江西省重点中学盟校2012届高三第二次联考试卷数学理

江西省重点中学盟校2012届高三第二次联考试卷

理科数学

考试时间：120分钟 试卷满分;150分

卷Ⅰ（选择题，共50分）

1. 选择题：(本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的)

1、已知复数z?

11?i，则z·i在复平面内对应的点位于

B．第二象限

（ ）

A．第一象限 C．第三象限 D．第四象限

2、设全集U是实数集R，M=?xx?1?x?1?，N＝xy?22x?x表示的集合是( )

A．{x|1＜x≤2} C．{x|1≤x≤2}

?2?，则图中阴影部分

B．{x|0≤x≤2} D．{x|x＜0}

?6)的

3、将函数y=sinx的图象向左平移?(0 ??＜2?)的单位后，得到函数y=sin(x?图象，则?等于 （ ） A．

?6 B．

xa225?6 C.

7?6 D.

11?6

4、已知双曲线?yb22?1(a?0,b?0)，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于

M,N两点，O为坐标原点.若OM?ON，则双曲线的离心率为（ ）

A．?1?23 B．1?23 C.?1?25 D.1?25

5、一个正方体截去两个角后所得几何体的正（主）视图、侧（左）视图如右图所示，则 其俯视图为（ ）

ABCD正视图 侧视图

6、已知函数的定义域是[a，b]（a，b∈z），值域是[0，1]，则满足条

件的整数对（a，b）共有（ ）

A．2个 B．5个 C．6个 D．无数个

7、从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中任取3个不同的数字构成空间直角坐

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标系中的点的坐标?x,y,z?，若x?y?z是3的倍数，则满足条件的点的个数为（ ） A．252 B．216 C．72

D．42

8、设f(x) 是定义在R上的增函数，且对于任意的x都有f(1?x)?f(1?x)?0恒成立。?m?3如果实数m、n满足不等式组?22?f(m?6m?23)?f(n?8n)?0,那

m22?n的取值范

围是（ ）

A.（3, 7） B.（9, 25） C.（13 , 49） D.（9 , 49） 9、给出下列命题：① 函数y?ln(2cos2x?1)在区间??????,0?是递增函数3?

② 函数f(x)?2x?x2的零点有3个

③函数y?sinx(x????,??)图象与x轴围成的图形的面积是S?④若?~N(1,?2??sinxdx

??)，且P(0???1)?0.3，则P(??2)?0.2

其中真命题的序号是( )

A．②④ B.①② C.①④ D.②③④ 10、如图，在四面体ABCD中，已知DA?DB?DC?1，且DA、DB、DC两两互相垂直，在该四面体表面上与点A距离为条曲线的长度是（ ）

A．33233的点形成一条曲线，则这

? B.3? C.536? D.32?

第10题图

卷Ⅱ（非选择题，共100分）

二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)

11、如图为一个求20个数的平均数的程序,在横线上应填充的语句为 12、

设函数

f(x)?x(e?ae2ax6x?x)(x?R)2

是偶函数， S?0 i?1 DO INPUT x S?S?x i?i?1 LOOP WHILE__________ 二项式(x?)的展开式中，x项的系数为________．

13、下表给出一个“直角三角形数阵”

1

411 ,

24333 ,,4816 ??

满足每一列成等差数列,从第三行起,每一行的数成等比数列,且每一行

? a?S/20 PRINT a END 第11题图 的公比相等,记第i行第j列的数为aij(i?j,i,j?N),则a83等于 . 第 2 页 共 11 页

14、如图，在直角梯形ABCD中，AD?AB，AB∥DC，

AD?DC?1，AB?2，动点P在以点????C???为圆心，且与直????? 线BD相切的圆上或圆内移动，设AP??AD??AB （?，??R），则???取值范围是

（选做题：请考生在下列两题中任选一题作答.若两题都做，则按所做的第一题评阅计分第14题图 .本题共5分）

15、(1) 在平面直角坐标系中，已知直线l与曲线C的

参数方程分别为l：?x?1?s,（s为参数）和C：?x?t?2,??y?1?s?（t为参数）， ?y?t2若l与C相交于A、B两点，则AB? ． （2）已知函数f(x)?(1x?t?5?x2)的最大值为

18, 则实数t的值是________.

三、解答题：(本大题共6小题，满分75分．解答须写出文字说明、证明过程

和演算步骤)

16、（本小题12分）

如图，函数f(x)?Acos(?x??)( A>0,??0,?????0)的图像

（1）求f(x)的表达式 （2）若△ABC中有cosCa?ccosB?2b，且f(A2)?65，求cos2C的值。

y 2 3? ?4X

?28

17．（本小题满分12分）

如图4所示的茎叶图记录了甲、乙两个小组（每小组4人）在期末考试中 的数学成绩．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a表示．

甲组 乙组已知甲、乙两个小组的数学成绩的平均分相同． 9 7 8

7

（1）求乙组四名同学数学成绩的方差；

6 6

9 a 3 （2）分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，记这两名同学数学

成绩之差的绝对值为X，求随机变量X的分布列和均值（数学期望）． 图4

18、已知斜三棱柱ABC?A1B1C1的底面是等腰直角 三角形，腰长为6，?ACB?90?，侧棱与底面 所成角为?，点B1在底面上射影D落在BC中点

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5

上．AB1?BC1，

（Ⅰ）求?的大小

（II）底面ABC重心是G点，E是线段CA1上的一点，GE∥侧面B1BCC1，求平面GEC1与 底面ABC所成锐二面角的余弦值。

19、（本小题12分） 已知函数f(x)=lnx-a2x (a∈R)

ax(1)求函数g(x)= --2f(x)在其定义域内为单调函数，求a的取值范围。

13bx?bx，若存在x1、x2∈(1,2)

3（2）已知a=2,且b≠0,函数g(x)? 使f(x1)=g(x2)成立，求b取值范围

20．（本小题满分13分）椭圆

的两个焦点为F1（﹣c，0），F2

（c，0），M是椭圆上的一点，且满足（1）求离心率的取值范围；

．

（2）当离心率e取得最小值时，椭圆上的点到焦点的最近距离为4(2?1)； ①求此时椭圆G的方程；

②设斜率为k（k≠0）的直线L与椭圆G相交于不同的两点A、B，Q为AB的中点，问A、B两点能否关于过点请说明理由．

21．（本小题满分14分）

数列{an }满足a1?12、Q的直线对称？若能，求出k的取值范围；若不能，

，an?1?12?an

（1）求证：｛

1an?11｝为等差数列，并求出an通项公式

（2）若bn?man?1,｛bn｝的前n次和为Bn,若存在整数m，对任意n∈N且n≥2都有

+

B3n?Bn?20n成立，求m的最大值

aiai?1)(1ai?1)?2(2?1)

（3）求证：?(1?i?1第 4 页 共 11 页

江西省重点中学盟校2012届高三第二次联考

理科数学参考答案及评分细则

选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1、B 2、C 3、D 4、D 5、 C 6、 B 7、A 8、 C 9、A 10、D

二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)

111、i?20或i?21 12、60 13、. 2 14、[1,2] 15、(1)

2（2）t?2或8

四、解答题：本大题共6小题，满分75分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16、（本小题12分）

T3?????解：（1）依题意可得：? ∴T??

4884 ∴?=2??????????2分

?8x2???0????Acos(0??4??????????4分

?4)?2?A?2

∴f(x)?2cos(2x?cosCcosB?4)??????????6分

（2）?2sinA?sinCsinB

∴sinBcosC?∴sin(B?C)?2sinAcosB?sinCcosB

2sinAcosB

又∵sin(B+C)=sinC ∴cosB?∴B? 又∵f(?422

??????????8分

?4)?65?cos(A?A2)?2cos(A??4)?35

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cos2C=cos[2(?? =-cos(

?2?4?A)]=cos(

3?2-2A)

?2A)

=-cos[2(

2

?4?A)] ?A)-1] 72514 =-[2cos( =1?2?925?4???????????12分

14?(87?90?a?93?95)，?? 1分

17. （1）解：依题意，得?(87?89?96?96)?解得a?3.??????????????????????????2分 根据已知条件，可以求得两组同学数学成绩的平均分都为x?92.????????3分

所以乙组四名同学数学成绩的方差为s?21??87?92?2??93?92?2??93?92?2??95?92?2??9. ?????5分

?4?（2）分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，共有4?4?16种可能的结果．?6分

这两名同学成绩之差的绝对值X的所有情况如下表：

87 93 93 95 116216X 甲 87 乙 89 2 4 4 6 21631696 9 3 3 1 96 9 3 3 1 1161164162160 6 6 8 所以X的所有可能取值为0，1，2，3，4，6，8，9.???????????8分 由表可得P(X?0)?P(X?4)?，P(X?1)?，P(X?6)?，P(X?2)?，P(X?8)?，P(X?3)?，P(X?9)?， .

所以随机变量X的分布列为：

X P 0 1161 2161162 1164163 4164 2166 3163168 1169 216 ????????10分

随机变量X的数学期望为

EX?0??6816116??1?174216?2??3??4?216?6??8?116?9?216

.????????????????????????12分

18、解：如图建立坐标系，可知A（6，0，0）B（0，6，0）

（1）∵B1O?平面ABC

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∴?=∠B1BC

∴B1（0，3，3tan?） C1(0,-3,3tan?) ??????????????????∵AB1?BC1 AB1=(-6,3,3tan?) BC1=(0,-9,3tan?) ∴-27+9tan?=0 ∴tan??3 2

z B1 C1

A1 E ?=60°????????????5分 ?????????（2）∵AA1?CC1?(0,?3,33)

∴A1（6，-3，33）

????????设CE??CA1??(6,?3,33)

y B G A x C ∴E:（6?,?3?,33?）

∵G为△ABC重心 ∴G（2，2，0）

????∴CE?(6??2,?3??2,33?)

又∵平面B1C1CB?CA

∴平面B1C1CB的法向量为（1，0，0，） ∴6?-2=0， ∴?=

13

∴E（2，-1，3）????????????8分 ?????????∴GE?(0,?3,3) GC1?(?2,?5,33)

??设平面GEC1的法向量为n1=（x,y,z）

?????3y?3z?0?n1?(2,1,3) ∴????2x?5y?33z?0又∵平面ABC?z轴

???∴平面ABC法向量n2=（0，0，1）

3864ax∴cos???????????????12分

ax19、解：（1）∵g(x)= -2-2f(x)= -?2lnx?ax

则g(x)?/ax?2x?ax2???????1分

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由函数g(x)= -

ax-2f(x)在其定义域内为单调函数得

//g(x)?0对x?(0,??)恒成立或g(x)?0对x?(0,??)恒成立

即ax2?2x?a?0恒成立或ax2?2x?a?0恒成立 ∴

a?(2xx?12)max或a?(1x2xx?12)min???????3分

∵ 当x?0时，x?∴0?2xx?12?2

?2x?1x?1???????5分

∴a?1或a?0

当a?0时，g/(x)?0对x?(0,??)显然恒成立

综上，a的 取值范围是a?1或a?0???????6分

（2）设f(x)的值域为A，g(x)的值域为B

由已知可得A∩B≠????????7分

由（1）可知a=1 f(x)在（1，+∞）为减函数 ∴f(x)在（1，2）上单调递减

∴f(x)值域为A：（ln2-2,-1）

∵g′(x)=b(x-1)(x+1)

① 当b<0时，g(x)在（1，2）上为减函数

∴B?(b,?3223b)

∵?∴

2323b?0 A∩B≠?

32b??1?b?????????9分

②当b>0 g(x)在（1，2）是单调增函数 ∴B?(?∵∴?232323b,23b)

b?0 A∩B≠? b??1?b?3232???????11分

32∴综上：b??或b????????12分

??????1分

20. 解：（1）设M（x，y），则

由

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又M在椭圆上，∴??????????2分

∴，??????3分

又0≤x2≤a2∴

，??????4分

∵， ∴??????5分

?a?c?4?（2）①?c2??依题意可得

2?a?2?1?∴??a?42?b?4

∴椭圆方程是：

??????7分

②．设l：y=kx+m由

而△＞0可得m2＜32k2+16??????9分 又A、B两点关于过点∴

、Q的直线对称

，设A（x1，y1），B（x2，y2），则

????10分

∴ ??????11分

∴

又k≠0，∴

∴需求的k的取值范围是

1或??????12分 或

??????13分

21． 解：（1）an?1?2?an

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1an?1?112?an?1?2?anan?1??1?1an?1

∴

1an?1?11an?11an?1?1an?1??1

∴{}为首次为-2，公差为-1的等差数列

∴=-2+（n-1）×（-1）=-（n+1）

n∴an?(2)bn?n?1n ???????????????????4分

?1?1nn?1

1n?1?1n+2+?+13n令Cn?B3n?Bn?∴Cn?1?Cn?1

1n?113nn?21?1n+31+?+113(n+1)?????

=?n?13n+23n+33n+112122-????0??????7分 =

3n+23n+33n+13n+33n+3?+1

∴Cn+1-Cn>0

∴｛Cn｝为单调递增数列 ∴(B3n?Bn)min?B6?B2?∴

m20?192013?14?15?16?1920

?∴m<19 又m?N

∴m的最大值为18 ??????????????????9分 （3）∵

aiai?1?i(i?2)(i?1))1ai?12?i?2ii?2i?11ai?1ai?1122?1

∴(1?aiai?1?()aiai?1)(1ai

=(1ai?ai?1?1ai?1)?aiai?1

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=(n1ai?1ai?1)(aiai?1?aiai?1)?2(1ai?1ai?1)???11分

∴?(1?i?1aiai?11ai)(1ai?11an?1)?2[(1a1?1a2n?2n?1)?(1a2?1a3)???(1an?1an?1)]

∴=2(

?)?2(2?)?2(2?1)?????????14分

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=(n1ai?1ai?1)(aiai?1?aiai?1)?2(1ai?1ai?1)???11分

∴?(1?i?1aiai?11ai)(1ai?11an?1)?2[(1a1?1a2n?2n?1)?(1a2?1a3)???(1an?1an?1)]

∴=2(

?)?2(2?)?2(2?1)?????????14分

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