归纳与技巧:等比数列及其前n项和(含解析)

更新时间:2023-09-12 04:05:01 阅读量: 教育文库 文档下载

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归纳与技巧:等比数列及其前n项和

基础知识归纳

1.等比数列的有关概念 (1)定义:

如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零),那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示,定义的表达式an+1为=q(n∈N*,q为非零常数). an

(2)等比中项:

如果a、G、b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.即:G是a与b的等比中项?a,G,b成等比数列?G2=ab.

2.等比数列的有关公式 (1)通项公式:an=a1qn1. -

na,q=1,??1(2)前n项和公式:Sn=?a1?1-qn?a1-anq

=,q≠1.?1-q?1-q

3.等比数列{an}的常用性质

(1)在等比数列{an}中,若m+n=p+q=2r(m,n,p,q,r∈N*),则am·an=ap·aq=a2r. 特别地,a1an=a2an-1=a3an-2=?.

(2)在公比为q的等比数列{an}中,数列am,am+k,am+2k,am+3k,?仍是等比数列,公比为qk;

数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,?仍是等比数列(此时q≠-1); an=amqn

-m

.

基础题必做

1.(教材习题改编)等比数列{an}中,a4=4,则a2·a6等于( ) A.4 C.16

B.8 D.32

解析:选C a2·a6=a24=16.

2.已知等比数列{an}的前三项依次为a-1,a+1,a+4,则an=( )

?3?n A.4·?2?

?2?n B.4·?3?

?3?n-1 C.4·?2?

?2?n-1 D.4·?3?解析:选C (a+1)2=(a-1)(a+4)?a=5, 3?3?n-1. a1=4,q=,故an=4·?2?2

3.已知等比数列{an}满足a1+a2=3,a2+a3=6,则a7=( ) A.64 C.128

B.81 D.243

a2+a3

解析:选A q==2,

a1+a2

故a1+a1q=3?a1=1,a7=1×271=64.

1

4. 在等比数列{an}中,若a1=,a=4,则公比q=________;a1+a2+?+an=________.

241

?1-2n?211-

解析:a4=a1q3,得4=q3,解得q=2,a1+a2+?+an==2n1-. 221-21-

答案:2 2n1- 2

5. 等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3+3S2=0,则公比q=________. 解析:∵S3+3S2=0,∴a1+a2+a3+3(a1+a2)=0, ∴a1(4+4q+q2)=0. ∵a1≠0,∴q=-2. 答案:-2

解题方法归纳

1.等比数列的特征

(1)从等比数列的定义看,等比数列的任意项都是非零的,公比q也是非零常数. (2)由an+1=qan,q≠0并不能立即断言{an}为等比数列,还要验证a1≠0. 2.等比数列的前n项和Sn

(1)等比数列的前n项和Sn是用错位相减法求得的,注意这种思想方法在数列求和中的运用.

(2)在运用等比数列的前n项和公式时,必须注意对q=1与q≠1分类讨论,防止因忽略q=1这一特殊情形导致解题失误.

等比数列的判定与证明

典题导入

[例1] 已知数列{an}的前n项和为Sn,且an+Sn=n. (1)设cn=an-1,求证:{cn}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式.

[自主解答] (1)证明:∵an+Sn=n,① ∴an+1+Sn+1=n+1.② ②-①得an+1-an+an+1=1,

∴2an+1=an+1,∴2(an+1-1)=an-1, ∴

an+1-11

=. an-12

∵首项c1=a1-1,又a1+a1=1, 11∴a1=,c1=-.

22

11

又cn=an-1,故{cn}是以-为首项,为公比的等比数列.

221?1?n-1

?1?n, -?·(2)由(1)可知cn=?=-?2??2??2?1?n

∴an=cn+1=1-??2?.

在本例条件下,若数列{bn}满足b1=a1,bn=an-an-1(n≥2),证明{bn}是等比数列. 1?n证明:∵由(2)知an=1-??2?, ∴当n≥2时,bn=an-an-1 1?n??1?n-1?=1-??2?-?1-?2?? 1?n-1?1?n?1?n=??2?-?2?=?2?.

1?n1

又b1=a1=也符合上式,∴bn=??2?. 2∵

bn+11

=,∴数列{bn}是等比数列. bn2

解题方法归纳

等比数列的判定方法

an+1an(1)定义法:若=q(q为非零常数,n∈N*)或=q(q为非零常数且n≥2,n∈N*),

anan-1

则{an}是等比数列.

(2)等比中项法:若数列{an}中,an≠0且a2an+2(n∈N*),则数列{an}是等比数列. n+1=an·(3)通项公式法:若数列通项公式可写成an=c·qn(c,q均是不为0的常数,n∈N*),则{an}是等比数列.

以题试法

1. 已知函数f(x)=logax,且所有项为正数的无穷数列{an}满足logaan+1-logaan=2,则数列{an}( )

A.一定是等比数列 B.一定是等差数列

C.既是等差数列又是等比数列 D.既不是等差数列又不是等比数列

an+1an+12

解析:选A 由logaan+1-logaan=2,得loga=2=logaa2,故=a.又a>0且a≠1,

anan

所以数列{an}为等比数列.

等比数列的基本运算

典题导入

[例2] 设等比数列{an}的前n项和为Sn,已知a2=6,6a1+a3=30,求an和Sn. [自主解答] 设{an}的公比为q,

?a1q=6,?a1=3,?a1=2,???

??由题设得?解得或 2

???6a+aq=30.q=2q=3.?1??1

当a1=3,q=2时,an=3×2n1,Sn=3×(2n-1);

当a1=2,q=3时,an=2×3n1,Sn=3n-1.

解题方法归纳

1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)可迎刃而解.

2.在使用等比数列的前n项和公式时,应根据公比q的情况进行分类讨论,切不可忽视q的取值而盲目用求和公式.

以题试法

2.已知数列{an}是公差不为零的等差数列,a1=2,且a2,a4,a8成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{3an}的前n项和.

解:(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0). 因为a2,a4,a8成等比数列, 所以(2+3d)2=(2+d)·(2+7d), 解得d=2.

所以an=2n(n∈N*).

(2)由(1)知3an=32n,设数列{3an}的前n项和为Sn, 9?1-9n?9n则Sn=3+3+?+3==(9-1).

81-9

2

4

2n

等比数列的性质

典题导入

[例3] (1) 在由正数组成的等比数列{an}中,若a3a4a5=3π,则sin(log3a1+log3a2+?+log3a7)的值为( )

1

A. 2C.1

B.3 2

3 2

D.-(2)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S6∶S3=1∶2,则S9∶S3等于( ) A.1∶2 C.3∶4

B.2∶3 D.1∶3

π3

[自主解答] (1)因为a3a4a5=3π=a4,所以a4=3. 3log3a1+log3a2+?+log3a7 =log3(a1a2?a7)=log3a74 π7π=7log33=,

33

故sin(log3a1+log3a2+?+log3a7)=

3. 2

(2)由等比数列的性质:S3,S6-S3,S9-S6仍成等比数列,于是(S6-S3)2=S3·(S9-S6), 1S93将S6=S3代入得=. 2S34[答案] (1)B (2)C

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