高中数学联赛专题-- 清北学堂 2012年五一数学集训七数列、不等式

在2011年全国高中数学联合竞赛一试试题（A）卷中，涉及到的内容比较全面，但是函数、数列和解析几何的知识所占分值分别为24分、20分和28分，分值比例比较大；二试中的4个题目分别涉及到了平面几何的圆内接四边形、多项式、组合及数论的知识，由此设计以下导学资料（有些题目为奥数专家提供），希望能给同学们启发和帮助。

一、数列导学

知识点：

（1）等差数列

an?a1??n?1?d?am??n?m?dd为公差.

Sn?n?an?a1?n?n?1??na1?d 22?an?等差?an+1-an=常数

?2an+1?an?an?2 ?an?kn?b

?Sn?An2?Bn?C

（2）等比数列

an?a1qn?1?amqn?m

?na1,q?1? Sn??a1(1?qn)

,q?1?1?q? ?an?等比?an+1=常数?an+12?anan?（?an?Aqn 2an?0）an?An,q?1 ?Sn??nA(q-1),q?1??S1,n?1 Sn与an关系：an??

?Sn?Sn?1,n?2 an?a1???ak?ak?1?

k?2n f(x)?f(a)??f??(t)dt a（3）无穷递缩等比数列各项和公式： S=?an?limSn?n?1n????xa1(0?|q|?1). 1?q模拟真题：

题1： 已知数列?an?满足a1?1,an?1?n?2Sn,n?1.证明：Sn?1?4an,n?1. n解析：(n?2)Sn?nan?1?n(Sn?1?Sn)

Sn?1S?S??2?n 故?n?是公比为2的等比数列 n?1n?n?Sn?1S?4?n?1 n?1n?1n?1Sn?1?4an,n?2 Sn?1?4n?1

n=1时, a2?3,S1?3,S2?a1?a2?4?4a1 证毕.

n?n?13题2：正数列?an?满足: ?ai???ai?.n?1.求证:?<3.

i?1?i?1?k?1akkn2解析：an=n,n?k n=k+1 ?ai3?ak?13i?1n?k?k?1?????ak?1?.

2??2 ak?13?k?k?1?ak?1?ak?12 ak?12?k?k?1??ak?1

?ak?1?k?1??ak?1?k??0?ak?1??k?1? Sn??ai,?ai3?Sn2

i?1i?1nn ?ai3?Sn?12

i?1n?1 ak?13?Sn?12?Sn2??Sn?1?Sn??Sn?1?Sn?

??2Sn?an?1?an?1 an?12?an?1?2Sn an2?an?2Sn?1

?an?1?an??an?1?an??an?1?an ?an?1?an?1 又a1?1 ?an?n ?k?1n1k3?3

1k32?111? k?1k?1?2k?12?k32?k?1?k?1?

?4k3??k2?1?2k?2k2?1

?k3?k??k2?1?k2?1 成立

???k?1n1k32?1??k?2n11 ?k?1k?1 ?1?1?2112?2??3 ??22nn?1题3：给定正整数n和正实数M，对于满足条件a12?an?12?M的所有等差数列

a1,,a2???a2n?1，求S?an?1?an?2????a2n?1的最大值

解析：a1?rcos?,an?1?rsin?,0?r?M d?an?1?anr?cos??sin???

nnn(n?1)d 2 S?(n?1)an?1?r(n?1)?3sin??cos?? 2r(n?1)110sin?????,??arctan(?) ?23 ? ?10M?n?1? 2题4：a1?1，an?an?11.求证：0?a10?2?10370 ?2an?1解析： an?2 成立

bn?an?2 =

12(an?1?)?2 2an?12an?22an?1?2 ??1

2an?122bnbn?1 ???1

2an?122b2?31?2? 2102b21 b3??22210?22b4?1 4210(22)?22b10?1102(22)2(22)2???(22)876103 （2?10）

=

11 ?10256(22)25510114?2380?23822 ?11 ?3702562551010(22)二、不等式导学

知识点：

(1)柯西不等式：若ai∈R,bi∈R,i=1, 2, ....., n，则(?a)(?b)?(?aibi)2.

2i2ii?1i?1i?1nnn等号当且仅当存在λ∈R，使得对任意i=1, 2, ....., n, ai=?bi, 变式1：若ai∈R,bi∈R,i=1, 2, ....., n，则(?i?1na)?bi2i(?ai)2(?bi)2i?1i?1nn.

等号成立条件为i=1, 2, ....., n, ai=?bi。

变式2：设ai, bi同号且不为0，(i=1, 2, ....., n)，则?i?1nai?bi(?ai)2n?abii?1i?1n.

i等号成立当且仅当b1=b2=.....=bn.

（2）平均值不等式：设a1, a2,.....,an∈R+，记Hn=n111????a1a2an, Gn=

22a1?a2???ana12?a2???ana1a2?an, An=， ,Qn?nn则Hn?Gn?An?Qn. 即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均。 其中等号成立的条件均为a1=a2=…=an.

（3）排序不等式：若两组实数a1?a2?.....?an且b1?b2?.....?bn，则对于b1, b2, ....., bn的任意排列bi,bi,?,bi， n12n有a1bn+a2bn-1+…+anb1≤a1bi?a2bi???anbi≤a1b1+a2b2+.....+anbn

12n（4）凸函数f?x?的根x1，x2，且f?x?单调可得琴生不等式

f?x1??f?x2??2?x?x?f?12? ?2?模拟真题：

1(x?1)2x?1??题1：对于所有实数x?1.证明：2x?1?x?1 解析：1x?1?x?1?x?1 2x2

x?x?2x?1?x?tan2x

(x?1)2?x?1?x?1?2x?1由x?1?x?1 (x?1)21??(x?1)x?1 x?1?x?121(x?1)2111所以有：x?1??x?1?(x?1)x?1?xx?1 2x?1?x?122又因为x?x?2?2x?1 所以有：1xx2x?1?12x?1?x?x?1 x?1?x?1?x

所以1x22x?1?(x?1)2x?1?x?1?x?x?2

题2：设a,b,c都是正实数，证明：abb?c?c?a?ca?b?32 解析：令a?b?c?s as?a?1?ss?a 同理：bs?b?1?ss?b cs?c?1?ss?c

ab?c?bc?a?ca?b?32 令a?1m,b?1n,c?1p 则有：

npmn?pm?pmnp?nm?mnpm?pn?32

1113m2n?pm2?n2p?n2m?p2m?p2n?2mnp

类推：

aa?b?ba?b?1 2?abc3???? b?cc?aa?b2abcd4????

b?c?dc?a?da?b?da?b?c3? 结论：（1） xi?R，?i?1nxin ?s?xin?11?a?b?c? 2 （2）海伦公式： s?相关结论：s?x?y?z

s?a?z

rA11?tan???zzzs?aabc???3 s?as?bs?ctanrA2

aAbBcCtan?tan?tan?rk z2x2y2ABC?btan?ctan?rk 222ABC2ssincatan?btan?ctan?k

222a?b?catan题3：设x1?x2?x3?....?xn?0，且满足

x1?x2?x3?....?xn?400，x12?x22?x32?....?xn2?104 求证：x1?x2?10 解析：若证x1?x2?10

只需证x1?x2?2x1x2?x1?x2?2x22?x1?3x2?100 因为x12?x22?x32?....?xn2?104 且xi2?xi....x2i?2 ?x12?x2?x2?....?xn? 又因为x2?....?xn?400?x1

则原式?x12?x2?400?x1??x1?x1?x2??400x2

100?x1?x2??400x2?104 ?x1?3x2?100成立 即x1?x2?10成立

题4：已知a,b,c?R*,a2?b2?c2?2abc?1，求证：ab?bc?ca?1?2abc 解析：a2?b2?c2?2abc?1

2a2?b2?c2?3(abc)3 23(abc)3?2abc?1 2f(t)?3t3?2t?1

f(18)?0 abc?18 必有两个数，不大于12，或不小于a,b?12或 a,b?12

(a?12)(b?12)?0

ab?112(a?b)?4?0

2(a?b)?4ab?1

2ac?2bc?4abc?c 2ab?1?c

a2?b2?c2?2abc?1 2ab?c2?2abc?1

2ab(1?c)?1?c2?(1?c)(1?c)

2ab?1?c

a2?b2?c2?2abc?1?3(abc)3 2ab?c2?2abc?1

s(a2?b2?c2)?kabc?1

2ab?2bc?2ca?4abc?1

212，

s(a2?b2?c2)?2ssabc?1 ab?bc?ca?2sabc?1 2ss?1 成立

1s?不成立

4三、多项式除法导学

知识点：

1． 带余除法

定理1 （带余除法定理）设f?x?与g?x?是多项式，且g?x??0，那么存在惟一的一对多项式q?x?与r?x?，使得

f?x??g?x?q?x??r?x? ①

其中r?x??0或者degr?x??degg?x?。q?x?叫做以g?x?除f?x?所得的商，r?x?叫做余式。

定义1：在①式中，当r?x??0时，称g?x?整除f?x?，记为g?x?|f?x?，也称g?x?是f?x?的因式，或f?x?是g?x?的倍式。若r?x??0，则称g?x?不整除f?x?。 定理2 （余数定理）多项式f?x?除以x?a所得余数为f?a?。 推论1 ?x?a?|?f?x??f?a??

推论2 若f?x??Z?x?,a与b是不同的整数,则?a?b?|?f?a??f?b??. 由余数定理还可以得到以下重要定理:

定理3 (因式定理)多项式f?x?有因式x?a的充要条件是f?a??0. 多项式整除的基本性质:

(1)若f?x?|g?x?,g?x?|h?x?,则f?x?|h?x? (2)若h?x?|f?x?,h?x?|g?x?,则h?x?|??f?x??g?x??? (3)若h?x?|f?x?,则h?x?|f?x??g?x?,g?x?为任意多项式.

(4)若f?x?|g?x?,g?x?|f?x?,则f?x??c?g?x?,其中c是不等于零的常数. 2． 多项式的分解

定义2:一个次数大于零的多项式f?x?,如果在数域F内除形如?和?f?x?(?,?为非零数)的因式(称为f?x?的平凡因式)外,无其它因式,则称f?x?在F内不可约.若f?x?在F内除平凡因式外,还有其它因式,则称f?x?在F内可约. 不可约多项式的一些重要性质:

(1)如果多项式p?x?不可约,而f?x?是任一多项式,那么,或者?p?x?,f?x???1,或者p?x?|f?x?.

(2)如果多项式f?x?与g?x?的乘积能被不可约多项式p?x?整除,那么f?x?与g?x?中至少有一个被p?x?整除.

定理4 数域F上的次数大于零的多项式f?x?,如果不计零次因式的差异,那么

f?x?可以惟一地分解为以下形式:

k2f?x??ap1k1?x?p2?x??ptkt?x? ②

其中a是f?x?的最高次项的系数,p1?x?,p2?x?,?pt?x?是首项系数为1的互不相等的不可约多项式,并且pi?x??i?1,2,?,t?是f?x?的ki重因式. 【注】其中数域F是指Q,或R,或C. 关于整系数多项式的分解问题.

定义3:设整系数多项式f?x???ajxj各项系数的最大公约数等于1,即

j?0m?a0,a1,a2,?,am??1;则称f?x?为本原多项式.

引理 设f?x?,g?x?和h?x?都是整系数多项式并且h?x??f?x??g?x?,如果质数

p整除多项式h?x?的所有系数,那么至少有f?x?与g?x?这两个多项式之一,其所

有的系数也都能被p整除.

推论 本原多项式的乘积仍然是一个本原多项式.

定理5 如果整系数多项式f?x?在有理系数范围内可约,那么,它在整系数范围内也可约.

以上论断的等价陈述是:如果整系数多项式f?x?在整系数范围内不可约,那么它

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