数学建模几种类型

第四章 微积分模型

今天人们不论从事什么活动都讲究高效益,即希望所采取的策略使某个或某些指标达到最优。商店订货要使订货、存贮等费用最小，体育比赛运动员要创造最好的成绩，工程设计要追求最佳方案。普遍存在的优化问题经常成为人们研究的对象，建立这类问题的模型，我们称为优化模型。

建立优化模型首先要确定所关心的优化指标的数量描述，然后构造包括这个指标及各种限制条件的模型，通过模型求解给出达到优化指标的所谓策略。本章仅考虑定常情况给的策略不随时间改变)。

4.1 不允许缺货模型

某配送中心为所属的几个超市送配某种小电器，假设超市每天对这种小电器的需求量是稳定的，订货费与每个产品每天的存贮费都是常数。如果超市对这种小家电的需求是不可缺货的，试制定最优的存贮策略(即多长时间订一次货，一次订多少货)。 如果日需求量价值100元，一次订货费用为

5000元，每件电器每天的贮存费q(t)1元，优结果。 Q模型假设:

（1）每天的需求量为常数r； （2）每次的订货费用为c1，每天每件产品的存贮费为c2 ；

（3）T天订一次货,每次订QT1Tt件，为0时，立即补充，补充是瞬时完成的；（4）为方便起见，将r，Q都视为连续量。模型建立

将存贮量表示为时间的函数q(t),t?0时，进货Q件这类小电器,储存量q(0)需求r的速率递减，直到q(T)=0。 易见

Q=rT (4.1)

一个周期的存贮费用

C2=

?T0q(s)ds?c2A

一个周期的总费用

rT2 C=c1?c22

每天平均费用

(即所请给出最

Q,q(t)以且当存贮量

?c(T)?c1c2rT? (4.2) T2模型求解

求T，使c(T)取最小值。 由

dc?0，得 dTT?2c1,rc2Q?2c1rc2 (4.3)

上式称为经济订货批量公式。

模型解释

(1)订货费越高，需求量越大，则每次订货批量应越大，反之，每次订货量越小； (2)贮存费越高，则每次订货量越小，反之，每次订货量应越大。 模型应用 将c1?5000,c2?1,r?100代入(4.3)式得 T=10天,Q=1000件，c=1000元。

4.2 允许缺货模型

q(t)某配送中心为所属的几个超市送配某种

小电器，假设超市每天对这种小电器的需求Q量是稳定的，订货费与每个产品每天的存贮费都是常数。如果超市对这种小家电的需求是可以缺货的，试制定最优的存贮策略(即t多长时间订一次货，一次订多少货)。

T1T 如果日需求为100元，一次订货费用为5000元，每件电器每天的贮存费1元，每件小家电每天的缺货费为0.1元，请给出最优结果。

与不允许缺货情况不同的是，对于允许缺货的情况，缺货时因失去销售机会而使利润减少，减少的利润可以看作为因缺货而付出的费用，称为缺货费。于是这个模型的第（1）、（2）条假设与不允许缺货的模型相同，除此之外，增加假设

（3）每隔T天订货Q件，允许缺货，每天每件小家电缺货费为c3 。缺货时存贮量q看作负值，q(t)的图形如图4.2，货物在t?T1时送完。

TT1 一个供货周期T内的总费用包括：订货费c1，存贮费c2?0缺货费c3?T1|q(t)|dt，q(t)dt，

借助图4.2可以得到 一个周期总费用为 C?c1? 每天的平均费用 C(T,Q)?

利用微分法，令

11c2QT1?c3r(T?T1)2 22c1c2Q2c3(rT?Q)2 （4.4） ??T2rT2rT???C??0??T ??C???Q?0可以求出最优的T,Q值为

T'?2c1c2?rc.c3,Q'?2c1rc.c3 （4.5） 2c32c2?c3记

??c2?c3c(?1) 3通过与不允许缺货的模型相比较得到

T'?T?,Q'?Q/? （4.6） 显然T'?T,Q'?Q，即允许缺货时订货周期可以长一些，每次可以少订一些货。（4.6）式表明，缺货费c3越大，?值越小，T',Q'与T,Q越接近，这与实际是相符的，因为c3越大，意味着因缺货造成的损失越大，所以应该尽量避免缺货，当c3???时，??1，于是T'?T,Q'?Q。这个结果是合理的，因为缺货费充分大，造成的缺货损失也充分大，所以不允许缺货。

将所给的数据代入（4.6）式得到 T'?33天,Q'?333件,c?301.7元。

4.3森林救火模型

本节讨论森林救火问题。森林失火了，消防站接到报警后派多少消防队员前去救火呢队员派多了，森林的损失小，但是救火的开支增加了；队员派少了，森林的损失大，救火的开支相应减小。所以需要综合考虑森林损失和救火队员开支之间的关系，以总费用最小来确定派出队员的多少。

从问题中可以看出，总费用包括两方面，烧毁森林的损失，派出救火队员的开支。烧毁森林的损失费通常正比于烧毁森林的面积，而烧毁森林的面积与失火的时间、灭火的时间有关，灭火时间又取决于消防队员数量，队员越多灭火越快。通常救火开支不仅与队员人数有关，而且与队员救火时间的长短也有关。记失火时刻为t?0，开始救火时刻为t?t1被熄灭的时刻为t?t2。设t时刻烧毁森林的面积为B(t)，则造成损失的森林烧毁的面积为B(t2)。下面我们设法确定各项费用。

先确定B(t)的形式，研究B'(t)比B(t)更直接和方便。B'(t)是单位时间烧毁森林的面积，取决于火势的强弱程度，称为火势蔓延程度。在消防队员到达之前，即0?t?t1，火势越来越大，即B'(t)随t的增加而增加；开始救火后，即t1?t?t2，如果消防队员救火能力充分强，火势会逐渐减小，即B'(t)逐渐减小，且当t?t2时，B'(t)?0。

救火开支可分两部分：一部分是灭火设备的消耗、灭火人员的开支等费用，这笔费用与队员人数及灭火所用的时间有关；另一部分是运送队员和设备等的一次性支出，只与队员人数有关。

模型假设

需要对烧毁森林的损失费、救火费及火势蔓延程度的形式做出假设。 (1) 损失费与森林烧毁面

B'(t)积B(t2)成正比，比例系数为

c1，c1即烧毁单位面积森林的损失费，取决于?x??森林的疏密程度

?bt1t2t?，火和珍贵程度。

(2) 对于0?t?t1，火势蔓延程度B'(t)与时间t成正比，比例系数?称为火势蔓延速度。（注：对这个假设我们作一些说明，火势以着火点为中心，以均匀速度向四周呈圆形蔓延，所以蔓延的半径与时间成正比，因为烧毁森林的面积与过火区域的半径平方成正比，从而火势蔓延速度与时间成正比）。

(3) 派出消防队员x名，开始救火以后，火势蔓延速度降为???x，其中?称为每个队员的平均救火速度，显然必须x??/?，否则无法灭火。

（4）每个消防队员单位时间的费用为c2，于是每个队员的救火费用为c2(t2?t1)，每个队员的一次性开支为c3。

模型建立

根据假设条件（2）、（3），火势蔓延程度在0?t?t1时线性增加，在小，具体绘出其图形见图4.3。

记t?t1时，B'(t)?b。烧毁森林面积

B(tt2)??20B'(t)dt

正好是图中三角形的面积，显然有 B(t2)?12bt2 而且

tb2?t1??x??

因此

1b2 B(t2)?2bt1?2(?x??)

根据条件（1）、（4）得到，森林烧毁的损失费为c1B(t2)，救火费为算得到救火总费用为

C(x)?1c1b2cbx2c1bt1?2(?x??)?2?x???c3x 问题归结为求x使C(x)达到最小。令

dCdx?0 得到最优的派出队员人数为 x?c1?b?2c2?b2c3?2??? 模型解释

（4.8）式包含两项，后一项是能够将火灾扑灭的最低应派出的队员人数，前一项与相关的参数有关，它的含义是从优化的角度来看：当救火队员的灭火速度增大时，派出的队员数应该减少；当火势蔓延速度?、开始救火时的火势数c1增加时，派出的队员人数也应该增加。这些结果与实际都是相符的。 实际应用这个模型时，c1,c2,c3都是已知常数，?,?由森林类型、确定。

t1?t?t2时线性减c2x(t2?t1)?c3x据此计 （4.7） （4.8） ?和救火费用系数b以及损失费用系

消防人员素质等因素c3 4.4消费者的选择

本节利用无差别曲线的概念讨论消费者的选择问题。如果一个消费者用一定数量的资金去购买两种商品，他应该怎样分配资金才会最满意呢？

记购买甲乙两种商品的数量分别为q1,q2，当消费者占有它们时的满意程度，或者说给消费者带来的效用是q1,q2的函数，记作U(q1,q2)，经济学中称之为效用函数。U(q1,q2)?c的图形就是无差别曲线族，如图4.4所示。类似于第二章中无差别曲线的作法，可以作出效用函数族，它们是一族单调下降、下凸、不相交的曲线。在每一条曲线上，对于不同的点，效用函数值不变，即满意程度不变。而随着曲线向右上方移动，U(q1,q2)的值增加。曲线下凸的具体形状则反映了消费者的偏爱情况。这里假设消费者U(q1,q2)，即无差别曲线族已

设甲乙两种商品的单价分费者有资金s元。当消费者用商品时所作的选择，即分别用应该使效用函数U(q1,q2)达到

QQ'q2s/p2U(q1,q2)?c对甲乙两种商品的效用函数经完全确定了。 别为p1,p2元，消这些钱买这两种多少钱买甲和乙，最大，即达到最大

s/p1q1的满意度。经济学上称这种最优状态为消费者

均衡。

当消费者购买两种商品量为q1,q2时，他用的钱分别为p1q1和p2q2，于是问题归结为在条件

p1q1?p2q2?s （4.9） 下求比例p1q1/p2q2，使效用函数达到最大。

这是二元函数求条件极值问题，用乘子法不难得到最优解应满足

p?U?U/?1 （4.10） ?q1?q2p2

当效用函数U(q1,q2)给定后，由（4.10）式即可确定最优比例p1q1/p2q2。

上述问题也可用图形法求解。约束条件（4.9）在图4.4中是一条直线，此直线必与无差别曲线族中的某一条相切（见图4.4中的Q点），则q1,q2的最优值必在切点Q处取得。

图解法的结果与（4.10）式是一致的。因为在切点Q处直线与曲线的斜率相同，直线的斜率为?p1/p2，曲线的斜率为?经济学中

?U?U/，在Q点，利用相切条件就得到（4.10）式。 ?q1?q2?U?U,称为边际效用，即商品购买量增加1单位时效用函数的增量。（4.10）?q1?q2式表明，消费者均衡状态在两种商品的边际效用之比正好等于价格之比时达到。从以上的讨论可以看出，建立消费者均衡模型的关键是确定效用函数U(q1,q2)。构造效用函数时应注意到它必须满足如下的条件：

条件A ：

U(q1,q2)?c所确定的一元函数q2?q(q1)是单调递减的，且曲线是呈下凸的。

条件A是无差别曲线族U(q1,q2)?c的一般特性，这个条件可以用下面更一般的条件代替。

条件B：

近似式或者泰勒展开式求出，读者自行可以推出如下常用的二阶导数近似公式：

f(xk?h)?2f(xk)?f(xk?h) f\(xk)? （4.23） 2h并进一步利用泰勒公式给出（4.23）式的误差估计。

4.6.2数值积分

在许多实际问题中，常常需要计算定积分I??af(x)dx的值。根据微积分学基本定理，若被积函数f(x)在区间[a,b]上连续，只需要找到被积函数的一个原函数F(x)，就可以用牛顿—莱布尼兹公式求出积分值。但在实际使用时，往往因为被积函数的复杂性或难以求出原函数等原因，使得求精确值很难或不可能，所以需要用数值方法求某一定积分的近似值。

假如f(x)在[a,b]上可积，利用定积分的定义

b?a （4.24）

n??nk?1根据定积分的几何意义，可知当n充分大时，可将In视为积分I的近似值。这里?k是取自

b I??af(x)dx?limIn,nbIn??f(?k)第k个区间[xk?1,xk]中的值。该方法的几何意义就是利用一系列小矩形的面积近似曲边矩形的面积。对于?k的不同选取方到不同的数值积分公式，各种不

分公式的精度是不完全一样的。方法求积分的近似值时，需要根的要求，选择一个适合的积分公

梯形公式和辛普森公式

定积分表示曲线f(x）下的有向面积。我们先从图4.7上观计算定积分的面积。

yy?f(x)式，可以得同的数值积在利用数值据计算精度式。

xaxk?1xkxk?1b曲边梯形的察如何近似

b?a，n 如果将区间[a,b]划分n等分，结点分别记为 a?x0?x1???xn?b，h?fk?f(xk),h称为积分步长。如果取xk??k，公式（4.24）可以表示为

nIn?h?fk （4.25）

k?1式（4.25）称为计算定积分的矩形公式。

如果我们用小梯形代替小矩形作为曲边梯形的近似，即利用近似公式

n?1h Tn?h?fk?(f0?fn) （4.26）

2k?1它的实际含义是利用逐段线性函数作为f(x)的近似，式（4.26）称为梯形求积公式。

fk?1?fk代替fk，则得到2为了提高计算精度，可以用分段二次插值函数Sk代替f(x)。由于每段都要用到相邻两个小区间端点的三个函数值，所以小区间的数目必须是偶数。记n?2m,k?0,1,2,?,m?1，在第k段的两个小区间上用三个节点(x2k,f2k),(x2k?1,f2k?1),(x2k?2,f2k?2)作二次插值函数Sk(x)，然后积分可得

hx2k?2Sk(x)dx?(f2k?4f2k?1?f2k?2) ?x2k3求m段之和就得整个区间上的近似积分

Sn?m?1m?1hb?a (4.27) (f0?f2m?4?f2k?1?2?f2k),h?32mk?0k?1

公式（4.27）称为抛物形公式（辛普森求积公式）。

梯形公式在小区间[xk,xk?1]上是用线性插值函数T(x)代替f(x)，由泰勒公式得到 f(x)?T(x)?f\(?k)2(x?xk)(x??k?1),?k?[xk,xk?1] ?xk?1[f(x)?T(x)]dx?f\(?k)?xxk?1xk(x?xk)(x?xk?1)dxk2??h3

12f\(?k)梯形公式（4.26）的误差为

R(f,Tn)?|I?Tn|?|?baf(x)dx?Tn|

记 M2?max|f\(x)|,x?(a,b),它常可以粗略地估计，因此

R(f,Th2 n)?12M2(b?a) （4.28）

上式表明梯形公式（4.26）的误差是h2阶的，即是2阶收敛的。还可以求出辛普森公式的误差

(f,Sh4Rn)?180M4(b?a) （4.29）

其中M(4)(x)|,x?(a,b),即误差为h44?max|f阶的。

从前面的求积公式中可以看出误差随着n的增大（即步长减小）而减小，因此对于给定的误差?限，我们可以根据误差估计式确定适当的步长。由于（4.28）式或（4.29）式都含有高阶导数，一般都不容易估计。在实际求积过程中，通常用二分法每次将上一次的每个小区间等分为二，因此区间数n增加一倍，随着n的增加，计算精度也随着增加，直至满足精度要求（通常是通过比较前后两次计算值的误差是否满足精度要求来确定是否中断计算）下面以梯形公式为例说明这一过程。

由（4.28）式可知，当n增加一倍时，I?T12n?3(T2n?Tn)，所以只要|T2n?Tn|算出的T2n即可满足|I?T2n|??的精度要求。而每次分点加密一倍时，原分点的函数值需要重新计算，只需要求出新分点（xk,xk?1的中点）的函数值（记作fk?1/2），即可算出 TT2n?nhn?1b?a2?2?fk?1/2,h?2 （4.30） k?0对于辛普森公式也可作类似处理。

例1对于f(x)?411?x2，利用表4.1所给的数据，计算积分I??0f(x)dx。

表4.1f(x)?1/(1?x2)数据表

xk f(xk) xk f(xk)

0 4.00000000 5/8 2.87640449 1/8 3.93846154 3/4 2.56000000 1/4 3.76470588 7/8 2.26548673 3/8 3.50684932 1 2.00000000 1/2 3.20000000

解 这个问题有精确的答案 I?4arctanx|10???3.141592653。 4.27。，计

fk不 （）??将区间[0,1]八等分，即取n?8，应用梯形公式求得

1111315T8(f)??{f(0)?2[f()?f()?f()?f()?f()2884828

37?f()?f()]?f(1)}?3.1389885048 将区间[0,1]四等分，即取n?4，应用辛普森公式求得

1111131S4(f)??{[f(0)?4f()?f()]?[f()?4f()?f()]?6484482 15337[f()?4f()?f()]?[f()?4f()?f(1)]}?3.1415925028448T8,S4的结果，它们都需要提供9个点的函数值，计算量基本相同，然而精度却有较大

从梯形公式和辛普森公式中可以看到，不论哪个近似求积公式都可以写成如下形式：n In??Akf(xk) k?1Ak是与函数f(x)无关的常数，梯形公式与辛普森公式的区别仅在于一般用代数精度的概念来衡量求积公式的精度。代数精度是用幂函数作为被积函数，以近似积分与精确值是否相等作

设f(x)?xk，用（4.13）式计算I??baf(x)dx，若对于k?0,1,2,k?m?1时In?I，则称求积公式In的代数精度为m。容易验证梯形公式的代数精度为3。

梯形公式与辛普森公式的特点是将积分区间等分，将分点作为插值节点，用分段插值f(x)作积分，因而节点数n给定后节点xk是固定的，要构造求积公式只需要确4.31）式中的系数Ak即可。对于梯形公式，当区间分点数加倍时，近似值T2n?Tn3，如果用这个误差值作为T2n的一种补偿，得到公式 T?T1412n?3(T2n?Tn)?3T2n?3Tn 4.26）代入（4.32）得到 T?Sn

上式表明，用梯形公式对于区间二分前后的两个积分值Tn,T2n按（Sn，而误差由h2阶变为h4阶。类似地有 I?S112n?16(I?Sn),I?S2n?15(S2n?Sn)

SS161n,2n的线性组合15S2n?15Sn为更精确的近似公式，可以证明其误差是4.26）重新记作

Tn?1hfb?a1(h)?h?f1k?(0?fn),h? k?2nTh2n改为T1(2)，则上述构造Tn,T2n(Sn,S2n)线性组合的步骤可以归结为如

T4jj?1(h)?4j?1Tj(h2)?14j?1Tj(h),j?1,2,? （4.31）

Ak的取值不同。（复化求,m都有In?IT2n的误差约（4.32）

4.32）式线性组合，h6阶的。4.33）

4.34） 不比较差别，辛普森公式的精度相对较高。

龙贝格公式

其中同公式近似的精确程度是不一样的，积公式用阶来衡量）为精度的度量标准，有如下定义：?，而当

1，

辛普森公式的代数精度为多项式代替定（ 将梯形公式（ 等于

就得到辛普森公式的积分值

于是

如此继续下去，如果我们将最初的梯形公式（ （而将区间二分后的下的递推公式 （每递推一次误差降低h阶。(4.33)式和(4.34)式就是龙贝格求积公式。

2

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