结构力学 第三章 静定结构的内力计算（教师讲义）

第三章 静定结构的内力计算

§3-1 平面杆件的截面内力

［截面内力及符号规定］ 从微观上看，截面内力为：正应力

、剪应力

、剪力

和弯矩

从宏观上看，平面杆件任一截面内力为：轴力

（1）截面上正应力的合力，称为轴力。轴力的拉为正，压为负。

（2）截面上剪应力的合力，称为剪力。剪力以绕隔离体顺时针转为正，反之为负。 （3）截面上正应力对截面形心的合力矩，称为弯矩。对于梁下部受拉为正，反之为负。 ［内力图］

作轴力图和剪力图时要注明正负号；作弯矩图时画在杆件受拉纤维一边，不注明正负号。 ［内力与荷载的关系］

弯矩、剪力与荷载集度之间的微分关系

（1）（2）

，即无荷载作用的区间，剪力图为水平线，弯矩图为斜直线； 常数，即均布荷载作用的区间，剪力图为斜直线，弯矩图为抛物线。

［截面法］

截面法是求内力的最基本方法。欲求某截面内力，即将该指定截面切开，取左边或右边部分为隔离体，画受力图，根据平衡方程求内力。

§3-2 单跨静定梁

［弯矩图的叠加］ 基本弯矩图

弯矩图的叠加，为弯矩图竖标的叠加。

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［单跨静定梁］ 三种基本形式：

（1）简支梁 （2）外伸梁 （3）悬臂梁

其它形式：

［作剪力图］

梁的剪力图简易作法：先求出全部的支座反力。然后根据外力和反力的指向，从梁的左端零点出发，顺着力的方向，依次绘出剪力图，最终到达梁的右端零点。剪力图绘在梁的上方为正，下方为负。

［作弯矩图］

先求出各控制截面的弯矩，然后根据弯矩图的叠加，分段作出结构的全部弯矩图。

求控制截面弯矩的固定截面法：先求出全部的支座反力。欲求某控制截面的弯矩，只要将该截面假想固定，可取左半部或右半部为对象，根据悬臂结构的弯矩，判断受拉边，求出弯矩值。

§3-3 多跨静定梁

［多跨静定梁］

（1）由若干根梁用铰相连，跨越几个相连跨度的静定梁。 （2）多跨静定梁可分为基本部分与附属部分。 基本部分——几何不变部分；

附属部分——依靠基本部分才能保持其几何不变性。 （3）多跨静定梁的计算原则： 先计算附属部分，后计算基本部分。

§3-4 静定刚架

［刚架］

刚架是由若干梁和柱主要用刚结点组成的结构。 ［平面静定刚架常见类型］ （1）悬臂刚架

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（2）简支刚架

（3）三铰刚架

（4）组合刚架

§3-5 三铰拱

［拱结构］

杆轴为曲线且在竖向荷载作用下能产生水平推力的结构。 拱与梁的区别——水平推力的存在。

曲梁 拱 ［常见的三铰拱］ （1）无拉杆的三铰拱

（2）有拉杆的三铰拱

［三铰拱］

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拱的两端支座处称拱趾，两拱趾间的水平距离称拱的跨度

。拱轴最高处称拱顶，拱顶至两支座联线

的竖直距离称为矢高。矢高与跨度之比称为拱的矢跨比。

［三铰拱的支座反力计算］

三铰拱的支座竖向反力等于相应简支梁两支座的竖向反力，水平推力等于相应简支梁与拱中间铰对应的截面

的弯矩除以矢高

。

可见，水平推力愈小则

愈大。若

只与荷载及三个铰的位置有关，而与拱轴形状无关。矢高

则

愈大

愈小，反之

，此时三个铰位于同一直线上，为瞬变体系。

［三铰拱的内力计算］

内力符号规定：弯矩使内侧受拉为正，剪力绕顺时针转为正，轴力以拉力为正。 求指定截面

的内力：

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、

为相应简支梁截面

的弯矩与剪力。

的符号在左半拱取正，右半拱取负。由于水

平推力的存在，拱的弯矩比相应梁结构的弯矩小得多。

［三铰拱的压力线］

三铰拱的截面的内力为弯矩、剪力与轴力，三者可合成为一合力

，合力

在截面上存在一个

作用点，所有各个截面的这些作用点联接起来便成为一条折线或曲线，称之为拱的压力线。

[三铰拱的合理拱轴]

在已知荷载作用下，如所选择的三铰拱轴线能使所有截面上的弯矩均等于零，这样的拱轴称为合理拱轴。

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§3-6 静定平面桁架

［桁架的计算简图］

桁架是由若干直杆在其两端用铰连结而成的结构。 桁架的三条基本假定：

（1）桁架的结点都是光滑的铰结点； （2）各杆的轴线都是直线并通过铰的中心； （3）荷载和支座反力都作用在结点上。

根据上述假定，桁架的计算简图各杆均用轴线表示，且都是只承受轴力的二力杆。 ［平面桁架的分类］ （1）按桁架的外形可分为 a、平行弦桁架

b、折弦桁架

c、三角形桁架

（2）按支座反力的特点可分为 a、无推力桁架或梁式桁架

b、有推力桁架或拱式桁架

（3）按几何组成方式可分为

a、简单桁架——由一个基本铰接三角形开始，依次增加二元体所组成的桁架。

b、联合桁架——由几个简单桁架按照两刚片或三刚片规则联合所组成的几何不变的桁架。

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c、复杂桁架——不是按照上述两种方式组成的其它桁架。

［结点法计算桁架的内力］

［桁架零杆的判断及结点平衡的特殊情况］ 零杆——内力为零的杆件。 零杆判断的要诀： 两杆结点无荷载； 三杆结点一直线； 四杆结点对称性。 解释：

结点法——截取桁架的结点为隔离体，利用各结点静力平衡条件计算各杆内力。

（1）不共线的两杆结点，无荷载作用时，则两杆为零杆。

（2）有两杆共线的三杆结点，无荷载作用时，则第三杆为零杆。

（3）四杆对称K结点，结构对称，荷载对称，K结点位于对称轴上，无荷载作用时，则不在一直线上的两杆为零杆。

结点平衡的特殊情况

（1）K结点，四杆对称K结点，无荷载作用时，则不在一直线上的两杆内力绝对值相等，但符号相反。

（2）X结点，两两共线的四杆结点，无荷载作用时，则同一直线上的两杆内力相等。

［截面法计算桁架的内力］

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截面法——截取桁架其中任一部分为隔离体，根据静力平衡条件计算未知杆件的内力。所选平衡方程的不同，截面法可分为力矩法和投影法。

［各类平面梁式桁架的比较］

平行弦桁架、三角形桁架和抛物线形桁架的受力情况，其中弦杆内力可写成统一计算公式：

其中，

是相应简支梁对应矩心点的弯矩，

是内力

对矩心的力臂。正号表示下弦受拉，负号

表示上弦受压。

分析结论：

（1）平行弦桁架的内力分布不均匀，弦杆内力向垮中递增； （2）三角形桁架的内力分布也不均匀，弦杆内力接近支点处最大； （3）抛物线折线形桁架的内力分布均匀，材料使用最为经济。

§3-7 静定组合结构

［组合结构］

由只承受轴力的链杆和承受弯矩、剪力和轴力的梁式杆件所组成。 ［计算组合结构的一般步骤］ （1）求支座反力； （2）计算各链杆的轴力； （3）计算梁式杆的内力；

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（4）作出其内力图。

§3-8 静定结构的特性

［静定结构的特性］

（1）在静定结构中，除荷载外，任何其它因素，如温度改变，支座位移，材料收缩，制造误差等，均不产生任何反力和内力。

（2）静定结构的局部平衡。当由平衡力系所组成的荷载作用于静定结构的几何不变部分时，则只有该部分受力，而其余部分的反力和内力均等于零。

（3）静定结构荷载的等效变换。对作用于静定结构某一几何不变部分上的荷载进行等效变换时，则只有该部分的内力发生变化，而其余部分的反力和内力均保持不变。

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