北京市各区2015年初中数学一模26题汇总

北京市各区2015年初中数学一模26题

1、阅读下面材料：

小昊遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，∠ACB=90°， BE是AC边上的中线，点D在BC边上，CD：BD=1：2，AD与BE 相交于点P，求

AP的值． PD小昊发现，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，通过构造△AEF，经过推理和 计算能够使问题得到解决（如图2）． 请回答：

图1

参考小昊思考问题的方法，解决问题：

图2

图3

AP的值为 ． PD如图 3，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在BC的延长线上，AD与AC边上的中线BE的延长线交于点P，DC：BC：AC=1：2：3 ． （1）求

AP的值； PD

（2）若CD=2，则BP= ．

2、在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，E是OC上任意一点，AG?BE于

点G，交BD于点F．

(1)如图1,若四边形ABCD是正方形,判断AF与BE的数量关系;

明明发现，AF与BE分别在△AOF和△BOE中，可以通过证明△AOF和△BOE全等,得到AF与BE的数量关系;

请回答：AF与BE的数量关系是 .

1

(2) 如图2,若四边形ABCD是菱形, ?ABC?120?,请参考明明思考问题的方法，求的值.

ADAF BEOFGBEC

图1 图2

3、小明遇到这样一个问题：

如图1，在锐角△ABC中，AD、BE、CF分别为△ABC的高，求证：∠AFE=∠ACB. 小明是这样思考问题的：如图2，以BC为直径做半⊙O，则点F、E在⊙O上， ∠BFE+∠BCE=180°，所以∠AFE=∠ACB.

请回答：若∠ABC=40，则∠AEF的度数是 . 参考小明思考问题的方法，解决问题：

如图3，在锐角△ABC中，AD、BE、CF分别为△ABC的高，求证：∠BDF=∠CDE.

FAFAAFE

BDEBECCODBDC图1 图2 图3

4、阅读下面材料：

学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，小聪继续

CF对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．

2

ABDE图1

小聪将命题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E．

小聪想：要想解决问题，应该对∠B进行分类研究．

∠B可分为“直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．

第一种情况：当∠B是直角时，如图1， 在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF， A∠B=∠E=90°，根据“HL”定理，可以知道 Rt△ABC≌Rt△DEF．

第二种情况：当∠B是锐角时，如图2，BC=EF，∠B=∠E<90°，在射线EM上有点D，使DF=AC，画出符合条件的点D，则△ABC和△DEF的关系是 ；

A．全等 B．不全等 C．不一定全等 A第三种情况：当∠B是钝角时，如图3，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF， ∠B=∠E>90°，求证：△ABC≌△DEF．

CFBME图2

CFBDE图3

5、阅读下面资料：

问题情境：

（1）如图1，等边△ABC，∠CAB和∠CBA的平分线交于点O，将顶角为120°的等腰三角形纸片（纸片足够大）的顶点与点O重合，已知OA=2，则图中重叠部分△OAB的面积是 ． 探究：

（2）在（1）的条件下，将纸片绕O点旋转至如图2所示位置，纸片两边分别与AB，AC交于点E，F，求图2中重叠部分的面积．

（3）如图3，若∠ABC=α（0°＜α＜90°），点O在∠ABC的角平分线上，且BO=2，以O为顶点的等腰三角形纸片（纸片足够大）与∠ABC的两边AB，AC分别交于点E、F，∠EOF=180°﹣α，直接写出重叠部分的面积．（用含α的式子表示）

3

6、阅读下面材料：

小军遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB＝6，AC＝4，点D为BC的中点，求AD的取值范围． BAAPBDCEBD图3

ACD图1

CE图2

小军发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题．他的做法是：如图2，延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，构造△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．

请回答：AD的取值范围是 ． 参考小军思考问题的方法，解决问题： 如图3，△ABC中，E为AB中点，P是CA延长线上一点，连接PE并延长交BC于点D．求证：PA?CD＝PC?BD．

7、阅读下面的材料

勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，下面是教材中介绍 的一种拼图证明勾股定理的方法.

先做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a,b， 斜边为c，然后按图1的方法将它们摆成正方形.

ababccbccaab（a?b）?4?由图1可以得到

21ab?c2， 2图1

222整理，得a?2ab?b?2ab?c．

222所以a?b?c．

如果把图1中的四个全等的直角三角形摆成图2所示的正方形，请 你参照上述证明勾股定理的方法，完成下面的填空：

由图2可以得到 ，

4

图2

整理，得 ， 所以 .

8、阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，DE∥BC分别交AB于D，交AC于E．已知CD⊥BE，CD=3，BE=5，求BC+DE的值．

小明发现，过点E作EF∥DC，交BC延长线于点F，构造△BEF，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．

AAFEDEDEABGDC

BCBCF图1 图2图3

请回答：BC+DE的值为_______． 参考小明思考问题的方法，解决问题：

如图3，已知□ABCD和矩形ABEF，AC与DF交于点G，AC=BF=DF，求∠AGF的度数．

9、阅读下面材料：

小聪遇到这样一个有关角平分线的问题：如图1，在△ABC中， ∠A=2∠B，CD平分∠ACB，AD=2.2，AC=3.6 求BC的长.

AA

DD

BCBCE5

图1 图2

ADBC图3

小聪思考：因为CD平分∠ACB，所以可在BC边上取点E，使EC=AC，连接DE. 这样很容易得到△DEC≌△DAC，经过推理能使问题得到解决（如图2）. 请回答：（1）△BDE是_________三角形.

（2）BC的长为__________.

参考小聪思考问题的方法，解决问题：

如图3，已知△ABC中，AB=AC, ∠A=20°，BD平分∠ABC,BD=2.3,BC=2.求AD的长.

10、阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，CD平分∠ACB，试判断BC和AC、AD之间的数量关系．

小明发现，利用轴对称做一个变化，在BC上截取CA′=CA，连接DA′，得到一对全等的三角形，从而将问题解决（如图2）．

CCA'ADBADB

图1 图2

请回答：（1）在图2中，小明得到的全等三角形是△ ≌△ ；

（2）BC和AC、AD之间的数量关系是 ．

参考小明思考问题的方法，解决问题：

如图3，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，BC=CD=10，AC=17，AD=9． 求AB的长．

DC

A图3

B11、阅读下面材料：

?A??C?90?，?D?60?， 小红遇到这样一个问题：如图1，在四边形ABCD中，

AB?43，BC?3，求AD的长．

AA

BE6 BCDCD

图1 图2

小红发现，延长AB与DC相交于点E，通过构造Rt△ADE，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）． 请回答：AD的长为 ． 参考小红思考问题的方法，解决问题：

tanA?如图3，在四边形ABCD中，CD?3，求BC和AD的长．

1?B??C?135?，AB?9，，2BC12、（1）请你根据下面画图要求，在图①中完成画图操作并

AD图3

填空．

如图①，△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=90°，∠PAM=∠A． 操作：（1）延长BC． （2）将∠PAM绕点A逆时针方向旋转60°后，射线AM交BC的延长线于点D． （3）过点D作DQ//AB．

（4）∠PAM旋转后，射线AP交DQ于点G． （5）连结BG．

．结论：

AB=__________ AG（2）如图②，△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=36°，进行如下操作：将△ABC绕点A按逆时针方向旋转?度角，并使各边长变为原来的n倍（n >1），得到△AB'C'. 当点B、C、B'在同一条直线上，且四边形ABB'C'为平行四边形时（如图③），求?和n的值．

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13、阅读下面的材料：

小敏在数学课外小组活动中遇到这样一个问题： 如果α，β都为锐角，且tan??11，tan??，求???的度数． 23小敏是这样解决问题的：如图1，把?，?放在正方形网格中，使得?ABD??，

?CBE??，且BA，BC在直线BD的两侧，连接AC，可证得△ABC是等腰直角三角形，

因此可求得???=∠ABC = °.

请参考小敏思考问题的方法解决问题：

如果?，?都为锐角，当tan??4，tan??时，在图2的正方形网格中，利用已作出的锐角α，画出∠MON=???，由此可得???=______°.

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北京市各区2015年初中数学一模26题答案

1、 解：

AP3的值为 . …………………………………………………………………1分 PD2解决问题：

（1）过点A作AF∥DB，交BE的延长线于点F，……………………………………2分

设DC＝k， ∵DC︰BC＝1︰2， ∴BC＝2k.

∴DB＝DC＋BC＝3k. ∵E是AC中点， ∴AE＝CE. ∵AF∥DB， ∴∠F＝∠1. 又∵∠2＝∠3，

∴△AEF≌△CEB. ……………………………………………………………3分 ∴AF＝BC＝2k. ∵AF∥DB， ∴△AFP∽△DBP. ∴∴

APAF?. PDDBAP2?. …………………………………………………………………4分 PD3（2） 6. ……………………………………………………………………………5分

2、 解：（1）AF=BE； ????1分

（2）

AF?3． ????2分 BE 理由如下：∵四边形ABCD是菱形，?ABC?120?, ∴AC?BD,?ABO?60?. ∴?FAO??AFO?90?. ∵AG?BE，

∴?EAG??BEA?90?． ∴?AFO??BEA.

又∵?AOF??BOE?90?，

∴△AOF∽△BOE. ????3分 ∴

AFAO? . BEOB ∵?ABO?60?，AC?BD，

9

∴

AOAF?tan60??3. ∴?3. ????5分 OBBE3、（1）40 ????????1分

（2）如图

由题意：∵?AEB??ADB?90,

∴点A、E、D、B在以AB为直径的半圆上 ∴∠BAE+∠BDE=180°??????3分 又∵∠CDE+∠BDE=180°

∴∠CDE=∠BAE ????????4分 同理：点A、F、D、C在以AC为直径的半圆上. ∴∠BDF=∠BAC

∴∠BDF =∠CDE ????????5分

BDFECA4、解：

F 画出DF，选择A（或画出D’F，选择B）…………………………………………………1 画出DF和D’F，选择C……………………………………………………………………2 证明：如图，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于点G， 过点F作DH⊥DE交DE的延长线于点H， ∵∠B=∠E， ∴180°﹣∠B=180°﹣∠E， 即∠CBG=∠FEH，…………………………………………………………………………3 在△CBG和△FEH中，

MDD'E??CBG??FEH???G??H?90?， ?BC?EF?∴△CBG≌△FEH（AAS）， ∴CG=FH，

在Rt△ACG和Rt△DFH中，?Rt△ACG≌Rt△DFH（HL），

10

CFABGDEH?AC?DF，

?CG?FH

∴∠A=∠D，………………………………………………………………………………4

??A??D?在△ABC和△DEF中，??B??E，

?AC?DF?∴△ABC≌△DEF（AAS）．………………………………………………………………5

5、

-----------1分 (1) 3 (2) 连接AO、BO，如图②，

由题意可得：∠EOF=∠AOB，则∠EOA=∠FOB． 在△EOA和△FOB中，

??EAO??FBO? ?OA?OB??EOA??FOB?∴△EOA≌△FOB．

-----------2分 ∴S四边形AEOF=S△OAB．

过点O作ON⊥AB，垂足为N，如图， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠CAB=∠CBA=60°．

∵∠CAB和∠CBA的平分线交于点O ∴∠OAB=∠OBA=30°．

A∴OB=OA=2．

∵ON⊥AB，

-----------5分 ∴AN=NB，ON=1． N E-----------3分 ∴AN= O∴AB=2AN=2．

FB∴S△OAB=AB?ON=．

S四边形AEOF= -----------4分 (3) S面积=4sin

cos

．

-----------5分

C6、（1）1

（2）证明：延长PD至点F，使EF＝PE，连接BF． ?????????3分

∵BE＝AE，∠BEF＝∠AEP， ∴△BEF≌△AEP， ∴∠APE＝∠F，BF＝PA． 又∵∠BDF＝∠CDP，

∴△BDF∽△CDP． ?????????4分 PBFBD∴＝， PCCDPABD∴＝， PCCD

EBDF11

AC即PA·CD＝PC·BD． ?????????5分

124?ab?（b?a）?c2，.…….3分 7、

22ab?b2?2ab?a2?c2，.……. 4分 a2?b2?c2．.……. 5分

8、(本小题满分5分)

解：BC＋DE的值为34．……………………………………………………2分

解决问题：

连接AE，CE，如图．

∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB // DC．

∵四边形ABEF是矩形， ∴AB // FE，BF＝AE． ∴DC //FE．

AGDBCFE∴四边形DCEF是平行四边形． ………………………………………………3分 ∴ CE // DF． ∵AC＝BF＝DF， ∴AC＝AE＝CE．

∴△ACE是等边三角形．…………………………………………………………4分 ∴∠ACE＝60°． ∵CE∥DF，

∴∠AGF＝∠ACE＝60°．…………………………………………………………5分

9、解：（1）△BDE是等腰三角形. ?????????1分.

（2）BC的长为5.8.????????????2分. ∵△ABC中，AB=AC, ∠A=20°， ∴∠ABC=∠C= 80°，∵BD平分∠B. ∴∠1=∠2= 40°，∠BDC= 60°，.

在BA边上取点E，使BE=BC=2，连接DE，. ?????????3分 则△DEB≌△DBC，∴∠BED=∠C= 80°， ∴∠4=60°，∴∠3=60°，

在DA边上取点F，使DF=DB，连接FE，??????????4分

12

AF

653DCE41B2则△BDE≌△FDE，∴∠5=∠1= 40°，BE=EF=2, ∵∠A=20°，∴∠6=20°，∴AF=EF=2,

∵BD=DF=2.3, ∴AD = BD+BC=4.3.??????????5分.

10、

（1）△ADC≌△A′DC；????????????????????????1（2）BC=AC+AD.??????????????????????????2解决问题

如图，在AB上截取AE =AD，连接CE. ∵ AC平分∠BAD， ∴ ∠DAC=∠EAC. 又 ∵AC=AC， CD∴ △ADC≌△AEC. ?????????3分 ∴ AE=AD=9，CE=CD=10=BC． 过点C作CF⊥AB于点F．

ABEF∴ EF=BF．

设EF=BF=x．

在Rt△CFB中，∠CFB=90°，由勾股定理得CF2=CB2－BF2=102－x2． 在Rt△CFA中，∠CFA=90°，由勾股定理得CF2=AC2－AF2=172－(9+x)2． ∴ 102－x2=172－(9+x)2，

解得x=6．?????????????????????????????4∴ AB=AE+EF+FB=9+6+6=21． ∴ AB的长为21．?????????????????????????5

分

分

分 分

11、解：AD的长为6． ………………………………...1分

如图，延长AB与DC相交于点E． ∵?ABC??BCD?135?， ∴?EBC??ECB?45?．

∴BE?CE，?E?90?． …………………. ………………….2分 设BE?CE?x，则BC?2x，AE?9?x，DE?3?x．

EBC在Rt△ADE中，?E?90?，

1， 2DE1?． ∴AAE23?x1?．……………. .3分 即

9?x2∴x?3．

经检验x?3是所列方程的解，且符合题意．

∵tanA?D ∴BC?32，AE?12，DE?6． ……………. ………..4分 ∴AD?65． ……………………………………………… ...5分

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12、（1）

ABMpCDMGp…………………………..(1分)

AB1?………………………………………………..(2分) AG2

（2）根据题意得，?C'AB'??CAB?36?，AB’= n AB

?CAC'??

∵四边形ABB'C'为平行四边形，

∴B'C'?AB?AC?1，AC'∥BB'， ∴?C'AB'??AB'B?36?，， ∵AB=AC，∠BAC=36°， ∴?ABC??ACB?72?，

∴???CAC'??B'AB?72?，……………………………..(3分) ∵∠BAC=36°，

A∴?B'AC?36?，

∴?B'AC??AB'C?36?， ∴AC?B'C?1

∵?B??B，?BAC??AB'B?36?，

BC∴△ABC∽△B'BA， 图②ABBC?∴， BB'AB1?5∴解得BB'?(舍负)， …………………..(4分)

2∵n?1，

1?5∴n?. ………………………………………..(5分)

2C'B' 13、解：45． ???????????????????1分

画图见图6． ???????????????3分 45．??????????????????? 5分

图6

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