基于变式题组的高考有效复习策略

基于变式题组的高考有效复习策略

西安市育才中学 刘根祥

引言：高三数学复习课是高三数学教学中非常重要的一种课型，它不仅可以帮助学生系统地加深对旧知识的回顾，使学生对他们所学习的知识进行查漏补缺，梳理并形成一个前后相关的知识网络，而且可以在巩固基础知识的基础上发展学生能力。下面，我就结合自己的教学实践，谈谈我校在高三数学教学中如何引领学生高效数学复习，供大家参考。

概念界定：所谓题组就是把两道或两道以上的相关题目组成一组，结成对子。这里的相关是指题目条件相近或结论相似，或形同实异、或易混错。所谓变式题组教学是通过改变条件或结论来揭示某一类数学问题本质的教学方法。高三复习中,采用变式题组教学,从数学问题的内容的全面性、循序渐进性、思维辩证性揭示数学本质。不仅可以避免“题海战术”,还能激发学生学习的兴趣,培养学生分析、归纳解决问题的能力,培养学生创新意识和辩证思维,加深对数学问题本质的认识。变式题组教学是一种有效教学的教学方式。 1.问题的提出

《国家普通高中数学新课程标准》指出:“在数学教学中,学习形式化的表达是一项基本要求,但是不能只限于形式化的表达,要强调对数学本质的认识,否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里。数学的现代发展也表明,全盘形式化是不可能的。因此,高中数学课程应该返璞归真,努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质。数学课程要讲逻辑推理,更要讲道理,通过典型例子的分析和学生自主探索活动,使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程,体会蕴涵在其中的思想方法,追寻数学发展的历史足迹,把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态。”

高三复习中,学生学习任务繁重,而高三复习“题海战术”盛行,通过“题海”覆盖所学知识。由于缺乏新信息刺激,学生思维难以兴奋,成了解题的机器,发散思维受到了抑制,好奇心、想象力和创新能力逐渐削弱,复习效果可想而知。从高三模拟考试的情况来看,很多学生基本知识网络掌握不牢,不会归纳总结,不会触类旁通,为了克服以上弊端,在新课程理念下,高三复习笔者尝试了变式题组教学。通过变式题组教学,不仅可以帮助学生构建知识网络,加深对数学问题本质的

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认识,而且可以进一步提高学生分析、归纳解决问题的能力,培养学生创新意识和辩证思维。

2.变式题组教学概述

变式题组教学就是通过改变条件或结论而形成的一系列小题构成一个题组的教学方式,通过题组中数学问题的探究和解决,学习巩固知识,解决教学重难点,并通过变式问题的对比,揭示数学问题本质规律,培养学生辩证思维能力,提高提出问题、分析问题和解决问题的能力。 变式题组可分为单一型题组和并列型题组。

①单一型题组是指一组题目中只重点考察一个知识点或一个数学方法的题组。 例如，函数单调性就可设计一组题目，既要注意题目形成梯度，又要注意题目的典型意义。

,1-原题：若在区间y=x2-ax-a2在区间(-∞围是多少？

3)是减函数，则a的取值范

,1-3)上是减函数，则a的取值范围变式1：若函数y=x2-ax-a2在(-∞是多少？

变式2、若函数y=log1(x2-ax-a2)在(-∞,1-3)上是增函数，则a的取值范

2围是多少？

变式3、若函数y=log1(x2-ax-a2)在(-∞,1-3)上是增函数，且函数的值域

2为R，则a的取值范围是多少？

（-∞，（-∞，解：?函数y=x2-ax-a2的减区间为,1-3)?2]，∴(-∞2]

∴[2-23， 。 +∞）变式1、设u=x2-ax-a2，则u在(-∞且在(-∞u≥0 ,1-3)为减函数，,1-3)，所以有1-3≤a2且u（1-3）≥0，∴a的取值范围是[(3-1)(1-5)2aa,(3-1)(1+5)2]

变式2：设u=x2-ax-a2，则u在为减函数，且在(-∞,1-3]，u≥0。 所以有1-3≤a2且u（1-3）≥0，∴a的取值范围是[(3-1)(1-5)2,(3-1)(1+5)2]

2

变式3：设u=x2-ax-a2，则u在(-∞,1-3)减区间，u在(-∞,1-3)取到一切正实数1-3≤a2，u(1-3)=0，所以a=(3-1)(1-5)2或

(3-1)(1+5)2

②并列型题组是指一个题目或一组题目中，考察几个知识点或几个数学方法的题组。

例如：三棱锥S--ABC顶点在底面的射影问题，可设计如下题组： 1.三角形ABC的内心、外心、垂心的定义?

2.在三棱锥S--ABC中，设顶点S在底面△ABC内的射影是O，求证： (1)若SA=SB=SC，则O是△ABC的外心。

(2)若三棱锥S--ABC的三条斜高相等，则O是△ABC的内心。 (3)若三棱锥S--ABC的两组对棱互相垂直，则O是△ABC的垂心。 3.在三棱锥S--ABC中，设顶点S在底面△ABC内的射影是O，求证： (1)若三棱锥S--ABC的三条侧棱与底面所成角相等，则O是△ABC的外心。 (2)若三棱锥S--ABC的三个侧面与底面所成角相等，则O是△ABC的内心。 (3)若三棱锥S--ABC的三个侧面两两互相垂直，则O是△ABC的垂心。 3.变式题组教学实践案例研究

3.1利用变式题组的全面性提高复习的效率

高三数学复习过程中,有些数学内容考查方面比较广泛,学生往往通过练习掌握了一些知识,但考试时变式较多,由于学生知识建构不全面,学生解题不能触类旁通的现象十分普遍。因此,教师要为学生全面组织好这方面的资料,通过变式题组教学,帮助学生进行知识建构,节省复习时间,提高复习效率。 案例1：在三角函数的恒等变换与性质复习中，教师通过总结归纳，发现常见的有关考查三角函数恒等变换及性质的题目，可以总结为以下五类，这样通过设计如下变式题组，让学生探寻解决这类问题的规律，从而逐类旁通，提高了复习效率。

讨论下列函数的性质：

3

案例2：关于函数定义域及值域的经典变式范例

原题：f(x)=mx2+8x+4 的定义域为R，求m的取值范围 解：由题意mx2+8x+4≥0在R上恒成立

?m?0且Δ?0，得m?4

变式1：f(x)=log3mx2+8x+4的定义域为R，求m的取值范围 解：由题意mx2+8x+4>0在R上恒成立

?m?0且Δ<0，得m>4

变式2：f(x)=log3(mx2+8x+4)的值域为R，求m的取值范围 解：令t=mx2+8x+4，则要求t能取到所有大于0的实数，

? 当m?0时，t能取到所有大于0的实数

当m?0时，m>0且Δ≥0?0?m≤4

?0?m?4

mx2+8x+n变式3：f(x)=log3的定义域为R,值域为[0,2]，求m,n的值 2x+1mx2+8x+n解：由题意，令y=∈[1,9]，得（y-m）x2-8x?y-n?0 2x+1y?m时，Δ≥0?y2-(m?n)y?mn-16?0- ? 1和9时y2-(m+n)y+mn-16=0的两个根

? m=n=5 ? 当y=m时，x=n-m=0 ?x?R，也符合题意 84

?m=n=5

3.2利用变式题组的循序渐进性提高复习的效果

在很多数学问题中,要解决的问题离给的已知条件相差甚远,对水平一般的学生来说,解决这类问题不是很容易,难免会产生畏难心理。作为老师,在平时的教学中,应该对这类数学问题重新进行包装,或者为这些问题搭一些台阶或者桥梁,使学生能够跳一跳够得着,摸得到。“跳一跳,能摘到桃子“,这样才有兴趣继续去解决数学问题,从而提高复习的效果。 对于立体几何以及解析几何的解答题,水平一般的学生常常出现畏难情绪。作为教师,一定要多帮助学生把原题拆分成多步循序渐进的小题,通过逐步解答小题,领悟解题方法。

案例4：利用基本不等式求最值问题复习中，可以设置渐进式变式题组，让学生在由易到难，掌握解决这类题的方法。

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（1） 已知x>0，y>0，且2x＋y＝1，则＋的最小值是_________．

xy12?12?

解析 因为＋＝(2x＋y)?＋?

xy?xy?

y4x＝4＋＋≥4＋2xyy4x11

·＝8，等号当且仅当y＝，x＝时成立． xy24

（2）(2012·浙江)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是( )

2428

A. B. C．5 D．6 55

1?13?

解析 ∵x>0，y>0，由x＋3y＝5xy得?＋?＝1.

5?yx?

1?13?

∴3x＋4y＝(3x＋4y)?＋?

5?yx?

12y?1?3x＝?＋4＋9＋?

x?5?y131?3x12y?1313x12y＝＋?＋?≥＋×2·

x?5555?yyx＝5(当且仅当x＝2y时取等号)，∴3x＋4y的最小值为5.

变式1已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是

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A．3 B．4 C. D.

22 解析 (1)依题意，得(x＋1)(2y＋1)＝9，

∴(x＋1)＋(2y＋1)≥2(x?1)(2y?1)＝6，

即x＋2y≥4.

( )

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