线性代数习题2015及参考答案

线性代数练习题（答案）

一、填空题：

1. 五阶行列式中，项a 21 a 32 a 53 a 15a 44 的符号为 负 。 2. 行列式某两行（列）元对应成比例，则行列式的值 0 。

?59????13?1?3. 已知A??,B?0?3??,则AB等于 ?261?????114?????6?4???214?? . ???310???4. 若A??223?,且秩(A)=2,则t= 6 .

?13t????15. 已知方阵A满足aA2?bA?cE?0(a,b,c为常数c?0),则A?(aA?bE)c

?216.4阶行列式

43350?5281707中（3，2）元素的代数余子式A32是 -223 . 447.向量组（Ⅰ）α1 , α2 ,…, αr与向量组（Ⅱ）β1，β2，…, βs 等价，且组（Ⅰ）线性无关，则r与s的大小关系为 r?s .

?102???8. 设A=?030?，A*为A的伴随矩阵，则| A*|= 225 .

??005??9. 排列4 6 7 1 5 2 3的逆序数是 13 .

a11a2110.四阶行列式D?a31a41项。

11. 任意一个数域都包含 有理 数域.

12. 设λ1, λ2 ,…, λn是矩阵A的n个特征值，则λ1 λ2…λn= | A| 。 ?100???

13. 设矩阵A=?220?，那么矩阵A的列向量组的秩为 2 .

?340???

a12a22a32a42a13a23a33a43a14a24是 24 项的代数和，其中含a11的项共 a34a44 6

14．设向量?=（1，2，3，4），则?的单位化向量为 (1,2,3,4)

30 .

1

15．设A，B均为三阶方阵，且｜A｜= -3，｜B｜=6，则｜AB｜= 18 ． 16. 设?1?(1,0,1),?2?(0,1,1),?3?(1,1,0)是F的一个基,则F的自然基?1,?2,?3到

33?101????1,?2,?3的过渡矩阵为 ?011? .

?110???16. 在欧氏空间R中，???1,0,0,1?，???1,0,1,0?，则?与?的夹角等于 4? . 3?59??1?2?????17．已知A??30?,B??0?3?,则A-2B等于 ?114???17???????9?20???6? . ?3?21?1???18. 与矩

2阵

2??101???A??03?2??1?20???对应的二次型是

f(x1,x2,x3)??x1?3x2?2x1x3?4x2x3 ．

19. 二次型

22f(x1,x2,x3)=x1?2x22?3x3?4x1x2?x1x3?4x2x3的对称矩阵为

0?2??1???22?_____ . ___?0??223???20. 若二次型f(x1,x2,x3, x4)的正惯性指数为3，符号差为2，则f(x1,x2,x3 ,x4)的规范型为

y?y?y?y12322224

二、单项选择题：

-1?37?1. 设2阶方阵A可逆，且A=?。 ?1?2?，则A=（ A ）

??27???27??2?7??37?A．??13? B．?1?3? C．??13? D．?12?

????????2. 设A为m×n矩阵,且非齐次线性方程组AX=b有无穷多个解，则必有（ D ）.

A．秩(A)=n B．秩(A)=m C．秩(A)

3. 设?1，?2是非齐次线性方程组AX=b的解，β是对应的齐次线性方程组AX=0的解，

则AX=b必有一个解是（ D ）. A．

?1+?2 B．?1-?2 C．β+ ?1+?2 D．β+

11?1+?2 224. 在下列矩阵中，不是初等矩阵的是 （ B ）.

2

A.?010? B. ?? C. ?010?10???????001????001???102??101??100??001???010? D. 0???????100???00?1?5. 在下列矩阵中，是初等矩阵的是 （ C）.

?101??101??101??101??010??010??110??0?10??????????011?? B. ??001?? D. ??001?? ?001?? C. ?A.?

6. 在下列矩阵中可逆的是（ D ）。

?000???A. ?010? B.

?001???7. 设

?110?

??220?? C. ?001????110???011?? D. ?121????100???111?? ?101???C ）.

???1=（1，2，1）?，?2=（0，5，3），3=（2，4，2），则1，?2，3的秩是（

D．3

A．0 B．1 C．2

18. 设A为4阶矩阵，|A|=3，则|6A*|=（D ）.

1A．6 B． C．2 D．48

39. 设A是m行n列矩阵，若η1，η2,……,ηt是AX=0的基础解系，则秩A=（ A ）. A．n-t B．m-t C．m-n 10. 若向量组(Ⅰ)

D．t

?1,?2,?,?r,可由向量组(Ⅱ) ?1,?2,?,?s,线性表示,且组(Ⅰ)线性无

关，则必有( C ).

A.秩(Ⅰ)<秩(Ⅱ) B. 秩(Ⅰ)＞秩(Ⅱ) C. 11. 设A是4阶矩阵，则|-A|=（ C ）. A．-4|A| B．-|A| C．|A|

D．4|A|

r?s

D. r＞s

12. 若行列式错误！未找到引用源。=1，错误！未找到引用源。= - 2，则行列式错误！未找到引用源。（ D ）。

A．- 2 B． 1 C．0 D． - 1

13. 设A，B均为3阶矩阵，若A可逆，秩（B）=2，那么秩（AB）=（ C ）. A．0 B．1 C．2

D．3

14. A是m?n矩阵，P是m阶可逆矩阵，则秩(PA)等于（ A）. A．秩（A） B．秩（P） C．m

D．n

3

1?1332001?315. 设行列式A=

，则A2的值为（ D ）.

A．0 B．1 C．6 D． 36

16. 在R中，与向量α1=（1,1,1），α2=（1,2,1）都正交的单位向量是（ B ）.

11A．（-1,0,1） B．（-1,0,1） C．（1,0,-1） D．（1,0,1）

2217.与矩阵A???A． ??3

?12?? ）。?不相似的矩阵是（03??（C）。

?10??35???? B． C．错误！未找到引用源。 D．错误！未????01??23?找到引用源。

（提示：相似矩阵具有相同的特征值）

18．下列矩阵中，不是正定矩阵的是（ B ）。

A． 错误！未找到引用源。 B．错误！未找到引用源。 C．错误！未找到引用源。

D．错误！未找到引用源。

?x1?x2?a?19．方程组?x2?x3?2a 有解的充分必要条件是a?(?x?x?1?31A.13B.?13C.1D.?1

)。（ B ）

20．n阶方阵A有n个不同的特征值是A可对角化的（ B ）。

A．充分必要条件 B．充分而非必要条件 C．必要而非充分条件 D．既非充分也非必要条件 三、判断题

1. 在所有n级排列中，奇排列的个数和偶排列的个数相等。（√ ） 2. 对n级排列所作的每次对换都改变排列的奇偶性。（ √ ） 3. 线性无关的向量组中不能包含成比例的向量。（√ ） 4. 如果两个向量组等秩，则这两个向量组一定等价。（ ×）

5．若含n个方程n个未知量的齐次线性方程组的系数行列式不等于零，则方程组只有唯一零解。（ √ ）

4

6. 如果当

k1?k2???ks?0时,k1?1?k2?2???ks?s?0,那么?1,a2,?,?s线性

无关. ( × ).

7. 向量组中任一向量都可经该向量组线性表出。（ √ ）

8. s(s≥2)个向量线性相关当且仅当其中某一向量是其余向量的线性组合。（√ ） 9. 线性无关向量组的部分组线性无关。（√ ） 10. 线性相关向量组的部分组线性相关。（ × ）

11. 一个向量组的部分组线性相关，则该向量组线性相关。（√ ）

12. 向量组的秩是 r，则向量组中任意r个线性无关的向量都是该向量组的极大无关组.( √ )

13. 对任意n阶方阵A，B，C，若AB=AC，则一定有B=C. （ × ） 14.一个向量组与它的部分组等价的充分必要条件是它们等秩.( √ ).

TTT(AB)?AB.( × ) 15.

16. (AB)?1?A?1B?1.( × )

17. 若n阶矩阵A可表示成一系列初等矩阵的乘积，则A可逆。（√ ） 18. 对矩阵施行初等列变换相当于用一个满秩矩阵左乘该矩阵。（ × ）

19. 任一个n阶矩阵都可作为向量空间V的一个基到另 一个基的过渡矩阵。（ × ） 20. 若向量空间V的每一个向量都可以表成V中向量?1，?2，…?n的线性组合，那么dimV=n。 （ × ）

21. 欧氏空间V的一个正交基到另一个正交基的过渡矩阵是正交矩阵。（√ ） 22. 正交矩阵是可逆矩阵。（ √ ） 23. 正交矩阵的行列式等于1.（ × ）

24. 若n阶矩阵A在给定数域内有n个特征值，则A可对角化。（ × ） 四、计算题

1、计算4阶行列式 D43?1504007 ?2?18200012?1?151?400解：原式==4?(?1)=12 ?182?183?15 5

?12???53???2、已知A=?，B=?0?1??12??，求满足方程AX?B的矩阵X。

????|A|??1??1?2??12? 1*?A?A????0????0?1??1|A|?????1?12???53???37? X?A?1B???0?1????12??????1?2????????

3、在R3中，求与向量a1?(1,?1,1),a2?(1,0,2)正交的所有向量。 解：设向量??(a,b,c)与向量a1?(1,?1,1),a2?(1,0,2)正交，则

??,?1??0,??,?2??0

?a??2ta?b?c?o即有?，则???b??t,其中t为任意常数 a?2c?0??c?t?故 ??t(?2,?1,1),其中t为任意常数为所求。 五、综合题

66??3?是否可对角化，并说明理由。1. 在实数域R内，试判断矩阵A??0 20????3?12?6?????3解：fA(?)?03?6?60??(??2)(??3)

??212??6故A的特征值有?1?0,?2?2,?3??3

每个特征值至少有一个特征向量，假设?1,?2,?3的特征向量分别为?1,?2,?3 根据不同特征值的特向量线性无关可知?1,?2,?3线性无关 设以?1,?2,?3为列向量为矩阵T，那么T必可逆

且AT?A(?1,?2,?3)?(A?1,A?2,A?3)?(?1?1,?2?2,?3?3)

6

??1?=(?1,?2,?3)?0?0?0?200??000????0??T?020?

?00?3??3?????000????1故TAT??020?，即A可对角化。

?00?3???2. 证明?1?(1,?1,3?)2,?(3,?13,?0),?是R(31的,1一,个1)基，并求

??(2,0,3)在这个基下的坐标。

解：以?1,?2,?3为列向量的行列式D

131D=?111?2?0，故向量组?1,?2,?3线性无关，且所含向量个数为330?1等于dim（R3），故该向量组是R3的一个基。

设??(2,0,3)在该基的坐标为(x,y,z)，则有

x?1?y?2?z?3??

相对应方程组为

?x?3y?z?2???x?y?z?0，解之得x=2,y=-1,z=3 ?3x?z?3?向量?在基?1,?2,?3下的坐标为(2,?1,3)

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