二进制振幅键控(2ASK)信号的功率谱分析

Harbin Institute of Technology

随机过程课程设计报告

二进制振幅键控(2ASK)信号的功率谱分析

院（系）名称 ：电子与信息工程学院 学生姓名 ： 学生学号 ： 指导教师 ：

哈尔滨工业大学

2014年11月

摘 要

二进制振幅键控（2ASK）是出现最早的、也是最简单的数字调制方式，是研究其他数字调制方式的基础。由于数字基带信号是随机信号，因此2ASK信号也是随机信号，不满足傅里叶变换条件，只能分析其功率谱性质。

以前学习这部分知识的时候，缺乏随机过程的知识，书上直接给出相应的结果，对结果不是很理解。通过随机过程的学习，对随机信号功率谱密度的求解有了比较清楚的了解，于是自己动手推算了一下功率谱密度公式的由来，并通过绘图从理论上对2ASK信号的功率谱进行了分析。在这个过程中，我对随机过程的基础知识有了更进一步的掌握，并对数学在通信中的重要作用有了深刻认识，收获很大。

关键词：二进制振幅键控；功率谱密度；随机过程

目录

一、数字调制简介和问题的提出................................................................................ 1

1、数字调制简介 .................................................................................................. 1 2、问题提出 .......................................................................................................... 1 二、二进制振幅键控（2ASK）基本原理.................................................................. 1 三、2ASK功率谱分析................................................................................................. 3

1、2ASK信号的功率谱密度频域表达式的推导 ............................................... 3 2、2ASK信号的功率谱密度具体表达式 ........................................................... 4 3、2ASK信号的功率谱密度分析 ....................................................................... 5 四、心得体会................................................................................................................ 5 参考文献........................................................................................................................ 6

一、数字调制简介和问题的提出

1、数字调制简介

在现代计算机内部进行信息传递以及参与运算处理的大多数是二进制数字信号，在物理形式上表现为方波信号。根据傅里叶变换的知识我们知道，方波具有丰富的低频分量，在计算机内部通过导线进行短距离传输是可以的，但是却不适宜在诸如空气的无线信道中进行传送，必须将这些信号经过某种形式的变换之后才能传输，这种变换就是调制。

调制之前的信号我们称为数字基带信号。用数字基带信号对载波的某些参量进行控制，使载波的这些参量随基带信号变化而变化，一般来说载波是正弦波，所以称之为正弦载波调制。根据控制的参量不同，可以分为振幅键控（ASK）、移频键控（FSK）和移相键控（PSK），数字基带信号分别控制载波的幅度、频率、相位，从而完成对基带信号的调制。由于我们接触到二进制的数字比较多，我们一般研究二进制信号的调制。其中，二进制振幅键控（2ASK）是数字调制中出现最早的（最初的电报系统就是使用了这种调制方式），也是最简单的，是研究其他数字调制方式的基础。

2、问题提出

一般来讲，我们传输的信号都是随机的，不满足傅里叶变换的条件，因此我们在研究这些信号谱分布时，无法研究频谱结构，而只能讨论它们的功率谱结构。之前在学习《通信原理》时，课本上对2ASK功率谱的分析没有推导过程，而是直接将功率谱的公式给出；当时又比较缺乏随机过程的知识，对结果的得出很不理解。学习完随机过程这门课之后，我想，能不能运用所学的功率谱的知识，推导出2ASK功率谱的表达式呢？

二、二进制振幅键控（2ASK）基本原理

设数字基带信号为二进制码元0、1组成的序列，发送“1”符号的概率为P，发送“0”符号的概率为1-P，且它们相互独立，则一个二进制振幅键控信号可以表示成一个单极性矩形脉冲序列与一个正弦载波相乘，即

eo(t)?[?ang(t?nTs)]?cos?ct

n其中，Ts为二进制基带信号序列（码元）的时间间隔。

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g(t)是高度为1，持续时间为Ts的矩形脉冲。

an是第n个码元的电平取值，an的取值服从下述关系

概率为P?0,an??

?1,概率为1?P令s(t)??ang(t?nTs)，则eo(t)可表示为：

neo(t)?s(t)cos?ct目前，2ASK信号的产生有两种方法，乘法器实现和键控法，分别如图1和图2所示。乘法器实现就是通过二进制基带信号序列与载波直接相乘得到；键控法就是使用一 个受s(t)控制的开关来控制cos?ct的输出，从而得到调制信号。输出的波形如图2所示。

开关电路s(t)乘法器eo(t)cos?cteo(t)cos?cts(t)

(a) 2ASK乘法器实现 (b) 2ASK的键控法实现

图1 2ASK信号产生的两种方法

图2 2ASK调制输出波形

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三、2ASK功率谱分析

1、2ASK信号的功率谱密度频域表达式的推导

基于以上原理，我们分析2ASK信号的谱结构。由于二进制码元序列s(t)和2ASK信号eo(t)都是随机信号，不具备傅里叶变换条件，故只能讨论其功率谱结构。设eo(t)的功率谱密度为pE(f)，s(t)的功率谱密度为pS(f)，s(t)是平稳随机过程，其自相关函数为RS(?)。

首先求该信号的自相关函数：

Reo(t)(t,t??)?E[eo(t)eo(t??)]?E[s(t)?cos?ct?s(t??)?cos?c(t??)]?E[s(t)?s(t??)]?E[cos?ct?cos?c(t??)]?RS(?)?[cos?ct?cos?c(t??)]cos?c??cos(2?ct?2?)]2cos?c?cos(2?ct?2?)?RS(?)?RS(?)22

由上式可以看出，2ASK信号的自相关函数是关于时间t的函数，故2ASK信号不

?RS(?)[是平稳随机过程。根据随机过程中关于功率谱密度的定义，我们知道对于非平稳随机过程2ASK信号，其功率谱密度可表示为

?SX(?)??ARX(t,t??)e?i??d?

??上式成立的条件是ARX(t,t??)绝对可积，A而

ARS(?)1?cos?c(2t??)?limT??2T2?0?lim1T??2T?T?Tdt表示时间平均。

?T?TRS(?)?cos?c(2t??)dt2

故

ARX(t,t??)?ARS(?)R(?)cos?c??AS?cos?c(2t??)22R(?)?Scos?c?2

将上述结果进行傅里叶变换得到2ASK信号的功率谱密度

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RS(?)pE(f)?F(cos?c?)21?PS(?)??[?(???c)??(???c)]211??PS(f)??[?(f?fc)??(f?fc)]2?21?[PS(f?fc)?PS(f?fc)] （1） 4上式中，由角频率?变为频率f用到了公式??2?f。该式就是2ASK信号的功率

谱密度在频域的表达式。

2、2ASK信号的功率谱密度具体表达式

单极性矩形脉冲序列s(t)的功率谱密度比较复杂，这里直接使用已有结论：

PS(f)?fSP(1?P)G(f)?fS2(1?P)2G(0)?(f)

22上式中，G(f)是g(t)的傅里叶变换，是矩形脉冲的频谱。根据g(t)的频谱特点，对于所有m?0的整数，有G(mfS)?0，上式变为

PS(f)?fSP(1?P)G(f)?fS2(1?P)2G(0)?(f)

22将上式带入2ASK信号的功率谱密度在频域的表达式（1）得

PE(f)?122fsP(1?P)?G(f?fc)?G(f?fc)????4

122fs(1?P)2G(0)??(f?fc)??(f?fc)?41，上式变为 2当数字信号码元1和0统计独立且概率相等是，P?PE(f)?1?22fsG(f?fc)?G(f?fc)???16? (2)

122fsG(0)??(f?fc)??(f?fc)?16考虑到幅度为1，周期为Ts的矩形脉冲频谱为

G(f)?TsSa(?Tsf)?Tssin?Tsf

?TsfG(0)?Ts

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将上述两式代入(2)式，得到2ASK信号的功率谱密度具体表达式如下：

sin?(f?fc)Ts1sin?(f?fc)TsPE(f)???Ts?(f?fc)Ts?(f?fc)Ts (3)

1??(f?fc)??(f?fc)?16223、2ASK信号的功率谱密度分析

根据式(3)，可以绘出2ASK信号功率谱密度曲线如下图所示。

从上图可以看出，2ASK信号的功率谱密度是对单极性矩形脉冲信号s(t)的功率谱密度的搬移，并且幅度有所降低，符合(1)式的理论结果。

四、心得体会

作为通信专业的研究生，我越来越认识到数学在通信中所起的作用，由于通信信号一般都是随机信号，因此随机过程更是与通信信号的分析密不可分。通过随机过程的学习，重温之前专业课所讲的知识，并运用随机过程相关知识对结果进行推导，不仅使我清楚了2ASK信号的功率谱密度是如何得到的，加深了对知识的理解，而且也是一种思维的锻炼，启发我从理论的高度（而不是仿真的角度）思考结果为什么会这样。相信随着课题研究的深入，我能更加体会到随机过程的重要性，体会到数学的重要性。

但我同时明白，数学思维的训练不是一时半会就能收到效果的，需要持之以恒不断的努力、做好长期的打算。既然选择了这条路，就不能抱有退缩的想法。

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参考文献

[1] 郭黎利等.通信原理.哈尔滨:哈尔滨工程大学出版社,2003 [2] 樊昌信等.通信原理(6版).北京:国防工业出版社,2010.7 [3] 田波平等.应用随机过程.哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社,2012.4 [4] 朱华等.随机信号分析.北京:北京理工大学出版社,2011.7

[5] 张媛. 基于功率谱分析的信号调制方式识别与参数估值. 天津:天津理工大学出版社, 2013.

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/yfw.html