物理学本科毕业论文 武汉大学近十年量子力学 部分考研真题的分类解析

本科毕业论文

题目： 武汉大学近十年量子力学

部分考研真题的分类解析

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武汉大学近十年量子力学部分考研真题的分类解析

摘要: 量子力学是大学物理学本科学生的必修课，同时它也是国内许多知名高校的物理

学研究生入学考试的必考科目。本文将武汉大学2002年—2011年的非相对论量子力学考研真题分八大类透析，给出了标准解法。并在此基础上提炼出解题模型，提高了运用量子力学的理论解决问题的能力。

关键词: 量子力学；考研真题；模型

I

目 录

1 真题的分类解析 ........................................................................................................................................... 1

1.1.1阶梯势垒的散射 ....................................................................................................................... 1 1.1.2 ?势的散射 ............................................................................................................................. 2 1.2一维束缚定态问题.............................................................................................................................. 3

1.2.1无限深势阱求解 ....................................................................................................................... 3 1.2.2 ?势求解 ................................................................................................................................. 3 1.2.3 初值问题求解.......................................................................................................................... 5 1.2.4傅立叶变换的应用 ................................................................................................................... 6 1.3 三维束缚态问题 ................................................................................................................................ 7

1.3.1 无限深球方势阱基态求法 ...................................................................................................... 7 1.3.2 盒子势求解.............................................................................................................................. 9 1.4 两个角动量算符有关题目求解 ......................................................................................................... 9

1.4.1 轨道角动量算符 ...................................................................................................................... 9 1.4.2 自旋角动量算符 .................................................................................................................... 11 1.6 表象理论相关习题求解................................................................................................................... 14 1.7 近似理论的应用 .............................................................................................................................. 16

1.7.1 非简并定态微扰 .................................................................................................................... 16 1.7.2 简并定态微扰........................................................................................................................ 17 1.7.3变分法 .................................................................................................................................... 18

2 重要解题模型 ............................................................................................................................................. 20

2.2?(x)势模型 ....................................................................................................................................... 20 2.3盒子势模型 ....................................................................................................................................... 21

2.4中心力场模型 ................................................................................................................................... 21 2.5平面转子模型 ................................................................................................................................... 21 3 总结 ..................................................................................................................................................... 21

II

前言：量子力学……①②③

1 真题的分类解析

在该部分，给出了真题的分类求解，并根据笔者学习量子力学时学习的深度排序。同时为了丰富文章的内容又加入一部分其他习题。该篇是本文的重点和主体。

1.1一维散射问题

1.1.1阶梯势垒的散射

??V0,x?0入射，求透射系数。

?0,x?0例题1.1（2002年）粒子以能量E由左向右对阶梯势垒 V?x???讨论如下三种情况：

㈠?V0?E?0 ； ㈡E >0； ㈢粒子能量E>0,但由左向右入射。

解：粒子入射示意图1：

①若?V0?E?0，则E?V0?0，且E<0， 在x<0时，Schr?dinger方程为：

图1粒子入射示意图

h2d2??2??x??V0??x??E??x? （1） 2mdx记k?2m(E?V0)hd22（2），则(1)式可以化简为：2??k??0

dxikx方程的解为： ?(x)?e?Re?ikx （3）

由其物理意义可知：（3）式左边一项代表入射波，右边一项代表反射波。 在x>0时，Schr?dinger方程为：

h2d2????x??E??x? （4） 2mdx2d2?2mE2记k??（5），则（4）式可以化简为：2??(k?)??0

hdx方程的解为： ?(x)?Se?k?x （6）

由其物理意义可知，（6）式代表的指数衰减波。由波函数的连续性条件，联立（3）（6）式得：

1

??(0)?1?R?S2ikk??ik；求解该方程组得：； S?R??ik?k?k??ik???(0)?ik?ikR??k?S由反射系数的定义并结合R的值得：

R2?221 （7） 22?k?R2mv0?h2透射系数为：1?R，带入数据得：1?R? （8）

2mv0②E>0,时粒子能量高于势场，求解方法与①类似，只是将（1）（4）中的?E换成E求解即可：

?2m(E?V0)k????(0)?1?R?S?h，其中? （9） ????(0)?ik?ikR??kS?2mE??k???h带入数据得即可求出透射系数。

③粒子从右往左入射时，比①中的从左往右入射，就是将（1）（4）两式中的x换成?x求解即可：

?2mEk????(0)?1?R?S?h，其中? （10） ????(0)?ik?ikR??kS2m(E?V0)???k???h带入数据得即可求出透射系数。

1.1.2 ?势的散射

例题1.2 设x=a处有一维?势垒 u?x??A?(x?a),A?0，能量为E的粒子从左方入射。求透射系数。

解：微观粒子的运动演化可由Schr?dinger方程给出：

h2d2??2??x??A?(x?a)??x??E??x? （1） 2mdxd2显然??x?在x=a处发散，对（1）式在区间?a??,a???上积分，可得：

dxh2?????(a??)???(a??)??A?(a)?E???x?dx （2） 2ma??再令??0，得：

2

a??

??(a??)???(a??)?2mA?(a)????(a)?0] （3） ??a?，且[??2h可见，???a?不连续，但是这个问题中粒子概率不连续，故??a?连续，波函数可写为：

ik(x?a)??Re?ik(x?a),x?a?e?(x)??ik(x?a) （4）

,x?a??Se其中，波失k?2mE，由波函数在x=a点连续得：1+R=S （5） h在x=a处，波函数的微商不连续，可以将（4）带入（3）得：

ik(S?1?R)?（5）（6）联立，消去R得透射系数：

2mAS （6） 2h?1?mA2?T?S??1?2?

?2hE?2注：?势使???a?不连续，是由Schr?dinger方程导致的。

1.2一维束缚定态问题

1.2.1无限深势阱求解

??,(x?a,x?0)求解体系的能级及波函数。

0,(0?x?a)?例题2.1 一个粒子在一维无限深势阱V(x)??注：在非相对论量子力学中，粒子无法穿透无穷高势壁的，故求解的结果必然是束缚态。

1.2.2 ?势求解

例题2.2 粒子在V(x)??a?(x)，（a>0）中运动，求粒子的束缚态能级及相应的归一化波函数。 思考：势场如果换成了V(x)?a?(x)，可以求解吗？（求解出的k为虚数，无物理意义）

3

例题2.3（2011年）设粒子在一维势阱V(x)??理论求体系基态能量的一级近似值。

解：因为??1，我们可以将?x看成是微扰：H?H0?H?

??,(x?a,x?0)中运动，??1，试用定态微扰

?x,(0?x?a)?h2d2μ即，在阱内： H?????x （1） 2mdx2h2d2?2，H???x；由例题2.1的结论可知： 其中，H0??2mdxEn?0?n2?2?2?2?2?0??，（其中n?1,2,3?）；当n=1时，得到：E1? （2） 2ma22ma2?2?2n?x?xsin（,0?x?a）sin（,0?x?a）??(0)(0)?n(x)??a，当n=1时，得到：?1(x)??a （3） aa?0，（x?a,x?0）?0，（x?a,x?0）??可见体系在基态无简并，则由无简并定态微扰理论可知：

E1=??1?(0)1(x)H??(0)12?x?a?xdx?(x)??sin2

aa20a?基态能量的一级修正为：

?a2

例题2.4（2008年）对于束缚在两个刚性势壁V(x)??能级的本征态中：

㈠本征能量与波函数； ㈡计算位置的不确定度(?x)解：①由例题2.1的结论可知：

2??,(x?a,x?0)之间的一维粒子，在第n

0,(0?x?a)?

n2?2h2本征能量En? （1）

2ma2?2n?xsin（,0?x?a）?波函数?n(x)??a ，（其中n?1,2,3L） （2） a?0，（x?a,x?0）?②求位置的不确定度，就是求涨落即平方平均偏差：(?x)4

2?x2?x （3）

2

由量子力学中平均值公式x?)（3）两式，得到: ?n(x)x?n(x)，联立（2）

a2?6?(?x)=?1?22?

12?n??2

1.2.3 初值问题求解

??,(x?a,x?0)

0,(0?x?a)?例题2.5（2006年、2003年）粒子在一维无限深方势阱中运动，势能函数V(x)??㈠求粒子的能量许可值和归一化波函数；

㈡已知在t=0时刻粒子处于波函数 ??x;0??（1+3cos时刻粒子状态的归一化波函数??x;t?；

㈢求粒子在状态??x;t?下能量的可能取值和取值几率，以及能量的期望值。 解：①由例题2.1的结论有：

?xa）sin?xa（阱内）描述的状态之中，求t>0

n2?2h2本征能量En? （1）

2ma2?2n?xsin（,0?x?a）?波函数?n(x)??a （其中n?1,2,3?） （2） a?0，（x?a,x?0）?②结合（2）式，并由题意得：??x;0??（1+3cos?xa）sin?xa

?sin?xa3a32?x??1??2 （3） ?sin222a2ai?Ent?将??x;t?按?n?x?展开：??x;t???C?nnn(x)e，令t=0联立（3）式得：

C1?a3a；C2?（Cn?0，当n?1,2时） （4） 222引入归一化常数A，可得： ??x;t??A(sin5

?xa

?ei?E1t?iE2t32?x???sine) （5） 2a

对（5）归一化后，得： A?2 （6） 13③联立（1）（5）（6）式可得??x;t?下可能取值为： E1、E2，几率分别为：

49、； 131320?2h249 E?E1?E2?213ma1313

例题

2.6（2002

年）一维谐振子在

t=0

时刻处于归一化波函数：

??x;0??11?0(x)??2(x)?c?4(x)之中，式中的?0(x)、?2(x)、?4(x)均为一维谐振子的定态25波函数，求：

㈠待定系数c；㈡t=0时刻体系能量，宇称的可能取值及相应的几率； ㈢t>0时刻，体系的状态波函数??x;t?=？

解：①利用谐振子波函数的正交归一性，将??x;0?归一化得：

3112 ??c?1，得：c?1025②t=0时刻，由谐振子能级表达式En?(?n)h?（?为谐振子的振动频率）得能量的可能取值：

12159E0?h?，E2?h?，E4?h? （1）

222③将??x;t?按?n?x?展开：??x;t???C?nnn(x)ei?Enth，令t=0联立（1）式得

iii?E0t?E2t?E4t113??x;t???0(x)eh??2(x)eh??4(x)eh

2510

1.2.4傅立叶变换的应用

??,(x?a,x?0)例题2.9（2011年）处于一维无限深方势阱V(x)??中的粒子，求粒子处于基态

0,(0?x?a)?和第一激发态下动量可能取值，相应几率及动量平均值。

6

1解：计算中会用到的Fourier变换：??p??p??2?由例题2.1的结论有：

????e?ip??p?xdx。 （1）

n2?2h2本征能量En? （2） 22ma?2n?xsin（,0?x?a）?波函数?n(x)??a （其中n?1,2,3L） （3） a?0，（x?a,x?0）??x?ix?21?i?2?xaasin①基态波函数：?1?x?? ??e?e?

a2i?aa?由Fourier变换并结合（1）式得：

1c1(p)?2?h i. 当

?????1?x?ei?pxhdx ??1???p????p?????????????? （4） ahi??ah??ah???a?p???2=0时，即p1?，那么出现p1的几率为：?1?c1(p)?，可得： haahp1?p1?1??2a2 （5）

ii. 当

??p??h?2，那么出现p2的几率为：?2?c2(p)?，可得： ?=0时，即：p2?ahaahp2?p2?2???2a2 （6）

联立（5）（6）式可得： p?p1?p2=0 ②通过（3）式可得第一激发态波函数：?2?x??求法与①类似。其结果也为0。

22?xsin，相应可能出现的几率和动量平均值的aa 1.3 三维束缚态问题

1.3.1 无限深球方势阱基态求法

??,(r?a)下的基态能量和归一化波

0,(0?r?a)?例题3.1（2010年）求解粒子在无限深球方势阱V(r)??7

函数。

解：分析，中心力场又称辏力场，求解时选取球坐标系。由题意可知，V(r)是r的函数，与角度?、?h22μ无关，则： H????V(r) （1）

2m对于基态l?0，设基态波函数为：??r?，球坐标下的基态Schr?dinger方程为：

2drdr??d2???r2mEdr2??r??h2??r??0 令：

u?r?r???r?，k2?2mEh2（3），则（2）式可以化简为： d2dr2u?r??k2u?r??0 方程（3）的解为： u?r??Acoskr?Bsinkr 代入边界条件：u?a??u?0??0，并由其物理意义可知A、B不同时为零，得到：

A=0；sinka?0，则：ka?n?,(n?1、2、3……) 把k的值代回（3）式可得定态能级：

=n2E?2h2n2ma2，(n?1、2、3……) 联立（5）（6）式得：

??r??u?r?r?Bsinkrr 将（8）式归一化可得： B=12?a 联立（7）（8）（9）式可得：

?1波函数：?(r)???sinn?r（,0?r?a）?2h2?2?aa；基态能量：E1=?0，（r?a）2ma2

8

（2） （4） （5） （6）

（7） （8） （9）

1.3.2 盒子势求解

例题3.2 一个电子被禁闭在一个三维无限深势阱中，三个平行于x，y，z轴分别长为L，

0?x、y、z?L?0，V(x)??㈠写出相应的Schr?dinger方程； ㈡写出相应于能及的时间无关波函

??,otherwise数；

解：①由题意可得Schr?dinger方程为：

r??h22r??r,t;0?x、y、z?L?ih?r,t?? （3.2.1） 2m??t?0;otherwise?r②求解方程（3.2.1）要对其进行分离变量：?r,t?X(x)Y(y)Z(z)T(t)，依次求解出问题中的

??????rX(x)Y(y)Z(z)，则可得到?r。而每一维的求法又与一维无限深势阱的求法相同。可得：

??r波函数：?nlm(r)?2n?x2l?y2m?zsin?sin?sin （3.2.2） LLLLLL能级：Enlm??2h22mL(n2?l2?m2) （3.2.3）

注：这里的（3.2.2）式相乘（3.2.3）式相加的形式源于分离变量。

例题3.3（2010年）当x，y，z的长度不等时，如x=a，y=b，z=c（a

r波函数：?nlm(r)?2n?x2l?y2m?zsin?sin?sin aabbcc能级：Enlm

l2m2?(??) 2mabc?2h2n2 1.4 两个角动量算符有关题目求解 1.4.1 轨道角动量算符

例题4.1（2011年）设体系处于归一化波函数???,???c1Y11?c2Y20所描述的状态之中，设

9

222μ的可能取值，相应的几率及平均值；㈡$c1?c2?1求：㈠LL的可能取值，相应的几率及平均z值。

2μ$解：①Lz和L的共同本证函数是球谐函数，那么由题意可得：

l1?1,m1?1； l2?1,m2?0 (4.1.1)

μ的可能取值为：h、0，相应几率为：c2、c2，并由此可得Lμ的平均值为：Lμ?c2h 则L12zzz1②由（4.1.1）式得：

222222$$L的可能取值为：2h，6h，相应几率为：c1、c2，并由此可得L的平均值为：

2222$L?2c1?6c2h2?2?4c2h2

????

例题4.2（2010年）两个粒子角动量分别是l1?2、l2?5，当它们耦合在一起时，请问它们角动量之间的夹角可能是多少？

μ?L?，如图2所示且 L?L解：耦合的角动量：$12l?(l1?l2),(l1?l2?1),LLl1?l2

那么l的可能取值为：7、6、5、4、3；相应的角度如下：

图2 角动量耦合示意图 1,当l?7时，??0；当l?3时，???；

7； 2013,当l?5时，????arccos；

5134,当l?4时，????arccos。

202,当l?6时，??arccos

2μ$例题4.3（2010年）在轨道角动量算符Lz和L的共同本征函数Ylm(?,?)下，求下列期望值：

?、L?、L?L?、L?2、L?2 Lxyxyxy??L?Lμμ?解：①由对易关系： ihL xyz?LzLy （4.3.1）

联立（4.3.1）式，并由球谐函数的正交归一性可得：

??1YL?Lμμ?Lxlmyz?LzLyYlm

ih1?LμY?1YLμL??YlmLyzlmlmzyYlm ihih10

mh??mh??Y （4.3.2）?YlmLyYlm?YlmL ylmihih???0。 考虑到m?为实数，则（4.3.2）式为零。即Lx??0 ②同理，由①的结果类推，可以知道：Ly??L??iL?，L??L??iL? （4.3.3）③引入角动量升降算符：L ?xy?xy??l,m?L,lm由(4.3.3)式得： L?h??(?l)m?(l?m1) 0 （4.3.4） ,lm|?,l?m122???同理可得： L?=0，L?=0，L?=0 （4.3.5） 222????L???由（4.3.5）式可得： L? ?Lx?Ly?iLxy?iLyLx?0 （4.3.6）22???L???注意到Lx，Ly，Lxy+LyLx均为厄米算符，其期望值为实数，故由（4.3.6）式可知：

22???L???Lx=Ly；Lxy+LyLx=0 （4.3.7）

μ?L?L???再由对易关系ihLzxy?LyLx，联立（4.3.7）式，可得：

?L? ?imh Lxy22222$??μμ????④已知ihLz?LxLy?LyLx，联立L?Lx?Ly?Lz，可知：

22222??$μLx?Ly?L?Lz=l(l?1)h2?m2h2 （4.3.8）

?联立（4.3.7）（4.3.8）两式得： Lx

221222? l(l?1)h?mh??Ly=???21.4.2 自旋角动量算符

uv例题4.4（2003年）只考虑自旋运动，设电子处于恒定均匀磁场B?(0,B,0)中，t=0时刻处于态ur$uurur1???2?0S?$?(0)???下，已知电子自旋磁矩算符Ms?这里?0是玻尔磁子，S是自旋算符，求在t >0

0h??时刻：

11

㈠电子自旋态?(t)；

㈡自旋期望值Sx(t)、Sy(t)、Sz(t)； ㈢电子自旋向上（Sz?hh）和向下（Sz??）的几率比。 22解：①电子自旋态?(t)随时间演化的方程是：

???(S,t) （4.4.1） ?(Sz,t)?Hsz?tururμμ?式中，Hs不含空间变量，只含自旋变量，已知电子的自旋磁矩为：????B?，?B是玻尔磁子，

ih则：

uruvμ?? （4.4.2） Hs????B??BB?y再设t时刻，电子的自旋态?(Sz,t)???a(t)??，则将方程（4.4.1）在Sz表象中用矩阵表述为： ?b(t)??0?i??a(t)???a(t)?ih????BB???? （4.4.3）

i0b(t)?t?b(t)?????求解方程（4.4.3）得：

?BB?&a(t)??b(t)???b(t)??BB?h其中， ????B?&?b(t)?Ba(t)??a(t)??hi?t?i?t??a(t)?c1e?c2e （4.4.4） ?i?t?i?t??b(t)??ic1e?ic2e将（4.4.4）代入初始条件：?(0)???，得到：?(Sz,t)??②由量子力学的平均值公式可知：

?1??0??cos?t?? （4.4.5） sin?t????(S,t) （4.4.6） ?x(t)???(Sz,t)?xz将（4.4.5）代入（4.4.6）得：Sx(t)???sin(2?t)，同理，Sy(t)?0，Sz(t)?cos(2?t)。 22μ的本证函数完全集??③将?(Sz,t)按Sz??展开：

?(Sz,t)???cos?t??1??0?cos?t?sin?t=????=(cos?t)??(sin?t)? （4.4.7） ??0??1??sin?t?222由上式可得：自旋向上的几率：(cos?t)，自旋向下的几率(sin?t)，两者的比之为：cot(?t)。

12

例题4.5（2007年）关于电子自旋：

h的本征矢； 2?的相应本征值为h的本征矢； ㈡在泡利表象，求一个电子自旋算符Sx2μ的相应本征值为h的本征态，电子2㈢设有一个两电子体系，如果体系中的电子1处于自旋算符Sz2?的相应本征值为h的本征态。试求体系总自旋角动量子数取零值的几率。 处于自旋算符Sx2μ的相应本征值为㈠在泡利表象，求一个电子自旋算符Sz解：该题目难度不高，，运用基本理论就可以解决，我们在此直接给出答案、

?1?1?1?1μ?①对于Sz，?????；②对于Sx，?h?；③总自旋为零的几率是: 。 ??0122????22

1.5 不确定关系的应用

我们学过的不确定关系有：时间能量不确定关系?E??t?hh，动量坐标不确定关系?x??p?。22这里我们给出用不确定关系求解基态能的思路。利用能量为坐标、动量的函数以及他们的约束条件，

即坐标和动量之间所满足的不确定性关系把问题转化成适当的极值问题。基本步骤课归纳如下四步： 1.写出经典的E；2.利用?E??t?3.求极值

h，?E??t:h代换掉E中的p??p； 2dE?0，得?x；4.代回?x，求E基

d(?x)例题5.1（2007年）应用测不准关系（或者E—t不确定性关系）估算： ㈠粒子在一维无限深方势阱中运动的基态能量； ㈡一维谐振子的基态能量； ㈢氢原子的基态能量；

p2?0 （5.1.1） 解：①一维无限深势阱中，按经典力学得体系的能量为：E=2m当体系在基态时，p=0,则E=0。现在用不确定性关系?x??p?知道?E??t:h， ??p:h，对体系基态进行能量修正： 2h （5.1.2） ?x(?p)2h2h2??将（5.1.2）式代入（5.1.1）得： E: （5.1.3） 222m2m(?x)2mah2由此可知：E基?

2ma2②按照我们提出的四步求解法，可以得到谐振子的基态能：E基?h?。

13

mke4③同理，求得的氢原子基态能为：E基??。

2?

例题5.2（2011年）应用能量—时间测不准关系估算正负电子对湮没的最远距离。

分析：正负电子对碰撞之后湮灭，会出现能量亏损，这样我们很容易就会想到用质能方程求解。 解：正负电子对发生湮灭时，能量变化为： ?E?mec （5.2.1） 能量时间测不准关系 ?E??t:h （5.2.2） 联立（5.2.1）和（5.2.2），知发生湮灭的最远距离为：

2?s?c??t:

hchc?13??3.87?10m 2?Emec 1.6 表象理论相关习题求解

该部分知识真题考的较少，主要运用矩阵力学的知识解答。初步认为，这是以后的命题趋势，笔者在参加2013年的考试时，量子力学的最后一个大题便是这类题。

例题6.1（2011年）某一体系的哈密顿算符及另两个力学量算符分别为：

?100??100??010???????H???0?0?10?，F?f?001?，G?g?100?

?00?1??010??001????????2?1??假定t=0时刻，体系态矢量为?(0)??1?，求

2???1?㈠t>0时刻体系态矢量?(t)；

㈡在态?(t)下，体系的力学量H、F、G各自的期望值，及可能取值，以及相应概率。

?100???解：①?H?h?0?0?10?为对角矩阵，?其本征值为其主对角线元素：h?0，?h?0，?h?0

?00?1???即：?1?h?0，?2??3??h?0 相应的本征矢为：

?1??0??0???????E1??0?，E2??1?，E3??0? （6.1.1）

?0??0??1???????14

t?o时，得?(t)，联立（6.1.1）按能量本征态展开：

3i?Enth?(t)??CnEne?1????C1?0?e?i?0t+C2?0???i?0t?1?e+C3?0???i?0t?0?e （6.1.2） n?1??0????0????1??t?0时，将（6.1.2）代入?(0)得：

??2??1???2??(0)?C???0??0??C1?+C?0??1????1???2?+C0(0)?? ?0???3?0??1???0??????C2??1????C3???2??1????2??求解（6.1.3）式，得：C1?22,C?C123?2 ??2e?i?0t??2?得： ?(t)???1?ei?0t??2? ?1??ei?0t??2??②i.H?的可能值为：??、10???0，相应几率：2、12，平均值：0 ii.对于力学量F而言，其本征方程为： F????? f??00久期方程：

0??f?0 0f??解（6.1.5）得： ?1??f，?2??3?f 将（6.1.6）代回（6.1.4），求得力学量μF相应的归一化本征矢为： ?0??1??0??1??????1?2??1??，?1??0?，?3??1 ?1????0?????1??将?(t)按力学量μF相应的归一化本征矢展开： ??t????1???2???3 15

6.1.3） 6.1.4） 6.1.5）

6.1.6）

6.1.7）

6.1.8）

（ （ （ （ （ （

μ可能的取值为： 求解（6.1.8）得到?、?、?的值。可算得力学量Fμ的平均值为：f。 ?f和f，相应几率为0、1。可以得到力学量Fμ的平均值为：iii.求解思路同ii，得力学量G

22g?gcos(2?0t) 82 1.7 近似理论的应用

1.7.1 非简并定态微扰

微扰理论常常无法单独考，而是以某一物理模型为载体来考查。常见的模型有平面转子和空间转

子模型。关于这两个模型放到第二篇中介绍。

例题7.1（2007年）一个粒子质量为M，在xy平面上距离定点O为恒定R绕O点转动，这个体系称为平面转子。

㈠求体系的能谱和归一化定态波函数；

㈡若平面转子带电荷q，处于恒定均匀外场E中，E的方向沿x轴，如果外电场非常强，再求体系的能谱；

㈢如果外电场很弱，试应用定态微扰理论求体系的基态能量的一级修正和二级修正。 解：①平面转子模型的能谱和归一化波函数如下：

uvuvn2h2能谱：En?，其中(n?0,?1,?2,LL)

2I归一化波函数：?????2IE1in?。 e，n?h22?h2d2μ?EqRcos? （7.1.1） ②在电场中，体系的哈密顿算符为： H??2Id?2求体系的能谱即是求（7.1.1）式的本征值。当外电场很强时，粒子只能在很小的角度内转动， 即： ??0，cos?:1?那么将（7.1.2）代入（7.1.1）式得：

?22 （7.1.2）

h2d21μH???EqR?2?EqR (7.1.3) 22Id?222hd12μ0?Hμ?EqR=??EqR?令： H （7.1.4） 22Id?2可见（7.1.4）式与一维线性谐振子的哈密顿量相似，可得：

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μ0的本征值为：(1?n)h?，其中??H2EqR Iμ的本征值为：(?n)h??EqR 同理，H③分析：基态无简并，可由定态非简并微扰计算，这里：

12H???qR?cos? （7.1.5）

?0??nH??0=?代入????可得微扰矩阵元为： Hn(1)qR?(?n,1??n,?1) （7.1.6） 2??0 i.由（7.1.6）式可得基态能级的一级修正为：E0?H00ii.同理，可得基态能级的二级修正为：E

2$Lμ0?L是角动量算符，I是转子例题7.2（2008年）一自由粒子的三维哈密顿量为：H式中，$2I(2)0?m?n?E?Hnm(0)n2(0)?Emmq2R4?2=?。 2h的转动惯量。

㈠求能谱与相应的简并度；

㈡若给此转子施加以微扰H???sin?，求基态能级移动（直至二阶微扰）。

解：分析，该题目的求解思想与例题7.1相似，只是这里的模型换成了空间转子，比平面转子多出一维。要用到球谐环数，在此我们不做具体计算，只给出结果。 ①能谱：El?l?l?1?h22I；简并度：2l?1

(0)(1)(2)②能级移动至二阶微扰：En?E0?E0?E0

???4

1.7.2 简并定态微扰

简并微扰是学习中的难点，其精髓在于在兼并子空间中将非对角矩阵元对角化。至于简并微扰的其他内容和非简并微扰相同。在计算的过程中也是相当繁琐的，需要细心谨慎。

例题7.3（2004年、2000年）一个质点在xy平面上绕固定点O并与O点保持距离为运动的体系称为平面转子。设质点的质量为?，质点与固定点O的距离为R。 ㈠求体系的能谱和归一化定态波函数组；

urur㈡若平面转子带电荷q，置于恒定均匀磁场B中，B沿Z轴正方向，再求体系的能谱；

㈢如果平面转子不是置于磁场中，而是受到微扰作用：H??V0?(???0)，试求出其任一激发态能量

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