2012年山东高考理科数学试题含答案

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2012 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 

理 科 数 学 

本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分，共四页，满分 150 分．考试用时 120 分钟．考试结束后，将本试 卷和答题卡一并交回． 

注意事项： 

1．答题前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名 、座号、考生号、县区和科 类填写在答题卡和试卷规定的位置上． 

2．第 I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改 动，用橡皮擦干净后，再涂选其他答案标号，答案不能答在试卷上． 

3．第 II 卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不 能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按上述要求作答的答案无效． 4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 

参考公式： 

锥体的体积公式： V= Sh ，其中S 是锥体的底面积，h是锥体的高． 

3 

若事件 A , B 互斥，则 P(A+B)=P(A)+ P(B)  ；若事件 A , B 独立，则 P(AB)= P(A)× P(B)  ． 

第Ⅰ卷（共 60分） 

一、选择题：本大题共12小题，每小题 5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有 

一个是符合题目要求的． 

（1）若复数z 满足 z(2-i)=11+ 7i  （i为虚数单位），则z 为（ 

（A）3+ 5i （A）{1,2,4} 

（B）3- 5i （B）{2,3,4} 

（C） -3+ 5i （C）{0,2,4} 

） （D） -3- 5i

） 

（D）{0,2,3,4} 

（2）已知全集 U = {0,1,2,3,4} ，集合 A= {1,2,3} ， B= {2,4} ，则（  ð U B 为（ U A）

（3）设 a> 0 且 a¹ 1 ，则“函数 f(x) = a x 在 R 上是减函数”是“函数 g(x)=(2- a) x 2 在 R 

上是增函数”的（ 

）条件 

（D）既不充分也不必要 

（A）充分不必要 （B）必要不充分 （C）充分必要 

（4）采用系统抽样方法从960人中抽取32 人做问卷调查，为此将他们随机编号为 1，2，…960， 

分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9，抽到的 32 人中，编号落入区间 

[1,450]的人做问卷A，便后落入[451,750]做问卷B ，其余的人做问卷C ，则抽到的人中， 

做问卷B 的人数为（ （A）7 

（B）9 

） （C）10 

（D）15

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（5）已知点(x,y ) 满足约束条件

（A） [,6] 

{ 

2x+y £ 4 

，则目标函数 z=3x - y 的取值范围是（ 

4x-y ³- 1 

（B） [-,- 1] 

） 

2 2

（C）[- 1,6]

（D） [- 6,2

（6）执行右面的程序框图，若输入 a= 4 ，则输出的n的 

值为（ （A）2 

） （B）3 

（C）4 

（D）5 

（7）若

 qÎ[,,sin2 q （A）5 

（B）5 

，则sinq = （ ） （D）4 

（8）定义在 R 上的函数 f(x ) 满足 f(x+6)= f(x ) ，且当 

2 

；当 -1£x < 3 时， -3£x <- 1 时， f(x)=-(x + 2) 

f(x) = x ，则 f(1)+f(2)+f(3)+...+f (2012) =（ 

（A）335 

（B）338 

（C）1678 

） 

） 

（D）2012 

的图像大致为（ （9）函数 y = x- x 

2- 2 

2 y 2 2 

（10）已知椭圆 C:2+2 =1(a>b >

0) ，双曲线 x2-y = 1 的渐近线与椭圆有四个交 

ab

点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16，则椭圆C 的方程为（ 

2 y 2 （A）+= 1 

82 

2 y 2 （B）+= 1 126 

2 y 2 （C）+= 1 164 

） 

2 y 2 （D）+= 1 205 

（11）现有 16 张不同的卡片，其中红、黄、蓝、绿色卡片各4 张，从中任取3 张，要求这些卡 

片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1 张，不同取法的种数为（ （A）232 

（B）252 

（C）472 

） （D）484 

（12）设函数 f(x ) = ， g(x)=ax2 +bx(a,bÎR,a ¹ 0) ，若 y= f(x ) 的图像与 y= g(x ) 的 

x

图像有且仅有两个不同的公共点 A(x1,y1),B(x2,y 2 ) ，则下列判断正确的是（ （A）当 a< 0 时， x1+x2<0,y1+y 2 > 0 （B）当 a< 0 时， x1+x2>0,y1+y 2 < 0 （C）当 a> 0 时， x1+x2<0,y1+y 2 < 0 （D）当 a> 0 时， x1+x

2>0,y

1+y 2 >0 

） 

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第Ⅱ卷（共 90 分） 

二、填空题：本大题共4小题，每小题 4分，共16分． 

（13）若不等式|kx-4|£ 2 的解集为{x|1£x £ 3} ，则实数k =________． （14）如图，正方体 ABCD- A1B1C1D1  的棱长为 1， E, F 分别为线 

段 AA1, BB 1 上的点，则三棱锥 D1 - EDF 的体积为__________． 

（15）设 a> 0 ，若曲线

 y与直线 x=a,y = 0 所围成封闭图 

2 

形的面积为 a ，则a=_____________． 

（16）如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初 

始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在 

uuur x轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP 

的坐标为______________． 

三、解答题：本大题共6小题，共74分． 

（17） （本小题满分 12分） 

已知向量

 m=(sinx,1),n =cosx,cos2x)(A > 0) ，函数 f(x ) =m× n的最大值 

为 6． （Ⅰ）求A； 

（Ⅱ）将函数 y= f(x ) 的图像向左平移个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩 

短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数 y= g(x ) 的图像，求 g(x ) 在 [0,上的值域

．

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在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形， 

ABP CD , ÐDAB = 60o , FC ^平面 ABCD, AE^ BD ， 

CB=CD= CF ． 

（Ⅰ）求证BD ^平面 AED； （Ⅱ）求二面角F-BD- C 的余弦值． 

（19） （本小题满分 12分） 

现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得 1 分，没有命中得 

0 分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得 2分，没有命中得0 分．该 

3 

射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击． （Ⅰ）求该射手恰好命中一次的概率； 

（Ⅱ）求该射手的总得分X 的分布列及数学期望EX ．

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在等差数列{a } 中， a3+a4+a5=84,a9  = 73 ． n （Ⅰ）求数列{a } 的通项公式； n 

* 

（Ⅱ）对任意 mÎN ，将数列{a } 中落入区间 (9m,92 m ) 内的项的个数记为{b } ，求数列{b } n n n 

的前m项和 S m ． 

（21） （本小题满分 13分） 

在平面直角坐标系xOy中，F 是抛物线 C:x2 = 2 py (p> 0) 的焦点，M 是抛物线C 上 位于第一象限内的任意一点，过 M,F, O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C 的准线 的距离为． 

（Ⅰ）求抛物线C 的方程； 

（Ⅱ）是否存在点M ，使得直线MQ与抛物线C 相切于点 M ? 若存在，求出点M 的坐标； 

若不存在，说明理由； 

（Ⅲ）若点M 

 l: y=kx 与抛物线C 有两个不同的交点 A, B，l与 

圆Q有两个不同的交点 D, E ，求当£k £ 2 时， |AB|2+ |DE |2  的最小值．

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（22） （本小题满分 13分） 

（k 为常数， e= 2.71828... 是自然对数的底数）已知函数 f(x ) = ，曲线 y= f(x ) 在点 e

(1,f (1)) 处的切线与x轴平行． 

（Ⅰ）求k 的值； 

（Ⅱ）求 f(x ) 的单调区间； 

（Ⅲ）设 g(x)=(x2 + x)f'(x ) ，其中 f'(x ) 是 f(x ) 的导函数．证明：对任意 x> 0 ， 

- 2 

g(x)<1 + e ．

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理科数学参考答案 

一、选择题 

二、填空题 

（13）2 三、解答题 

（17）解：（Ⅰ）  f(x )= m× n 

（14）

6 

（15）9 

（16）(2-sin2,1- cos2)

=sinxcosxcos2 x 

=A2xcos2x ) 

=Asin(2x ) 

6

因为 A> 0 ， 

由题意知 A= 6 ． 

（Ⅱ）由（I） f(x)=6sin(2x +  

6

将 y= f(x ) 的图象向左平移个单位后得到 

y=6sin[2(x++]=6sin(2x  的图象； 

再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到 

2 

y=6sin(4x  的图象． 

因此 

g(x)=6sin(4x ) ， 

因为 

 ， x Î [0,24

所以 

 ， 4x +Î [,所以 

sin(4x +Î[,1] ， 

上的值域为[- 所以 g(x ) 在 [0,3,6] ．

24

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（18）（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD为等腰梯形，ABP CD ， ÐDAB = 60o  ， 

所以 ÐADC=ÐBCD = 120o  ． 又 CB= CD ， 

o 

所以 ÐCDB = 30 

o 

因此 ÐADB = 90 ， AD^ BD ， 

又 AE^ BD ，且 AEI AD= A ， AE, ADÌ平面 AED， 所以 BD ^平面 AED． 

（Ⅱ）解法一： 

由（I）知 AD^ BD ，所以 AC^ BC ，又FC ^平面ABCD， 

因此 CA,CB, CF 两两垂直．以C 为坐标原点，分别以 CA,CB, CF 所在的直 线为x轴， y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，不妨设 CB = 1 ，则， 

C (0,0,0) ， B (0,1,0) ，

 D (,,0) ， F (0,0,1) ， 

uuur uuur 因此

 BD=(,,0) ， BF =(0,- 1,1) ． 

设平面BDF 的一个法向量为 m = (x,y,z ) ， 

uuur uuur 

则 m × BD= 0 ， m × BF = 0 ， 所以

 x= ，取 z = 1 ， 

则

 m = (,1,1) ． 

又平面BDC 的法向量可以取为 n = (0,0,1) ， 所以

 cos<m, n >==， 

所以二面角F-BD-

C ． 

解法二： 

取BD的中点G ，连结 CG, FG ，由于CB= CD ， 所以CG^ BD ． 

又FC ^平面 ABCD，BD Ì平面 ABCD， 所以FC^ BD ． 

由于FCI CG= C ， FC, CG Ì 平面FCG ， 所以BD ^平面FCG ，故BD^ FG ． 所以 Ð FGC 为二面角F-BD- C 的平面角． 在等腰三角形BCD中，由于 ÐBCD = 120o  ， 因此 CG= CB ，又CB=

CF ， 

所以

 CF= ， 

故 cos ÐFGC 因此 二面角F-BD-

C ．

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（19）解：（Ⅰ）记“该射手恰好命中一次”为事件 A； “该射手设计甲靶命中”为事件B ； “该射 

手第一次射击乙靶命中”为事件C ； “该射手第二次射击乙靶命中”为事件D． 由题意知， P(B ) = ， P(C)=P(D ) ， 

4 3 

由于A=BCD+BCD+ BCD ，根据事件的独立性与互斥性得 P(A)=P(BCD+BCD+BCD)=P(BCD)+P(BCD)+ P(BCD ) 

=´(1-´(1-+(1-´´(1-+(1-´(1-´= （Ⅱ）根据题意，X 的所以可能取值为0,1,2,3,4,5． 

根据事件的独立性和互斥性得 

P(X=0)=P(BCD )=(1-´(1-´(1-= ， 

P(X=1)=P(BCD )=´(1-)´(1-= ， 

P(X=2)=P(BCD)+P(BCD )=(1-´´(1-)´2 = ， 

P(X=3)=P(BCD)+P(BCD )=´´(1-´2 = P(X=4)=P(BCD )=(1-´´=P(X=5)=P(BCD ) =´´= 故 X 的分布列为 

（20）解：（Ⅰ）因为 {a } 是一个等差数列， n 

所以 EX =0´+1´+2´+3´+4´+5 ´= ． 

所以 a3+a4+a5=3a = 28 ． 4 = 84 ，即 a4 

a- a == 9 ， 9- 45 

* 

所以， an =a4 +(n-4)d=28+9(n-4)=9n-8(n ÎN ) 

所以，数列{a } 的公差 d =n 

* 2 m 

（Ⅱ）对 mÎN ，若 9m<a n < 9 ， 

2m - 1 

则 9m+8<9n <92 m + 8 ，因此 9m-1+1£n £ 9 ， m 故得 bm  =92m- 1 - 9 

于是 Sm=b1+b2+b3 +... + bm 

=(9+93+95+...+92m-1)-(1+9+92+...+ 9m - 1 ) 

m 9´(1- 81m ) =2m+ 1 m

=80 

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（21）解： 

（Ⅰ）依题线段OF 为圆Q的弦，由垂径定理知圆心Q的纵坐标 y Q =

又Q到抛物线准线 y =的距离为 y Q +所以 x2 = 2 y 为所求. 

2 

x 2 2 Þy' = x 0 （Ⅱ）假设存在点 M( x ，，又 F (0 ，，设 Q( x ，. x= 2 y 变形为 y = 0 Q 2 4 2 x 0 

x 0 

因为直线MQ为抛物线的切线，故 kMQ==y'| ， x= x = x 0 ，解得 x Q =0 Q 0 x 即 Q 0 + ，. 

24 x0  4 

x x0  2 + 1 0 

又取FM 中点 N ，，由垂径定理知FM^ QN ， 

2 2 uuuuruuur x0  - 1 x0  所以 FM× QN= ( x0  ，× ( ，=

 0 Þx 0 ，所以存在M

 1). 4x0  0 

p 

， 4 

p 2 ppp =+= ，所以 p = 1 . 2424 

（Ⅲ）依题

 M 1)，圆心

 ，圆Q的半径

 r=|OQ |=， 

| 

， 圆心Q到直线 y=kx 的距离为

 d =22 æö 所以， |DE|=4(r-d )=4 ç-= . 2÷ 2 

32(1+k)8(1+ k ) èø

2 ì ï x= 2 y 又联立 í Þx2 -2kx -= 0 ， y=kx 2 ï î k ì ï x1+x2 = 2 

设 A( x ) ， B( x ，则有， í 1 ， y 1 2 ， y 2 ) . xx =12 ï î 2

2

2 

所以， |AB|2=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2 ]=(1+k2)(4k 2 + 2) . 于是， 

2 

42 +£k £ 2) |AB|2+|DE|2=(1+k2)(4k2+2)+=4k+6k+(记 f(x)=4x2 +6x++(£x £ 4) ， 

，4]上单增， f'(x)=8x +6-2 >6-> 0 ，所以 f(x ) 在 8(1+ x 8 ) 

所以当 x= ， f(x ) 取得最小值 fmin (x)=f (= ， 所以当 k = 时， |AB|2+ |DE |2  取得最小值.

2 2 

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（22）解： 

-ln x- k 

（Ⅰ） f'(x ) = ，依题意， f'(1)==0Þk = 1 为所求. 

e

-lnx - 1 

（Ⅱ）此时 f'(x ) = x (x > 0) 

e

记 h(x)=-lnx - 1 ， h'(x )=--< 0 ，所以 h(x ) 在(0， +¥ ) 单减，又 h(1) = 0 ， 

x x 所以，当0<x < 1 时， h(x )> 0 ， f'(x )> 0 ， f(x ) 单增； 

当 

)< 0 ， f'(x) < 0 ， f(x ) 单减. x> 1 时， h(x

所以，增区间为（0，1）； 

减区间为（1， +¥ ) . 

（Ⅲ） g(x)=(x2 +x)f'(x ) = ) ，先研究1-xln x- x ，再研究x ×(1-xlnx- x x . 

e 

e

- 2 ① 记 i(x)=1-xlnx-x,x > 0 ， i'(x)=-lnx - 2 ，令 i'(x) = 0 ，得 x= e ， 

- 2 

当 xÎ (0 ， e ) 时， i'(x )> 0 ， i(x ) 单增； - 2 当 xÎ (e  ， +¥ ) 时， i'(x )< 0 ， i(x ) 单减 . 

- 2 - 2 所以， imax (x)=i(e-2)=1 + e ，即 1-xlnx-x£1 + e . 

② 记 j(x)=， j'(x )=-) 在(0, +¥ ) 单减， ,x > 0 < 0 ，所以 j(x 

e

e

1 所以， j(x)<j (0)= 1 ，即x <

e

-2- 2 综①、②知， g(x)=(1-xlnx-x)£+ e .(1+e)<1 

ee

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另解 

依题意知关于x的多项式 h(x)=ax3+bx 2 - 1 有二重根，不妨设二重根为 x 1 ，另一根为 x 2 ， 则上述多项式可以分解为 展开对比x系数得 

由于 a< 0 ，且显然 x1  ¹ 0 ，故必有 又展开对比常数项得 从而解得

 由 y = 易得

从而

h(x)=a(x-x1)2 (x- x 2 ) ， ax1(x1+2x 2 )= 0 ， x1=- 2 x 2 ， ax12 x ， 2 = 1 

x1=-2 x 2 =y y1  =-2 =<

0 ．x1+x2=>0y1+y 2 =

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2012 山东卷理科 16 题 

（16）如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的 

初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆 在x轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于(2,1)时， uuur 

OP » = 2 ，所以 ÐPCB = 2rad ，所以 ÐPCM =2rad 解答：标记字母如图，显然 BP

2

又PC= 1 ，在 D PCM 中， 

PM=PCsinÐPCM =sin(2-=- cos2 ； 

2

CM=PCcosÐPCM =cos(2-= sin2 . 

2

于是， 

OA=OB-AB=OB-CM =2- sin2 . AP=AM+PM =1- cos2 ； r 

即 OP =(2- sin2 ，1- cos2)

注意，直线OP与圆 C并不相切.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/yf01.html