归纳与技巧：等比数列及其前n项和（含解析）

归纳与技巧：等比数列及其前n项和

基础知识归纳

1．等比数列的有关概念 (1)定义：

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式an＋1为＝q(n∈N*，q为非零常数)． an

(2)等比中项：

如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项?a，G，b成等比数列?G2＝ab.

2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1qn1. －

na，q＝1，??1(2)前n项和公式：Sn＝?a1?1－qn?a1－anq

＝，q≠1.?1－q?1－q

3．等比数列{an}的常用性质

(1)在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a2r. 特别地，a1an＝a2an－1＝a3an－2＝?.

(2)在公比为q的等比数列{an}中，数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，?仍是等比数列，公比为qk；

数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，?仍是等比数列(此时q≠－1)； an＝amqn

－m

.

基础题必做

1．(教材习题改编)等比数列{an}中，a4＝4，则a2·a6等于( ) A．4 C．16

B．8 D．32

解析：选C a2·a6＝a24＝16.

2．已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝( )

?3?n A．4·?2?

?2?n B．4·?3?

?3?n－1 C．4·?2?

?2?n－1 D．4·?3?解析：选C (a＋1)2＝(a－1)(a＋4)?a＝5， 3?3?n－1. a1＝4，q＝，故an＝4·?2?2

3．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7＝( ) A．64 C．128

B．81 D．243

a2＋a3

解析：选A q＝＝2，

a1＋a2

故a1＋a1q＝3?a1＝1，a7＝1×271＝64.

－

1

4． 在等比数列{an}中，若a1＝，a＝4，则公比q＝________；a1＋a2＋?＋an＝________.

241

?1－2n?211－

解析：a4＝a1q3，得4＝q3，解得q＝2，a1＋a2＋?＋an＝＝2n1－. 221－21－

答案：2 2n1－ 2

5． 等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋3S2＝0，则公比q＝________. 解析：∵S3＋3S2＝0，∴a1＋a2＋a3＋3(a1＋a2)＝0， ∴a1(4＋4q＋q2)＝0. ∵a1≠0，∴q＝－2. 答案：－2

解题方法归纳

1.等比数列的特征

(1)从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数． (2)由an＋1＝qan，q≠0并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0. 2．等比数列的前n项和Sn

(1)等比数列的前n项和Sn是用错位相减法求得的，注意这种思想方法在数列求和中的运用．

(2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形导致解题失误．

等比数列的判定与证明

典题导入

[例1] 已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＋Sn＝n. (1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式．

[自主解答] (1)证明：∵an＋Sn＝n，① ∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1.② ②－①得an＋1－an＋an＋1＝1，

∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1， ∴

an＋1－11

＝. an－12

∵首项c1＝a1－1，又a1＋a1＝1， 11∴a1＝，c1＝－.

22

11

又cn＝an－1，故{cn}是以－为首项，为公比的等比数列．

221?1?n－1

?1?n， －?·(2)由(1)可知cn＝?＝－?2??2??2?1?n

∴an＝cn＋1＝1－??2?.

在本例条件下，若数列{bn}满足b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，证明{bn}是等比数列． 1?n证明：∵由(2)知an＝1－??2?， ∴当n≥2时，bn＝an－an－1 1?n??1?n－1?＝1－??2?－?1－?2?? 1?n－1?1?n?1?n＝??2?－?2?＝?2?.

1?n1

又b1＝a1＝也符合上式，∴bn＝??2?. 2∵

bn＋11

＝，∴数列{bn}是等比数列． bn2

解题方法归纳

等比数列的判定方法

an＋1an(1)定义法：若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，

anan－1

则{an}是等比数列．

(2)等比中项法：若数列{an}中，an≠0且a2an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列． n＋1＝an·(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．

以题试法

1． 已知函数f(x)＝logax，且所有项为正数的无穷数列{an}满足logaan＋1－logaan＝2，则数列{an}( )

A．一定是等比数列 B．一定是等差数列

C．既是等差数列又是等比数列 D．既不是等差数列又不是等比数列

an＋1an＋12

解析：选A 由logaan＋1－logaan＝2，得loga＝2＝logaa2，故＝a.又a>0且a≠1，

anan

所以数列{an}为等比数列．

等比数列的基本运算

典题导入

[例2] 设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2＝6,6a1＋a3＝30，求an和Sn. [自主解答] 设{an}的公比为q，

?a1q＝6，?a1＝3，?a1＝2，???

??由题设得?解得或 2

???6a＋aq＝30.q＝2q＝3.?1??1

当a1＝3，q＝2时，an＝3×2n1，Sn＝3×(2n－1)；

－

当a1＝2，q＝3时，an＝2×3n1，Sn＝3n－1.

－

解题方法归纳

1．等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．

2．在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比q的情况进行分类讨论，切不可忽视q的取值而盲目用求和公式．

以题试法

2．已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a1＝2，且a2，a4，a8成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{3an}的前n项和．

解：(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0)． 因为a2，a4，a8成等比数列， 所以(2＋3d)2＝(2＋d)·(2＋7d)， 解得d＝2.

所以an＝2n(n∈N*)．

(2)由(1)知3an＝32n，设数列{3an}的前n项和为Sn， 9?1－9n?9n则Sn＝3＋3＋?＋3＝＝(9－1)．

81－9

2

4

2n

等比数列的性质

典题导入

[例3] (1) 在由正数组成的等比数列{an}中，若a3a4a5＝3π，则sin(log3a1＋log3a2＋?＋log3a7)的值为( )

1

A. 2C．1

B.3 2

3 2

D．－(2)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6∶S3＝1∶2，则S9∶S3等于( ) A．1∶2 C．3∶4

B．2∶3 D．1∶3

π3

[自主解答] (1)因为a3a4a5＝3π＝a4，所以a4＝3. 3log3a1＋log3a2＋?＋log3a7 ＝log3(a1a2?a7)＝log3a74 π7π＝7log33＝，

33

故sin(log3a1＋log3a2＋?＋log3a7)＝

3. 2

(2)由等比数列的性质：S3，S6－S3，S9－S6仍成等比数列，于是(S6－S3)2＝S3·(S9－S6)， 1S93将S6＝S3代入得＝. 2S34[答案] (1)B (2)C

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