数列自主学习学案

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自主学习学案1——知识梳理

一、数列的概念、分类和表示法。

1. 数列、数列的项： 称为数列， 叫作这个数

列的项.

2. 项数有限的数列叫做 ，项数无限的数列叫做 . 3. 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做 ；从第2项起，每一

项都小于它的前一项的数列叫做 ；各项相等的数列叫做 ；从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做 ； 4. 数列的通项公式：数列{an}中的 ，可以用一个式子来表示，那

么这个公式我们叫做这个数列的通项公式.

5. 数列是一种特殊的函数,其定义域是 (或它的有限子集)，值域是当自变量顺

次从小到大依次取值时所对应的一列函数值， 可以看做数列的函数解析式. 6. 数列可用图像来表示，在直角坐标系中，数列的图像是 ，它们位于第

象限.

7. 如果已知数列?an?的第一项(或前几项)及相邻两项(或n项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫作这个数列的 . 二、 根据你自学数列的收获，完成下面的知识表格 定义（递推式） 首项、公差（比）取值有无限制 通项公式 相应图象的特点 等差数列 等比数列 第 1 页

小组合作完成 小组成员名单 中项的概念

第 2 页

前n项和公式 重要性质

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学案2——自主学习、合作探究

提示：请同学们认真书写解答过程，以备下节课进行课堂展示。 问题1 构建本章的知识网络图。

问题2 数列是一种函数，这种函数有什么特殊性吗？对数列与函数的关系你是怎样理解的？

第 3 页

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问题3 用递推公式描述等差数列的定义，并说明其通项公式是如何推导出来 的？

问题4 用递推公式描述等比数列的定义，并说明其通项公式是如何推导出来的？

【我的疑问】 第 4 页

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问题5 在学习过程中，你认为等差数列有哪些运算性质，试探究等差数列的基本性质？类比等差数列的性质，可以得到等比数列的哪些性质？

问题6 你知道求1?2?3???100??的高斯的算法吗？这种方法能够推广到求等差数列的前n项和吗？请写出等差数列前n项和公式的推导过程。

第 5 页

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问题7 尝试用不同方法推导等比数列的前n项和公式？并说明这些方法还可以用来计算通项公式为哪种类型的数列求和问题？

问题8 探究等差数列与等比数列的前n项和Sn的性质？并说明理由.

【我的疑问】 第 6 页

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问题9 如何求等差数列前n项和的最大值？

?9?问题10 如何根据数列通项an求最大项或最小项？比如an??n?2??试求??，

?10?an的最大值？

问题11 试写出数列通项an与前n项和Sn的关系，并说明如何根据前n项和Sn求通项an？在求通项表达式是需要注意什么问题？

问题12 归纳由数列通项an求其前n项和Sn的方法？并就每种方法设计一道对应的例题。

第 7 页

n

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问题13 试归纳由数列递推公式求通项公式的几种方法？并就每种方法设计一道对应的例题。

问题14 等差与等比数列与实际生活中的哪些问题相关？请举例说明。

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合作探究学案3：等差数列

例1：在等差数列?an?中，若a3?a4?a5?a6?a7?450，求a2?a8。

例2：已知三个数成等差数列，它们的和为18，平方和为116，求这三个数。

例3：已知数列?an?中， a1?

例4. 已知{an}为等差数列，Sn是{an}的前n项和，S7?7,S15?75.

1111,??，求an. 2an?1an3?S??S?求证：?n?是等差数列； （2）求数列?n?的前n项和Tn.

?n??n?

例5．已知数列?an?是等差数列，a1?0,S9?S17，试问n为何值时，数列的前n项和最大？最大值为多少？

第 9 页

小组合作完成 小组成员名单 例6：已知两个等差数列?an?和?bn?的前n项和分别是?Sn?和?Tn?，且求

例7：已知数列?an?的前n项和是Sn?12n?n2，

（1） 求通项公式； （2）求an前6项的和； （3） 求an前12项的和； （4）求数列an的前n项和Tn。 练习

1．在等差数列{an}中，am?n,an?m，则公差d=_______，am?n =___ ___ 2. 在等差数列{an}中，S10?100,S100?10，求S110。

2－an22

3. 已知数列满足a1=, = ，则该数列的通项为 。

3an+1an

4．设等差数列?an?的前n项和Sn，若已知前6项的和为36，最后6项的和为180，且

a11。 b11Sn7n?45, ?Tnn?3??????Sn?324?n?6?，求数列的项数n。

5．在等差数列{an}中，若a1??60,a17??12，求数列{|an|}的前n项和.

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合作探究学案4：等比数列

例1、（1）已知?an?是等比数列，an?0，又知a2a4?2a3a5?a4a6?25，求a3?a5；

（2）在等比数列?an?中，a1?a2?a3?7,a1a2a3?8，求?an?的通项公式。

例2：有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求此四个数。

例3. 求数列1,x,x2,x3,... 的前n项和Sn。

例4. 若等比数列?an?的前n项和为Sn?3n?a(a为常数）,

① 求a的值; ② 求通项公式an

例5．如果一个等比数列前5项和等于10，前10项和等于50，那么它前15项和等于多少？

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小组合作完成 小组成员名单 例6．递增等比数列?an?满足a2?a3?a4?28,且a3?2是a2,a4的等差中项 （1）求{an}的通项公式；（2）若bn?3nan，Sn是数列{bn}的前n项和，求Sn 练习

1.等比数列?an?中,an?0,a5a6?9,则log3a1?log3a2?log3a3?????log3a10?( )

A.12 B.10 C.8 D.2?log35 2. 已知数列{an}是公比

1的等比数列，若a1?a4?a7???a97?100，那么 2a3?a6?a9?...a99的值为（ ）

A．25 B. 50 C.75 D. 125 3. 等比数列前4项和为1，前8项和为17，则这个等比数列的公比q等于 . 4．在等比数列{an}中 ，a1?an?66,a2an?1?128, 且前n项和Sn?126，求n及公比q.

5. 设数列?an?的前n项和Sn?2n2，?bn?为等比数列，且a1?b1, b2?a2?a1??b1. (1)求数列?an?和?bn?的通项公式（2）设cn?

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an，求数列{cn}的前n项和Tn。 bn

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合作探究学案5——提升拓展

一、方法总结

（一） 数列通项公式的一般求法：

1. 利用有限项猜想、归纳公式，再证明。 2. 转化为等差数列和等比数列，利用公式求解。 3. 利用an与Sn之间的关系an? 求通项。

4. 利用递推关系求通项：（1）累乘法（2）累加法（3）构造法（4）取倒数或取对数

等方法求通项。

（二）数列前n项和Sn的一般方法

1. 直接转化为等差数列和等比数列求和问题。

2.（1）倒序相加法；（2）错位相减法；（3）裂项求和；（4）对通项分解或组合求和； 二、例题分析 例1：求通项an

（1）a1?0,an?1?an?3n?1

（3）a1?1,an?2an?1?3(n?2)

（5）a1?3,an?1?an

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2

（2）a1?1,2nan?1?an

（4）a1?1,an?1?2an an?2

* （6）a1?2,an?1?Sn?2n?N

??

小组合作完成 小组成员名单 例2.数列{an}的前n项和Sn?n(2n?1)an，并且a1?

例3. 已知数列{an}是等差数列，且a1?2,a1?a2?a3?12

（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn?an?xn(x?R)，求数列{bn}的前n项和公式。

1，求此数列的通项公式。 34x?1?例4：设函数f?x??x，求S?f???4?22013??

?2?f?????2013???2012?f??. 2013??例5：数列?an?满足a1=8，a4?2，且an?2?2an?1?an?0 （n?N）

? ①求数列?an?的通项公式；②求数列bn?

1的前n项和。

n?14?an?第 14 页

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