 的取值范围. (2)若| ????33 ·???? =???? ·???? , (1)证明因为????

·( ????? )=0. 所以 ????????

+???? +???? =0,则???? =?( +???? ), 又 ???????? +???? )·(???? ????? )=0, 所以-( ???? |2=|???? |2, 所以|????即AB=BC,

故△ABC为等腰三角形. (2)解因为B∈ 3,3 ,

11 +???? |=2,得| +???? |2=4, 所以cosB∈ -2,2 .设AB=BC=a,则由| ????????

π2π

即a2+a2+2a2cosB=4, 所以a2=1+cos??,

·???? =??2cosB=2cos??=2?2, 所以 ????

1+cos??1+cos??2

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又cosB∈ -2,2 , ·???? ∈ -2,2 . 所以 ????3 =1???? +2 22.(12分)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A,B,C三点满足 ????????. 33(1)求证:A,B,C三点共线; (2)求

|| ????

的值; || ????

11

·???? ? 2??+ |???? |的最小值为?(3)已知A(1,cos x),B(1+cos x,cos x),x∈ 0,2 ,??(??)=????33

,求实数??的值. 22 =1 (1)证明∵????????+????, 33π2

????? =∴???? =即????

2

(?????????), 32 ????.∴????∥????. 3又AC,AB有公共点A, ∴A,B,C三点共线.

=2???? =2( +???? ), (2)解由(1)得????????33∴

1 2

????=????, 33 || ???? ||????

=2 , ∴????????∴

=2.

=(1+cosx,cosx)-(1,cosx)=(cosx,0). (3)解 ????∵x∈ 0,2 , ∴cosx∈[0,1]. |=|cosx|=cosx. ∴| ???? =2 , ∵????????

????? =2( ). ∴?????????????

=2???? +???? =2(1+cosx,cosx)+(1,cosx)=(3+2cosx,3cosx), ∴3????

π

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= 1+∴????

2

cos??,cos?? . 3 ? 2??+2 |???? | ∴f(x)= ????·????3=1+3cosx+cos2x? 2??+3 cosx =(cosx-m)2+1-m2,cosx∈[0,1].

若m<0,则当且仅当cosx=0时,f(x)取得最小值1,与已知最小值为?相矛盾,即m<0不符合题意; 若0≤m≤1,则当且仅当cosx=m时,f(x)取得最小值1-m2. 由1-m2=?, 得m=±2(舍去);

若m>1,则当且仅当cosx=1时,f(x)取得最小值2-2m.由2-2m=?,得m=>1. 综上所述,实数m的值为.

7

432

74

1022

3232

9

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ygig.html