垂径定理练习题及标准答案

垂径定理

一.选择题 ★1．如图1，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，那么弦AB的长是（ ） A．4 B．6 C．7 D．8

答案：D

★★2．如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的一个动点，则线段OM长的最小值为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

答案：B

★★3．过⊙O内一点M的最长弦为10 cm，最短弦长为8cm，则OM的长为（ ） A．9cm B．6cm C．3cm D．41cm

答案：C

★★4．如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA、OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（ ）

A．12个单位 B．10个单位 C．1个单位 D．15个单位

答案：B

★★5．如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于P，且P是半径OB的中点，CD?6cm，则直径AB的长是（ ）

A．23cm B．32cm C．42cm D．43cm

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答案：D

★★6．下列命题中，正确的是（ ） A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心

D．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心

答案：D

★★★7．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为( )

A．5米 B．8米 C．7米 D．53米

答案：B ★★★8．⊙O的半径为5cm，弦AB//CD，且AB=8cm,CD=6cm,则AB与CD之间的距离为( ) A． 1 cm B． 7cm C． 3 cm或4 cm D． 1cm 或7cm 答案：D

★★★9．已知等腰△ABC的三个顶点都在半径为5的⊙O上，如果底边BC的长为8，那么BC边上的高为( )

A．2 B．8 C．2或8 D．3 答案：C 二.填空题

★1．已知AB是⊙O的弦，AB＝8cm，OC⊥AB与C，OC=3cm，则⊙O的半径为 cm 答案：5 cm

★2．在直径为10cm的圆中，弦AB的长为8cm，则它的弦心距为 cm 答案：3 cm

★3．在半径为10的圆中有一条长为16的弦，那么这条弦的弦心距等于 答案：6

★★4．已知AB是⊙O的弦，AB＝8cm，OC⊥AB与C，OC=3cm，则⊙O的半径为 cm 答案：5 cm

★★5．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，若∠COD＝120°，OE＝3厘米，则CD＝ 厘米

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AOCEB图 4答案：63 cm D

★★6．半径为6cm的圆中，垂直平分半径OA的弦长为 cm. 答案：63 cm ★★7．过⊙O内一点M的最长的弦长为6cm，最短的弦长为4cm，则OM的长等于 cm 答案：5 ★★8．已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为垂足，CD=8，OE=1，则AB=____________ 答案：217 ★★9．如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C， 且CD＝l，则弦AB的长是

答案：6

★★10．某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，则中间柱CD的高度为 m

答案：4

★★11．如图，在直角坐标系中，以点P为圆心的圆弧与轴交于A、B两点，已知P(4，2) 和A(2，0)，则点B的坐标是

yPOABx

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答案：(6，0)

★★12．如图，AB是⊙O的直径，OD⊥AC于点D，BC=6cm，则OD= cm

答案：3

★★13．如图，矩形ABCD与圆心在AB上的圆O交于点G、B、F、E，GB=10，EF=8，那么AD=

答案：3

★★14．如图，⊙O的半径是5cm，P是⊙O外一点,PO=8cm，∠P=30o,则AB= cm

ABOP

答案：6

★★★15．⊙O的半径为13 cm，弦AB∥CD，AB＝24cm，CD＝10cm，那么AB和CD的距离是 Cm

答案：7cm 或17cm

★★★16．已知AB是圆O的弦，半径OC垂直AB，交AB于D，若AB=8，CD=2，则圆的半径为 答案：5

★★★17．一个圆弧形门拱的拱高为1米，跨度为4米，那么这个门拱的半径为 米 答案：

5 2★★★18．在直径为10厘米的圆中,两条分别为6厘米和8厘米的平行弦之间的距离是 厘米 答案：7或1

★★★19．如图，是一个隧道的截面，如果路面AB宽为8米，净高CD为8米，那么这个 隧道所在圆的半径OA是___________米

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C O A D B

答案：5

★★★20．如图，AB为半圆直径，O 为圆心，C为半圆上一点，E是弧AC的中点，OE交弦AC于点D。若AC=8cm，DE=2cm，则OD的长为 cm

答案：3

★★★21．已知等腰△ABC的三个顶点都在半径为5的⊙O上，如果底边BC的长为8，那么BC边上的高为 答案：8或2

★★★22．如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为

Ｏ Ａ 答案：23 ★★★23．如图，⊙O的的半径为5，直径AB⊥弦CD，垂足为E，CD=6，那么∠B的余切值 为_________

Ｂ

答案：3 三.解答题

★★1．已知⊙O的弦AB长为10，半径长R为7，OC是弦AB的弦心距，求OC的长 答案：26 ★★2．已知⊙O的半径长为50cm，弦AB长50cm. 求：（1）点O到AB的距离；（2）∠AOB的大小

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0答案：（1）253 （2）60

★★3．如图，直径是50cm圆柱形油槽装入油后，油深CD为15cm，求油面宽度AB

OADCB

答案：40

★★4．如图，已知⊙O的半径长为R=5，弦AB 与弦CD平行，他们之间距离为7，AB=6求：弦CD的长．

A B O C 答案：8

★★5．如图，已知AB是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点E，如果BE=OE，AB=12m，求△ACD的周长

C D

A O E D B

答案：183 ★★6．如图，已知C是弧AB的中点，OC交弦AB于点D．∠AOB=120°，AD=8．求OA的长

O A B

D C 答案：163 3★★7．已知：如图，AD是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，AD⊥BC，垂足为点E，BC=8，AD=10．

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求：（1）OE的长；（2）∠B的正弦值

A

．O B E D 答案：（1）3 （2）C

25 5★★★8．如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D。已知：AB=24cm，CD=8cm

（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；

（2）求（1）中所作圆的半径.

A C D B

答案：（1）略 （2）13 ★★★9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在这个三角形的高AD上，AB=10，BC=12． 求⊙O的半径

答案：

25 4★★★10．如图，已知⊙O的半径长为25，弦AB长为48，C是弧AB的中点．求AC的长．

O A C B

答案：30

★★★11．1300 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对

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的弦长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫拱形高）为7.2米，求桥拱的半径（精确到0.1米）

答案：27.9 ★★★12．已知：在△ABC中，AB=AC=10, BC=16.求△ABC的外接圆的半径.

答案：

25 3★★★13．本市新建的滴水湖是圆形人工湖。为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取A、B、C三根木柱，使得A、B之间的距离与A、C之间的距离相等，并测得BC长为240米，A到BC的距离为5米，如图5所示。请你帮他们求出滴水湖的半径。

答案：1442.5

★★★14．如图是地下排水管的截面图（圆形），小敏为了计算地下排水管的直径，在圆形 弧上取了A,B两点并连接AB，在劣弧AB上取中点C连接CB，经测量BC?5米， 4?ABC?36.87°，根据这些数据请你计算出地下排水管的直径。 （sin36.87°?0.60，cos36.87°?0.80，tan36.87°?0.75）

C A

B

答案：

25 12★★★15．一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水（如图），此时

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的水面宽AB为0.6米．

（1）求此时的水深（即阴影部分的弓形高）；

（2）当水位上升到水面宽为0.8米时，求水面上升的高度．

O A B 答案：（1）0.1 （2）0.1或0.7

★★★16．已知：如图，AB是O的直径，C是O上一点，CD⊥AB，垂足为点D，F是

AC 的中点，OF与AC相交于点E，AC?8 cm，EF?2cm.

（1）求AO的长； （2）求sinC的值.

AFEODCB

答案：（1）5 （2）

4 5★★★★17．如图，在半径为1米，圆心角为60°的扇形中有一内接正方形CDEF，求正方形CDEF面积。

答案：2?3

四.证明题

★★1．如图，AB是⊙O的弦（非直径），C、D是AB上的两点，并且AC=BD。求证：OC=OD

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答案：略

★★2．如图，AB是⊙O的弦，点D是弧AB中点，过B作AB的垂线交AD的延长线于C． 求证：AD＝DC

AO·

BDC

答案：略

★★3．已知：如图所示：是两个同心圆，大圆的弦AB交小圆于CD，求证：AC=BD

答案：略

★★★4．如图，AB、CD是⊙O的弦，且AB=CD，OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别是点M、N， BA、DC的延长线交于点P ． 求证：PA=PC

答案：略

★★★5．已知：如图，点P是⊙O外的一点，PB与⊙O相交于点A、B，PD与⊙O相交于C、D，AB=CD． 求证：（1）PO平分∠BPD；（2）PA=PC B A O C D

答案：略

★★★6． 已知：如图所示，点P是⊙O外的一点，PB与⊙O相交于点A、B，PD与⊙O相交

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于C、D，AB=CD.求证：（1）PA=PC；（2）AE?EC

B O D C A P

答案：略 五.作图题

★★1．已知弧AB,用直尺和圆规平分这条弧．

A B

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