第一章 晶体的结构

第一章 晶体的结构

一、填空体

1. 晶体具有的共同性质为 长程有序 、自限性 、各向异性 。

2. 对于简立方晶体，如果晶格常数为a，它的最近邻原子间距为 a ，次近邻原子间距为2a ，原胞与晶胞的体积比 1：1 ，配位数为 6 。 3. 对于体心立方晶体，如果晶格常数为a，它的最近邻原子间距为 3/2a ，次近邻原子间距为 a ，原胞与晶胞的体积比 1：2 ，配位数为 8 。 4. 对于面心立方晶体，如果晶格常数为a，它的最近邻原子间距为 2/2a ，次近邻原子间距为 a ，原胞与晶胞的体积比 1：4 ，配位数为 12 。

5. 面指数(h1h2h3)所标志的晶面把原胞基矢a1,a2,a3分割,其中最靠近原点的平面在a1,a2,a3上的截距分别为__1/h1_,_1/h2__,__1/h3_。

6. 根据组成粒子在空间排列的有序度和对称性，固体可分为晶体、准晶体和非晶体。 7. 根据晶体内晶粒排列的特点，晶体可分为单晶和多晶。 8. 常见的晶体堆积结构有简立方（结构）、体心立方（结构）、面心立方（结构）和六角密排（结构）等，例如金属钠（Na）是体心立方（结构），铜（Cu）晶体属于面心立方结构，镁（Mg）晶体属于六角密排结构。

9. 对点阵而言，考虑其宏观对称性，他们可以分为7个晶系，如果还考虑其平移对称性，则共有14种布喇菲格子。

10.晶体结构的宏观对称只可能有下列10种元素： 1 ，2 ，3 ，4 ，6 ，i ， m ，3 ，4 ，6，其中 3 和 6 不是独立对称素，由这10种对称素对应的对称操作只能组成32个点群。 二、基本概念 1. 原胞

原胞：晶格最小的周期性单元。 2. 晶胞

结晶学中把晶格中能反映晶体对称特征的周期性单元成为晶胞。 3. 散射因子

原子内所有电子在某一方向上引起的散射波的振幅的几何和，与某一电子在该方向上引起的散射波的振幅之比。 4. 几何结构因子

原胞内所有原子在某一方向上引起的散射波的总振幅与某一电子在该方向上所引起的散射波的振幅之比。 5. 配位数

晶体内最近邻原子数 8. 简单晶格

基元中只含一个原子的晶体

1

9. 复式晶格

基元中含两个或两个以上原子的晶体

10.几何结构因子：原胞内所有原子在某一方向上引起的散射波的总振幅与某一电子在该方向上所引起的散射波的振幅之比。 11. 几何结构因子

原胞内所有原子在某一方向上引起的散射波的总振幅与某一电子在该方向上所引起的散射波的振幅之比。 三、简答题

1.倒格矢与正格矢有什么关系。 1）倒格矢与正格矢互为倒格矢

2）倒格原胞与正格原胞的体积比等于（2π）3

3）倒格矢Kh=h1b1+h2b2+h3b3与正格子晶面族（h1h2h3）正交。 4）倒格矢Kh的模与晶面族（h1h2h3）的面间距成反比

2.晶体的主要特征有哪些？

答：1）长程有序与周期性 2）自限性 3）各向异性

3. 晶体宏观对称性的基本对称操作有哪些？（5分）

答：有1、2、3、4和5次旋转对称轴及4次旋转反演轴4，中心反演操作i，镜面操作m。

4. 解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面？为什么？

答：晶体容易沿解理面劈裂，说明平行于解理面的原子层之间的结合力弱，即平行解理面的原子层的间距大. 因为面间距大的晶面族的指数低, 所以解理面是面指数低的晶面.

5. 基矢为 , , 的晶体为何种结构?为什么?

答：有已知条件, 可计算出晶体的原胞的体积

.

由原胞的体积推断, 晶体结构为体心立方.我们可以构造新的矢量

,

,

.

满足选作基矢的充分条件.可见基矢为

为体心立方结构.

6. 与晶列[l1l2l3]垂直的倒格面的面指数是什么?

2

, , 的晶体

答：正格子与倒格子互为倒格子. 正格子晶面(h1h2h3)与倒格式 h1 +h2 +h3

垂直, 则倒格晶面(l1l2l3)与正格矢 h1 + hl2 + h3 正交. 即晶列[h1h2h3]与倒格面(l1l2l3) 垂直.

7. 在结晶学中, 晶胞是按晶体的什么特性选取的? 答： 在结晶学中, 晶胞选取的原则是既要考虑晶体结构的周期性又要考虑晶体的宏观对称性.

8. 六角密积属何种晶系? 一个晶胞包含几个原子?

答：六角密积属六角晶系, 一个晶胞(平行六面体)包含两个原子.

9. 体心立方元素晶体, [111]方向上的结晶学周期为多大? 实际周期为多大? 答：结晶学的晶胞,其基矢为

,只考虑由格矢

h

+k

+l

构成的格点. 因此, /2.

体心立方元素晶体[111]方向上的结晶学周期为 , 但实际周期为

10. 高指数的晶面族与低指数的晶面族相比, 对于同级衍射, 哪一晶面族衍射光弱? 为什么?

[解答]

对于同级衍射, 高指数的晶面族衍射光弱, 低指数的晶面族衍射光强. 低指数的晶面族面间距大, 晶面上的原子密度大, 这样的晶面对射线的反射(衍射)作用强. 相反, 高指数的晶面族面间距小, 晶面上的原子密度小, 这样的晶面对射线的反射(衍射)作用弱. 另外, 由布拉格反射公式 可知, 面间距

大的晶面, 对应一个小的光的掠射角

.

. 面间距

小的晶面, 对应一

个大的光的掠射角 越大, 光的透射能力就越强, 反射能力就越弱.

11. 温度升高时, 衍射角如何变化? X光波长变化时, 衍射角如何变化? [解答]

温度升高时, 由于热膨胀, 面间距

逐渐变大, 衍射角

逐渐变小.所

逐渐变大. 由布拉格反射公式

可知, 对应同一级衍射, 当X光波长不变时, 面间距 以温度升高, 衍射角变小.

当温度不变, X光波长变大时, 对于同一晶面族, 衍射角

四、证明计算

3

随之变大.

1. 劳厄方程与布拉格公式是一致的。 证明：由坐标空间劳厄方程： 与正倒格矢关系 比较可知：若

Rl?(k?k0)?2??

Rl?kh?2??

kh?k?k0成立

kh，则k方向产生衍射光，kh?k?k0式

发，推导Blagg公式，

即入射波矢k0，衍射波矢k之差为任意倒格矢称为倒空间劳厄方程又称衍射三角形。

现由倒空间劳厄方程出弹性散射

k?k0

由倒格子性质，倒格矢族。所以，

kh垂直于该晶面

分面必与该晶面族

kh的垂直平

平行。

由图可得知：

4??Sin?|kh|=2kSin?＝? (A) ）

又若|若

k'h|为该方向的最短倒格矢，由倒格矢性质有：|K'h|＝

2?d

kh不是该方向最短倒格失，由倒格子周期性

2??'k|k| h＝n|h|＝d.n （B） -

比较（A）、（B）二式可得 2dSin?＝n?

即为Blagg公式。

2. 证明不存在5度及6度以上的旋转对称轴。

如下图所示， A , B 是同一晶列上 O 格点的两个最近邻格点．如果绕通过 O 点并垂直子纸面的转轴顺时针旋转θ角，则 A 格点转到A?点．若此时晶格自身重合．A?点处原来必定有一格点．如果再绕通过 O 点的转轴逆时针旋转θ角，则晶格又恢复到未转动时的状态，但逆时针旋转θ角，B格点转到B?点处，说明B?处原来必定有一格点．可以把格点看成分布在一族相互平行的晶列．由下图可知，A?B?晶列与 AB 晶列平行．平行的晶列具有相同的周期，若设该周期为 a ，则有

4

A?B??2a|cos?|?ma

其中m为整数，由余弦的取值范围可得

|cos?|?于是可得

m?12

m?0:???3?2,2

?2?4?5?m?1:??,,,3333

m?2:???,2?

因为逆时针旋转 3π/2，4π/3，5π/3分别等于顺时针旋转π/2，2π/3，π/3，所以晶格对称转动所允许的独立转角为

2?,?,上面的转角可统一写成

2???,,323

2?,n?1,2,3,4,6n

称n为转轴的度数．由此可知，晶格的周期性不允许有 5 度及6度以上的旋转对称轴。

3. 一维离子链，正负离子间距为a，试证：马德隆常数??2ln2。 相距rij的两个离子间的互作用势能可表示成

q2bU(rij)???n4??rijrij设最近邻原子间的距离为 R，则有

rij?ajR则总的离子间的互作用势能

NNq211U??U(rij)??[(?)??2i?j24??Ri?jajRn其中

b]?nai?jj

???(?

i?j1)aj

5

为离子晶格的马德隆常数，式中＋、－号分别对应于与参考离子相异和相同的离子。

任选一正离子作为参考离子，在求和中对负离子取正号，对正离子取负号，考虑到对一维离子链，参考离子两边的离子是正负对称分布的，则有

???(?i?j11111)?2(????...)aj1234xxxx????...1234

利用下面的展开式

ln(1?x)?并令x =l ，得

1111????...?ln21234

于是一维离子链的马德隆常数为

??2ln2

4. 体心立方和面心立方点阵的倒易点阵 证明体心立方点阵的倒易点阵是面心立方点

阵．反之，面心立方点阵的倒易点阵是体心立方点阵． [证明]

选体心立方点阵的初基矢量，

a1?a??y??z?? ?x2a??y??z?? a2???x2a??y??z?? a3??x2?,y?,z?是平行于立方体边的正交的单位矢量。 其中a是立方晶胞边长，x初基晶胞体积Vc?a1??a2?a3??根据式(2．1)计算倒易点阵矢量

13a 2b1?2?2?2?a2?a3,b2?a3?a1,b3?a1?a2 VcVcVc?xVcab1?a2?a3??2?2a2?ya2a?2?zaa2??y?? ??x22a2 6

?xVcab2?a3?a1?2?2a2?xVcab3?a1?a2?2?2a?2于是有：

?ya?2a2?ya2a2?zaa2??z?? ??y22a?2?zaa2?? ??x???z22a2b1?2?2?2?????? ???xx?y,b?y?z,b???2??3?zaaa显然b1,b2,b3正是面心立方点阵的初基矢量，故体心立方点阵的倒易点阵是面心立方点阵，立方晶胞边长是4?a．

同理，对面心立方点阵写出初基矢量

a??y?? ?x2a??z?? a2??y2a?? ??xa3??z2a1?初基晶胞体积Vc?a1??a2?a3??根据式(2．1)计算倒易点阵矢量

13a。 4b1?2?2?2???y??z??y??z??y??z??,b2???,b3??? ?x??x?xaaa显然，b1,b2,b3正是体心立方点阵的初基矢量，故面心立方点阵的倒易点阵为体心立方点阵，其立方晶胞边长是4?a．

?2??5. (a) 证明倒易点阵初基晶胞的体积是

[证明]

3/Vc，这里

Vc是晶体点阵初基晶胞的体

积；(b) 证明倒易点阵的倒易点阵是晶体点阵自身．

7

(a) 倒易点阵初基晶胞体积为b1??b2?b3?，现计算b1??b2?b3?．由式(2．1)知，

b1?2?2?2?a2?a3,b2?a3?a1,b3?a1?a2 VcVcVc此处

Vc?a1??a2?a3?

而

?2???2??b2?b3??a?a?a?a?a1??a2 ?a3?a1??a2??a3?a1??a1???31??12?????????Vc??Vc?22??这里引用了公式：?A?B???C?D?????A?B??D??C????A?B??C??D。 由于?a3?a1??a1?0，故有

?2??b2?b3??a1 ?a3?a1??a2??????Vc?而

2Vc??a3?a1??a2

故有

?2??b2?b3???a1

V?c?b1??b2?b3?或写成

22????Vc2a1?b12????Vc23a1??a2?a3?2????Vc3

?2??b1??b2?b3??

a1??a2?a3?倒易点阵初基晶胞体积为晶体点阵初基晶胞体积倒数的?2??倍。 (b) 现要证明晶体点阵初基矢量a1,a2,a3满足关系

33a1?2?b2?b3b3?b1b1?b2,a2?2?,a3?2?

b1??b2?b3?b1??b2?b3?b1??b2?b3?有前面知：

8

b2?b3?2???Vc2a1

??2??2?b2?b31令c1?2? ?2??a1?b1??b2?b3?Vb?b?b???c?1?23?又知 b1??b2?b3??13?2??，代入上式得： Vcc1?2???Vc3?V?a1?c3??a1 ???2????同理 c2?2?b3?b1?a2

b1??b2?b3?c3?2?b1?b2?a3

b1??b2?b3?可见，倒易点阵的倒易点阵正是晶体点阵自身．

6. 面间距 考虑晶体中一组互相平行的点阵平面(hkl)，(a) 证明倒易点阵矢量

G?hkl??hb1?kb2?lb3垂直于这组平面(hkl)；(b) 证明两个相邻的点阵平面间的距离

d(hkl)为：

d?hkl??2?

G?hkl?(c) 证明对初基矢量a1,a2,a3互相正交的晶体点阵，有

d?hkl??1?h??k??l??????????a1??a2??a3?222

(d) 证明对简单立方点阵有

d?hkl??证明

ah?k?l222 (a) 参看图2．3，在平面族(hkl)中，距原点最近的点阵平面ABC在三个晶轴上的截距分别是a1h,a2k,a3l． 现要证明G(hkl)垂直于ABC，只需证明G(hkl)垂直于平面ABC上的两个矢量CA和CB即可．

9

CA?a1a3aa?，CB?2?3 hlkl用倒易点阵基矢与晶体点阵基矢间的正交关系式(2．2)，立即可得

aa?aa?G?hkl??CA??hb1?kb2?lb3???1?3??hb1?1?lb3?3?0

hl?hl?同理，G?hkl??CB?0 故G(hkl)垂直于点阵平面(hkl)． (b) 点阵平面(hkl)的面间距d(hkl)为

??d?hkl??OA?na1G?hkl?a1hb1?kb2?lb32? ????hG?hkl?hG?hkl?G?hkl?(c) 如果晶体点阵的初基矢量a1,a2,a3彼此正交，则倒易点阵的初基矢量也必然彼此正交．

?,b2?by??设 b1?b1x2,b?3bz 3由倒易点阵基矢的定义

b1?2?2?2??a2?a3?,b2??a3?a1?,b3??a1?a2? VcVcVc及 Vc?a得1a2a3

b1?2?a1,b2?2?a2,b3?2?a3 G?hkl??于是面间距为

10

?hb1???kb2???lb3?222??2??2?h2k2l2??h??k??l????2??2????????22??a1??a2??a3??a1a2a3?222

9. 证明底心正交点阵的倒易点阵仍为底心正交点阵． [证明]

底心正交点阵的惯用晶胞如图2．8所示．选取初基矢量为

?,a2?a1?ax11??by?,a3?cz? ax22初基晶胞体积为

Vc?abc 2倒易点阵基矢为

b1?2?1?2?4?2?2??1??y??,b2??,b3?? a2?a3?2??xa3?a1?ya1?a2?zVcb?VcbVcc?a由图2．9可以看出，这组基矢所确定的仍是一底心正交点阵，点阵常数为

4?a,4?b,2?c。

10.三角点阵初基矢量具有相等长度a，彼此夹角为θ，试证明三角点阵的倒易点阵仍为三角点阵，且倒易点阵初基矢量的长度为a。 a????2???121?2cos?cos? ??a?其中?是倒易点阵初基矢量间的夹角，?满足 -cosθ*＝cosθ／(1+cosθ) [证明]

三角点阵三个初基矢量的大小相等，且彼此夹角亦相等．现令初基矢量为

16

?a1?ax????asin?y?a2?acos?x? (1) ??acos?y??acos?z??a3?acos?x?参见图2.10，cos?,cos?,cos?是a3在x、y、z三个方向的方向余弦。 由

a3?a1?cos? 2a得

cos??cos? (2)

由

a3?a2?cos? 2a得

cos??于是有

cos??1?cos?? (3)

sin?22??cos?1?cos???2212cos??[1?cos??cos?]??1?? (4) 2sin?????12

由倒易点阵基矢的定义可知b1,b2,b3分别垂直于正点阵初基晶胞的

a2?a3,a3?a1,a1?a2平面，且有相同长度，

17

b1?b2?b3?b?a?

a??2?2asin? (5) Vc将 Vc?a?1??a2?a3?代入上式得

a?3??a1??a23 (6) sain?co?s2?a2sin?2?1 (7) a?3?asin?cos?acos??b1,b2,b3彼此间应有相间夹角．设b1,b2间的夹角为??，

cos???b1?b2 a?221?2??cos????2???a2?a3???a3?a1?

a?Vc?利用公式

A??B?C??B??C?A??C??A?B? A??B?C???C?A?B??A?B?C

上式化为

?a?a???a?a?1??s?24323 co??asin?a?2??a3?a3??a1?2a4si?n2?a?s2a1a3co??? (8)

?1?cos同理可以证明b1,b2,b3任意二矢量间的夹角均为此值。

为了计算a，利用式(4)得到

22??cos?1?cos???2cos???1?cos???2sin?????12??2cos2????1??1?cos???12????1?2cos?cos???12代入式(7)得

a??2???12??1?2cos?cos? (9) ??a11. 点阵平面上的阵点密度

(a) 证明点阵平面上的阵点密度（单位面积上的阵点数）??dVc，这里Vc是初基晶胞的体积，d是该点阵平面所属的平面族中相邻两点阵平面之间的距离；

18

(b) 证明面心立方点阵阵点密度最大的平面是{111}面，体心立方点阵阵点密度最大的平面是{110}面．

[证明]

(a) 考虑晶体点阵中相邻二平行点阵平面所构成的平行六面体，如图2．11所示．设该平行六面体中包含n个阵点，它的体积为

V?nVc

或写为

V?Ad

其中A是所考虑的平行六面体底面的面积，d是它的高．由以上二式得

Ad?nVc

于是点阵平面上的密度为

??nd? AVc(b) 由(a)可知，面间距d较大的点阵平面也有较大的阵点密度．由倒易点阵矢量与面间距d的关系

G?hkl??2?

d?hkl?可知，倒易点阵矢量G(hkl)越短，与之垂直的点阵平面(hkl)两点密度也就越大． 面心立方点阵的倒易点阵是体心立方点阵，其初基矢量

2???y??z?? ?xa2???y??z?? b2???xa2???y??z?? b3??xab1?都是最短的倒易点阵矢量，b1?b2?b3，并都在立方晶胞的<111>方向，故{111}平面有最大的阵点密度．

体心立方点阵的倒易点阵是面心立方点阵，其初基矢量

2???y?? ?xa2???z?? b2??yab1?

19

b3?2???z?? ?xa也都是最短的倒易点阵矢量，并都沿立方晶胞的＜110＞方向，故{110}平面是体心立方点阵阵点密度最大的平面．

12. 单斜点阵的面间距 已知平面族(hkl)的面间距与倒易点阵矢量G(hkl)间的关系为

d?hkl??2?

G?hkl?其中G?hkl??hb1?kb2?lb3，试证明单斜点阵的面间距d(hkl)由下式决定

11?h2l22hlcos??k2?2?2?2???2 2d?hkl?sin??a1a3a1a3?a2??90?其中a1,a2,a3是单斜点阵惯用晶胞的三个边长，（参看图2.12） ?为a1,a3间的夹角，

证明：

单斜点阵惯用晶脑的几何特征是

????90?,??90?,a1?a2?a3

初基晶胞的体积为

Vc?a2??a3?a1??a1a2a3sin?

(hkl)平面族的面间距为

d?hkl??2?

G?hkl?要计算d(hkl)，除了计算各倒易点阵基矢的长度外，还要求出它们之间的标量积，由倒易点阵基矢的定义

20

故结构因子为零的点必定在l3?1,3,5?等奇数值的平面内。在这些平面内，如果满足 2?2l1?l2??3?偶数 就得到结构因子为零的点．

由上述可见，结构因子为零的点只能在与c轴垂直的平面族中交错排列的平面内，即

l3?1,3,5?等奇数值的平面内(参见图2．19)．

(d)在这些l3?1,3,5?奇数值的平面内，从原点出发位移一个平行于c轴的矢量l3b3的点，都有l1?l2?0，这些点相应的n值为 n?41l?2l2?3l3?3 l3而l3?1,3,5?奇数值，显然满足n?3?奇数的条件．于是相应的结构因子为零． (e)在这些l3?1,3,5?奇数值的平面内，考虑其它结构因子为零的点，即满足 4l1?2l2?3l3?3?奇数 的点，此条件又可写为 2l1?l2?3?整数

满足此条件的点正是二维六角点阵六角形单胞的中心点．在二维六角点阵中去掉这些点后剩下的正好是一个三维蜂巢形网络，如图2．20所示．

31

19.用低能电子衍射计算金属势阱的深度 一束平行的能量为25eV的电子束射到一个薄的金属多晶样品上，已知该金属为立方结构，点阵常数为5?．电子束穿过金属薄片形成衍射花纹，拍照后发现，最小衍射环的角径是120?．试求这种金属势阱的深度． [解]

在真空中电子的速度v0由下式决定

12mv0?25?eV? 2仅当电子入射到金属晶体中，由于金属势阱的吸引作用，电子速度增加．设增加后电子的速度为vc，显然vc由电子在金属中的动能决定

12mvc?25???eV? 2式中?是金属势阱的深度（以eV计），于是有

ve25?? (1) ?v025量?25???/25起到一个电子折射率n的作用．当电子垂直于晶体表面入射到晶体时，电

子将受到晶面的布喇格反射，而当电子由晶体射出时，因折射率偏转(见图2．29)．由折射率公式得

sin?1?25sin60? (2)

25??由图2．29可知，从晶体射出的电子束相对于表面法向的夹角是

?1?2? (3)

32

式中θ是电子入射到晶面的布喇格角．

按照布喇格定律，电子受晶面的布喇格反射满足

sin??2?c24a2?l212?l2?l32? (4)

22令l12?l2?l3?A，于是有

sin??2?c24a2A

式中?c是电子在金属晶体中的校长，它和电子在真空中的波长的关系是

?cp025 (5) ???0pc25??式中p0、pc分别表示电子在真空中和金属晶体中的动量．将题设的数值代入，并利用式(5)，布喇格定律可写为

sin2??现在得到

1.5A (6)

25??cos?1?1?2sin2??1?将式(2)和式(7)代入到

3A (7)

25??cos2?1?sin2?1?1

中去得到

33

25???12A28A?25(8)

现在的问题在于求出A，即求出衍射指数G(l1,l2,l3)．由于?是正数，所以必须有

8A?25?0或A?3

此外，由式(8)

??有

12A28A?25?25?0

12A2?25?8A?25??0或?6A?25??2A?25??0

由此得到

25或A?12.5 625既有A?3，又有A?，所以，最小的A值只能是

6A?A?4

2由A?l12?l2?l32知道，最小衍射环的衍射指数是(200)，将A=4代入式(8)，得到金属势阱

的深度?为

12A217???25?eV

8A?257此题中(100)面的一级反射是消失了的，不然相应的衍射环将有比120?更小的角径，这种金属可能有fcc结构或bcc结构．

34

b1?2?a2?a3Vc2?a3?a1Vc2?a1?a2Vc?2?

a1sin?2? a22?

a3sin?b2??b3?此外，有

?2a2??a2?a3??4?2?a1?a2???a2?a3?4?a1??4?2cos??? b3?b1????222VcVca1a3sin?b1?b2?b2?b3?0

代入d(hkl)的表达式中得

??4?212??4??2?h2l22hlcos?d2?hkl??sin??2?2?a1a3??a1a3???? ?k2???2???a2?11?h2l22hlcos??k2?2?2?2???2 2d?hkl?sin??a1a3a1a3?a213. 外斯晶带定律 属于同一晶带的晶面彼此的交线相互平行，这些平行的晶棱的共同方向称为晶带轴的方向，试证明，

(a) 晶带轴[uvw]与该晶带中的平面(hkl)满足关系

uh?vk?wl?0

(b) 证明晶面(h1k1l1)，(h2k2l2)，(h3k3l3)属于同一晶带的条件是

h1h2h3证明

k1k2k3l1l2?0 l3(a) 以晶面指数(hkl)为指数的倒易点阵矢量G(hkl)是与晶面垂直的最短倒易点阵矢量，于是

G?hk?l?h?1b2 lbk?b3 21

必定在晶面(hkl)法线方向．而晶带轴[uvw]的方向矢量为R?ua1?va2?wa3. 既然晶带轴是以晶带中互相平行的交线为方向，带轴和属于该晶带的晶面总是相互平行的，于是行

R?G?hk?l?0

用晶体点阵和倒易点阵基矢间的正交关系

?0,i?j ai?bj?2??ij???2?,i?j直接可得

uh?vk?wl?0

(b) 既然?h1k1l1?,?h2k2l2?,?h3k3l3?属于同一晶带，由(a)有

?uh1?vk1?wl1?0??uh2?vk2?wl2?0 ?uh?vk?wl?033?3由于u,v,w不同时为零，上述方程组的系数行列式必定为零，即

h1h2h3k1k2k3l1l2?0 l313. 一个单胞的尺寸为a1?4,a2?6,a3?8,a???90?,??120?，试求： (a)倒易点阵单胞基矢； (b)倒易点阵单胞体积； (c)(210)平面的面间距；

(d)此类平面反射的布喇格角(己知λ＝1．54?)． [解]

(a)画出此单胞如图2．13所示． 写出晶体点阵单胞基矢如下：

?,a2??3x??33y?,a3?8z? a1?4x晶体点阵的单胞体积为

Vc?a3??a1?a2??a1a2a3sin120??963( ?)3

22

倒易点阵单胞的基矢为

b1?2???1?2?2?2??????,b2??,b3?? a2?a3??xya3?a1?ya1?a2?zVc2?VV43?33cc(b) 倒易点阵单细体积为

??b1??b2?b3?2????Vc3??3123(?)-3

(c) 与晶面(hkl)垂直的最短倒易点阵矢量G?hkl?为

2?????????????h?? G?hkl??hb1?kb2?lb3?h??x?ky?l??z?23??2??23?4?2??5????????? G?210???x?y??x?y?33?333?G?210???d?210??52-1

(?) 272?33? ?

G?210?13(d)(210)面反射的布喇格角?为

sin???2d?210??1.542?3313?0.5342

23

??arcsin?0.5342??32.3?

14. (a)从体心立方结构铁的(110)平面来的X-射线反射的布喇格角为22?，X-射线波长λ＝1．54?，试计算铁的立方晶胞边长；(b)从体心立方结构铁的(111)平面来的反射布喇格角是多少?(c)已知铁的原子量是55．8，试计算铁的密度． [解]

(a)求出(110)平面的面间距d(110)

d?110???2sin??1.54?2.056?

2sin22?于是求得点阵常数为

a?2d?110??2.91?

(b) (111)平面的面间距为

d?111??a?1.68? 3于是(111)平面反射的不喇格角为

sin???2d?111??0.458

??arcsin?0.458??27.28?

(c) 固体密度的公式为

??ZM a3其中a是立方惯用晶胞边长，Z是立方惯用晶胞中的原子数，M为原于的质量，对体心

55.8?10?3?26?9.27?10kg．将这些数值代入到?的表达式中，得立方铁，Z＝2，M?236.02?10到

??7.52?103kg?m?3

IG?uG?N2?G，正比于基元的几何结构因子的平方．

15. 体心立方结构和面心立方结构的结构因子 有时为了方便，我们把立方晶体惯用晶胞中的原子选作基元，把体心立方和面心立方结构用简单立方点阵来描写，求相应的基元的几何结构因子．说明考虑到消光规律后，这种处理方法得到的X-射线反射谱与直接把体心立方、

22 24

面心立方考虑为布喇菲点阵所得到的结果是完全一样的． [解]

(a)体心立方结构

我们知道体心立方结构可以直接用体心立方布喇菲点阵处理，其倒易点阵是面心立方点阵，立方晶胞边长是4?a。相应于这个面心立方点阵的倒易点阵矢量G所给出的波矢改变

?k?G，都有劳厄衍射峰出现．但是，为了方便，我们常把体心立方结构考虑为一个带有

两点基元的简单立方点阵，基元中两点的坐标为r1?0,r2?a??y??z??．从这个观点来看，?x2例易点阵仍然是简单立方点阵，立方晶胞边长为2?a。根据衍射条件，当?k等于这个简单立方倒易点阵的G时，都可能有劳厄衍射的峰值．但是，既把体心立方结构考虑为带有基元的简单立方点阵，就必须相应地处理基元的几何结构因子，计入结构因子对散射波振幅的影响．

由式(2．11)知道，基元的几何结构因子为

?G??fiexp??iG?ri? (1)

i其中ri是基元中第j个原子的坐标

ri?xia1?yia2?zia3,?0?xi,yi,zi?1?a1,a2,a3是简单立方点阵的初基矢量 ?,a2?ay?,a3?az? a1?axG是简单立方点阵的倒易点阵矢量

G?2???l2y??l3z?? ?l1xa将ri和G的表达式代入式(1)中得到

?G??fiexp???i2??xil1?yil2?zil3??? (2)

i体心立方结构作为简单立方点阵处理时，基元包含两个全同的原子．它们的位置是

r1?0,即x1?y1?z1?0

r2?a??y??z??,即x2?y2?z2?12 ?x2而原子的形状因子

f1?f2?f

25

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