天津市红桥区2022届九年级上期中数学试卷含答案解析

天津市红桥区2019届九年级上期中数学试卷含答案解析

一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）

1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（）

A．x2﹣2x﹣3=0 B．x2﹣2y﹣1=0 C．x2﹣x（x+3）=0 D．ax2+bx+c=0 2．将一元二次方程4x2+5x=81化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）

A．4，5，81 B．4，5，﹣81 C．4，5，0 D．4x2，5x，﹣81

3．下列图案中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）

A

．B

．C

．D

．

4．关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）

A．m

＞B．

m=C．m

＜D．m

＜﹣

5．如图，点A，B，C是⊙O上的三点，已知∠ACB=50°，那么∠AOB的度数是（）

A．90°B．95°C．100°D．120°

6．在平面直角坐标系中，把点P（﹣3，2）绕原点O顺时针旋转180°，所得到的对应点P′的坐标为（）

A．（3，2）B．（2，﹣3）C．（﹣3，﹣2）D．（3，﹣2）

7．函数y=﹣x2+1的图象大致为（）

1 / 31

2 / 31A

． B

．

C D

．

8．抛物线y=

﹣x 2

+x ﹣1，经过配方化成y=a （x ﹣h ）2+k 的形式是（ ） A

．

B

．

C

． D

． 9．二次函数y=ax 2+bx +c ，自变量x 与函数y 的对应值如表：

A ．抛物线的开口向下

B ．当x ＞﹣3时，y 随x 的增大而增大

C ．二次函数的最小值是﹣2

D ．抛物线的对称轴是x=﹣

10．如图，点A 、B 、C 是圆O 上的三点，且四边形ABCO 是平行四边形，OF ⊥OA 交圆O 于点F ，则∠CBF 等于（ ）

A ．12.5°

B ．15°

C ．20°

D ．22.5°

11．已知x1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个根，记△=b2﹣4ac，M=（2ax1+b）2，则关于△与M大小关系的下列说法中，正确的是（）

A．△＞M B．△=M

C．△＜M D．无法确定△与M的大小

12．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点）．有下列结论：

①当x=3时，y=0；

②3a+b＞0；

③﹣1≤a

≤﹣；

④≤n≤4．

其中正确的有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）

13．已知方程x2+100x+10=0的两根分别为x1，x2，则x1x2﹣x1﹣x2的值等于．

14．将二次函数y=﹣x2+2x+4的图象向下平移1个单位后，所得图象对应函数的最大值为．

15．如图，将Rt△ABC（∠B=25°）绕点A顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C，A，B1在同一条直线上，那么旋转角等于．

3 / 31

16．某工厂实行技术改造，产量年均增长率为x，已知年产量为1万件，那么年的产量y与x间的关系式为（万件）．

17．如图，直线L1∥L2，圆O与L1和L2分别相切于点A和点B，点M和点N 分别是L1和L2上的动点，MN沿L1和L2平移，圆O的半径为1，∠1=60°，当MN与圆相切时，AM的长度等于．

18．如图，抛物线y=x2+bx

+与y轴相交于点A，与过点A平行于x轴的直线相交于点B（点B在第一象限）．抛物线的顶点C在直线OB上，对称轴与x轴相交于点D．平移抛物线，使其经过点A、D，则平移后的抛物线的解析式为．

三、解答题（共7小题，满分66分）

19．用适当的方法解下列方程：

（1）x（x﹣1）=3﹣3x

（2）2x2﹣4x﹣1=0（配方法）

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20．如图所示，BC为⊙O的直径，弦AD⊥BC于E，∠C=60°．

求证：△ABD为等边三角形．

21．如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣3的对称轴为直线x=1，交x轴于A、B两点，交y轴于C点，其中B点的坐标为（3，0）．

（1）直接写出A点的坐标；

（2）求二次函数y=ax2+bx﹣3的解析式．

22．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k

﹣）=0

（1）求证：无论k取何值，这个方程总有实数根；

（2）若等腰三角形ABC的一边长a=4，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．

23．如图，某市近郊有一块长为60米，宽为50米的矩形荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个矩形（其中三个矩形的一边长均为a米）区域将铺设塑胶地面作为运动场地．

（1）设通道的宽度为x米，则a=（用含x的代数式表示）；

（2）若塑胶运动场地总占地面积为2430平方米．请问通道的宽度为多少米？

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24．如图，抛物线

y=x2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A

（﹣1，0）．

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；

（3）点M是x轴上的一个动点，当△DCM的周长最小时，求点M的坐标．

25．在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y 轴、x轴的正半轴上，点O在原点，现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y=x于点M，BC边交x轴于点N（如图）．

（1）旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的角度；

（2）试证明旋转过程中，△MNO的边MN上的高为定值；

（3）折△MBN的周长为p，在旋转过程中，p值是否发生变化？若发生变化，说明理由；若不发生变化，请给予证明，并求出p的值．

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-学年九年级（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）

1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（）

A．x2﹣2x﹣3=0 B．x2﹣2y﹣1=0 C．x2﹣x（x+3）=0 D．ax2+bx+c=0【考点】一元二次方程的定义．

【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．

【解答】解：下列方程中，关于x的一元二次方程是x2﹣2x﹣3=0，

故选A

2．将一元二次方程4x2+5x=81化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）

A．4，5，81 B．4，5，﹣81 C．4，5，0 D．4x2，5x，﹣81

【考点】一元二次方程的一般形式．

【分析】根据一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件，a、b、c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，可得答案．

【解答】解：一元二次方程4x2+5x=81化为一般形式为4x2+5x﹣81=0，

二次项系数，一次项系数，常数项4，5，﹣81，

故选：B．

3．下列图案中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）

A

．B

．C

．D

．

【考点】中心对称图形；轴对称图形．

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

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【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；

C、是轴对称图形，又是中心对称图形，故正确；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误．

故选C．

4．关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）

A．m

＞B．

m=C．m

＜D．m

＜﹣

【考点】根的判别式．

【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值范围即可．

【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，

∴△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×m＞0，

∴m

＜．

故选C．

5．如图，点A，B，C是⊙O上的三点，已知∠ACB=50°，那么∠AOB的度数是（）

A．90°B．95°C．100°D．120°

【考点】圆周角定理．

【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．

【解答】解：∵∠ACB与∠AOB是同弧所对的圆周角与圆心角，∠ACB=50°，

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∴∠AOB=100°．

故选C．

6．在平面直角坐标系中，把点P（﹣3，2）绕原点O顺时针旋转180°，所得到的对应点P′的坐标为（）

A．（3，2）B．（2，﹣3）C．（﹣3，﹣2）D．（3，﹣2）

【考点】坐标与图形变化-旋转．

【分析】将点P绕原点O顺时针旋转180°，实际上是求点P关于原点的对称点的坐标．

【解答】解：根据题意得，点P关于原点的对称点是点P′，

∵P点坐标为（﹣3，2），

∴点P′的坐标（3，﹣2）．

故选：D．

7．函数y=﹣x2+1的图象大致为（）

A

． B

．

C

．D

．

【考点】二次函数的图象．

【分析】根据二次函数的开口方向，对称轴，和y轴的交点可得相关图象．【解答】解：∵二次项系数a＜0，

∴开口方向向下，

∵一次项系数b=0，

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∴对称轴为y轴，

∵常数项c=1，

∴图象与y轴交于（0，1），故选B．

8．抛物线y=

﹣x2

+x﹣1，经过配方化成y=a（x﹣h）2+k的形式是（）

A

．B

．

C

．D

．

【考点】二次函数的三种形式．

【分析】利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．

【解答】

解：

=

﹣（x2﹣2x）﹣1

=

﹣ [（x﹣1）2﹣1]﹣1

=

﹣（x﹣1）2

﹣．

故选：C．

9．二次函数y=ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表：

A．抛物线的开口向下

B．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大

C．二次函数的最小值是﹣2

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D．抛物线的对称轴是x=

﹣

【考点】二次函数的性质．

【分析】选出3点的坐标，利用待定系数法求出函数的解析式，再根据二次函数的性质逐项分析四个选项即可得出结论．

【解答】解：将点（﹣4，0）、（﹣1，0）、（0，4）代入到二次函数y=ax2+bx+c中，

得：

，解得：，

∴二次函数的解析式为y=x2+5x+4．

A、a=1＞0，抛物线开口向上，A不正确；

B

、﹣=

﹣，当x

≥﹣时，y随x的增大而增大，B不正确；

C、y=x2+5x+

4=

﹣

，二次函数的最小值是﹣，C不正确；

D

、﹣=

﹣，抛物线的对称轴是x=

﹣，D正确．

故选D．

10．如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OA交圆O于点F，则∠CBF等于（）

A．12.5°B．15°C．20° D．22.5°

【考点】圆周角定理；平行四边形的性质；垂径定理．

【分析】先根据平行四边形的性质得出AB=BC，故可得出△OAB是等边三角形，所以∠AOB=60°，再由OF⊥OA可知∠AOF=90°，OF⊥BC，故可得出∠BOF

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的度数，进而得出∠COF的度数，由圆周角定理即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCO是平行四边形，

∴AB=BC，OA∥BC．

∵OA=OC，

∴△OAB是等边三角形，

∴∠AOB=60°．

∵OF⊥OA，

∴∠AOF=90°，OF⊥BC，

∴∠BOF=∠COF=90°﹣60°=30°，

∴∠

CBF=∠COF=15°．

故选B．

11．已知x1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个根，记△=b2﹣4ac，M=（2ax1+b）2，则关于△与M大小关系的下列说法中，正确的是（）

A．△＞M B．△=M

C．△＜M D．无法确定△与M的大小

【考点】根的判别式．

【分析】根据题意可以先对M化简，从而可以得到M和△的关系，本题得以解决．

【解答】解：∵x1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个根，

∴ax12+bx1+c=0，

∴ax12+bx1=﹣c，

∴M=（2ax1+b）2

==4a（ax12+bx1）+b2=4a÷（﹣c）+b2=b2﹣4ac=△，

故选B．

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12．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点）．有下列结论：

①当x=3时，y=0；

②3a+b＞0；

③﹣1≤a

≤﹣；

④≤n≤4．

其中正确的有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【考点】二次函数图象与系数的关系．

【分析】①由抛物线的顶点坐标的横坐标可得出抛物线的对称轴为x=1，结合抛物线的对称性及点A的坐标，可得出点B的坐标，由点B的坐标即可断定①

正确；②由抛物线的开口向下可得出a＜0，结合抛物线对称轴为x=

﹣=1，

可得出b=﹣2a，将b=﹣2a代入3a+b中，结合a＜0即可得出②不正确；③由抛物线与y轴的交点的范围可得出c的取值范围，将（﹣1，0）代入抛物线解析式中，再结合b=﹣2a即可得出a的取值范围，从而断定③正确；④结合抛物

线的顶点坐标的纵坐标为，结合a的取值范围以及c的取值范围即可得出n的范围，从而断定④正确．综上所述，即可得出结论．

【解答】解：①由抛物线的对称性可知：

抛物线与x轴的另一交点横坐标为1×2﹣（﹣1）=3，

即点B的坐标为（3，0），

∴当x=3时，y=0，①正确；

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②∵抛物线开口向下，

∴a＜0．

∵抛物线的顶点坐标为（1，n），

∴抛物线的对称轴为x=

﹣=1，

∴b=﹣2a，

3a+b=a＜0，②不正确；

③∵抛物线与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），∴2≤c≤3．

令x=﹣1，则有a﹣b+c=0，

又∵b=﹣2a，

∴3a=﹣c，即﹣3≤3a≤﹣2，

解得：﹣1≤a

≤﹣，③正确；

④∵抛物线的顶点坐标为（﹣

，），

∴

n==c

﹣，

又∵b=﹣2a，2≤c≤3，﹣1≤a

≤﹣，

∴n=c﹣a

，≤n≤4，④正确．

综上可知：正确的结论为①③④．

故选C．

二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）

13．已知方程x2+100x+10=0的两根分别为x1，x2，则x1x2﹣x1﹣x2的值等于110．

【考点】根与系数的关系．

【分析】由根与系数的关系找出x1+x2=﹣100、x1?x2=10，将代数式x1x2﹣x1﹣x2变形为只含x1+x2、x1?x2的代数式，代入数据即可得出结论．

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【解答】解：∵方程x2+100x+10=0的两根分别为x1，x2，

∴x1+x2=﹣100，x1?x2=10，

∴x1x2﹣x1﹣x2=x1x2﹣（x1+x2）=10﹣（﹣100）=110．

故答案为：110．

14．将二次函数y=﹣x2+2x+4的图象向下平移1个单位后，所得图象对应函数的最大值为4．

【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数的最值．

【分析】根据“上加下减”的原则进行解答即可．

【解答】解：y=﹣x2+2x+4=﹣（x﹣1）2+5，将该函数的图象向下平移1个单位后，所得图象对应函数解析式为：y=﹣（x﹣1）2+4，

所以该抛物线顶点坐标是（1，4），

所以所得图象对应函数的最大值为4．

故答案是：4．

15．如图，将Rt△ABC（∠B=25°）绕点A顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C，A，B1在同一条直线上，那么旋转角等于115°．

【考点】旋转的性质．

【分析】由三角形的外角性质得出∠BAB1=∠C+∠B=115°，即可得出结论．

【解答】解：∵C，A，B1在同一条直线上，∠C=90°，∠B=25°，

∴∠BAB1=∠C+∠B=115°，

即旋转角等于115°．

故答案为：115°．

16．某工厂实行技术改造，产量年均增长率为x，已知年产量为1万件，那么

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年的产量y与x间的关系式为y=（1+x）2（万件）．

【考点】根据实际问题列二次函数关系式．

【分析】根据产量年均增长率为x，已知年产量为1万件，即可得出年的产量y 与x间的关系式为y=（1+x）2．

【解答】解：∵某工厂实行技术改造，产量年均增长率为x，年产量为1万件，

∴年产量为：1×（1+x）；

年的产量y与x间的关系式为：y=1×（1+x）×（1+x）=（1+x）2；

即：y=（1+x）2．

故答案为：y=（1+x）2．

17．如图，直线L1∥L2，圆O与L1和L2分别相切于点A和点B，点M和点N 分别是L1和L2上的动点，MN沿L1和L2平移，圆O的半径为1，∠1=60°，当

MN与圆相切时，AM的长度等于

或．

【考点】切线的性质；平行线的性质；平移的性质．

【分析】当MN在左侧与⊙O相切时，连接OM、OA，则OM平分∠1，在Rt△OAM中可求得AM；当MN在右侧与⊙O相切时，连接OM、OA，则OM平分∠AMN，在Rt△OAM中可求得MA的长，可求得答案．

【解答】解：

当MN在左侧与⊙O相切时，连接OM、OA，如图1，

17 / 31

∵MA、MN是⊙O的切线，

∴OM平分∠AMN，OA⊥MA，∴∠AMO=30°，

∴OM=2OA=2，

在Rt△OAM中，

MA=

=；

当MN在右侧与⊙O相切时，连接OM、OA，如图2，

∵∠1=60°，

∴∠AMN=120°，

同上可知∠

AMO=∠AMN=60°，

∴OM=2AM，

在Rt△OAM中，MA2=OM2﹣OA2，即MA2=4MA2﹣1，解得

MA=；

综上可知MA

的长度为

或，

故答案为：

或．

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18．如图，抛物线y=x2+bx

+与y轴相交于点A，与过点A平行于x轴的直线相交于点B（点B在第一象限）．抛物线的顶点C在直线OB上，对称轴与x轴相交于点D．平移抛物线，使其经过点A、D，则平移后的抛物线的解析式为

y=x2

﹣x

+．

【考点】二次函数图象与几何变换．

【分析】先求出点A的坐标，再根据中位线定理可得顶点C的纵坐标，然后利用顶点坐标公式列式求出b的值，再求出点D的坐标，根据平移的性质设平移后的抛物线的解析式为y=x2+mx+n，把点A、D的坐标代入进行计算即可得解．

【解答】解：∵令x=0，则

y=，

∴点A（0

，），

根据题意，点A、B关于对称轴对称，

∴顶点C

的纵坐标为

×

=，

即

=，

解得b1=3，b2=﹣3，

由图可知，﹣＞0，

∴b＜0，

∴b=﹣3，

19 / 31

∴对称轴为直线x=

﹣

=，

∴点D

的坐标为（，0），

设平移后的抛物线的解析式为y=x2+mx+n，

则，

解得，

所以，y=x2

﹣x

+．

故答案为：y=x2

﹣x

+．

三、解答题（共7小题，满分66分）

19．用适当的方法解下列方程：

（1）x（x﹣1）=3﹣3x

（2）2x2﹣4x﹣1=0（配方法）

【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．

【分析】（1）将原方程移项、合并同类项即可得出（x﹣1）（x+3）﹣0，解之即可得出结论；

（2）利用完全平方公式将原方程边形为2（x﹣1）2﹣3=0，开方后即可得出结论．

【解答】解：（1）x（x﹣1）=3﹣3x=3（1﹣x），

移项、合并同类项，得：（x﹣1）（x+3）﹣0，

解得：x1=﹣3，x2=1；

（2）2x2﹣4x﹣1=2（x2﹣2x）﹣1=2（x﹣1）2﹣3=0，

∴（x﹣1）2

=，

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解得：x﹣1=

±，

∴x1=1

+，x2=1

﹣．

20．如图所示，BC为⊙O的直径，弦AD⊥BC于E，∠C=60°．

求证：△ABD为等边三角形．

【考点】圆周角定理；等边三角形的判定．

【分析】根据垂径定理求出AE=DE，根据线段垂直平分线性质得出BA=BD，根据圆周角定理求出∠D=60°，根据等边三角形判定推出即可．

【解答】证明：∵BC为⊙O的直径，AD⊥BC，

∴AE=DE，

∴BD=BA，

∵∠D=∠C=60°，

∴△ABD为等边三角形．

21．如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣3的对称轴为直线x=1，交x轴于A、B两点，交y轴于C点，其中B点的坐标为（3，0）．

（1）直接写出A点的坐标；

（2）求二次函数y=ax2+bx﹣3的解析式．

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