新人教B版高中数学(必修5)3.5.1《二元一次不等式(组)所表示的平

3.5.1 二元一次不等式（组）所表示的平面区域 教案

一、教学目标：

1．知识目标：能做出二元一次不等式（组）所表示平面区域；会把若干直线围成的平面区域用二元一次不等式组表示．

2．能力目标：培养学生用数形结合思想分析问题、解决问题的能力；

3．情感目标：体会数学的应用价值，激发学生的学习兴趣．

二、教学重点、难点： 重点：二元一次不等式（组）表示的平面区域

难点：用二元一次不等式（组）表示平面区域．

三、教学方法与手段

本节课采用探究式教学法，采用启发、引导、探索、讨论交流的方式进行组织教学．并充分利用多媒体辅助教学．

四、教学过程

（一）创设情景，引入新课

本班计划用少于100元的钱购买单价分别为2元和1元的大、小彩球装点元旦晚会的会场，根据需要，大球数不少于10个，小球数不少于20个，请你给出几种不同的购买方案？ 分析：（1）引入问题中的变量：设买大球x 个，买小球y 个；

（2）把文字语言转化为数学符号语言：

（少于100元的钱购买） ? 1002<+y x

（1） （大球数不少于10） ? 10≥x ，N x ∈

（2） （小球数不少于20） ? 20≥y ，N y ∈ （3）

（3）抽象出数学模型： 2x y 100x 10y 20,x,y N +

（二）讲授新课

1．二元一次不等式（组）的定义

（1）二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做二元一次不等式．

（2）二元一次不等式组：有几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组．

注意：二元一次不等式（组）是根据未知数的个数和未知数的最高次数加以区分．

2．探究二元一次不等式（组）的解集表示的图形

回忆：初中一元一次不等式（组）的解集所表示的图形——数轴上的区间 二元一次方程表示的是什么图形？ 直线

思考：在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形？

问题一：平面直角坐标系中不在直线上的点被直线Ax By C 0++=分为几部分？ 两部分 以x y 10+-=为例进行直观说明，引出以下概念：

每部分叫做开半平面，开半平面与直线的并集叫做闭半平面．

以不等式解（x,y ）为坐标的所有点构成的集合，叫做不等式表示的区域或不等式的图象．

如何求二元一次不等式表示的平面区域？

我们先研究具体的二元一次不等式x y 10+->的解集所表示的图形．

问题二：平面内所有的点被直线x y 10+-=分成几类？

如图：在平面直角坐标系内，x y 10+-=表示一条直线．

平面内所有的点被直线分成三类：

第一类：在直线x y 10+-=上的点；

第二类：在直线x y 10+-=左下方的区域内的点；

第三类：在直线x y 10+-=右上方的区域内的点．

问题三：每部分中的点都有哪些特点？

在直线的上方、下方取一些点：

上方：（0，2），（1，3），（0，5），（2，2）

下方：（-1，0），（0，0），（0，-2），（1，-1）

分别把点的坐标代入式子x y 1+-中，会有什么结果？

直线上方的点使的x y 10+->；直线下方的点使的x y 10+-<．

猜想：直线同侧点的坐标是否使式子的值具有相同的符号？

问题四：直线x y 10+-=右上方的平面区域如何表示？左下方的平面区域呢？ x y 10+->；x y 10+-<．

由学生自行归纳总结，不要求证明．

结论：直线Ax By C 0++=把平面直角坐标系中不在直线上的点分为两部分，同一侧

点的坐标使式子Ax By

C ++的值具有相同的符号，并且两侧的点的坐标使式子Ax By C ++的值符号相反，一侧都大于0，一侧都小于0．

问题五：如何判断Ax By C 0++>表示直线Ax By C 0++=哪一侧平面区域？ 根据以上结论，只需要在直线的某一侧取一个特殊点(x 0 , y 0)，从00A B C y ++x 的正负即可判断不等式Ax By C 0++>表示直线哪一侧的平面区域，这种方法称为代点法． 概括为： “直线定界，特殊点定域”．

特别地，当0≠C 时，常把原点作为特殊点，即“直线定界、原点定域”．

问题六： 0≥++C y Ax B 表示的平面区域与0>++C y Ax B 表示的平面区域有何不同？如何体现这种区别？

把直线画成实线以表示区域包含边界直线；

把直线画成虚线以表示区域不包含边界直线． （三）应用新知，练习巩固

例1．画出下面二元一次不等式表示的平面区域：

（1）2x y 30-->； （2）3x 2y 60+-≤．

设计以下几个问题:

(1)不等式表示的区域是在哪条直线的一侧？这条直线是画实线还是虚线？

(2)运用代点法判断平面区域的位置时取哪个特殊点代入较好?

学生完成，师指导

例2．画出下列不等式组表示的平面区域

（1）2x y 10x y 10-+>??+-≥? （2）2x 3y 202y 10x 30-+>??+≥??-≤?

设计以下几个问题：

(1)不等式组表示的平面区域如何确定？(各个不等式表示的平面点集的交集即各个不等式所表示的平面区域的公共部分)

(2)第二小题中加上条件x,y N

∈，又会是什么图形呢？

多媒体演示平面区域 (是上述公共平面区域内的整点)

例3．一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料需要的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨．现有库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨．如果在此基础上进行生产，设x,y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，请列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域．

解：x,y满足的数学关系式为：

4x y10 18x15y66 x0

y0

+≤

?

?+≤

?

?

≥

?

?≥

?

分别画出不等式组中，各不等式表示的区域，然后取交集．如图中的阴影部分．反馈练习：教材89页练习A组2（4）．

（四）课堂小结

知识上：1．二元一次不等式（组）表示平面区域

2．判定方法:“直线定界，特殊点定域”．

小诀窍：如果C≠0,可取(0,0)；如果C＝0,可取(1,0)或(0,1)

思想方法上：数形结合的数学思想方法．

（五）布置作业

教材89页练习B组1、2．

大屏幕展示思考题：（再次回到引例）为下一节课做准备。

我们班计划用少于100元的钱购买单价分别为2元和1元的大、小彩球装点联欢晚会的会场，根据需要，大球数不少于10个，小球数不少于20个，请问最多可以买到几只彩球？如果要求大球与小球的总数不超过48个，哪种方案最省钱？

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