土木工程力学（本）期末复习辅导指导2013.6

第3章静定结构的受力分析

静定结构，从几何组成角度讲，是无多余约束的几何不变体系；从静力特征角度讲，在任意荷载作用下，仅依靠静力平衡条件即可确定结构全部反力和内力，且解答是唯一的。

分析静定结构的基本方法是：

（1）根据结构几何组成特点确定相应计算方法。

（2）应用截面法，利用隔离体平衡条件计算支座反力和杆件内力。 1.内力分析方法

平面杆件的任意截面上的内力一般有三个分量，即轴力FN、剪力FQ和弯矩M。 轴力是截面上应力沿轴线方向的合力，以拉力为正，压力为负。剪力是截面上应力沿垂直杆件轴线方向的合力，以使所作用的隔离体顺时针转动为正，逆时针转动为负。弯矩是截面上应力对截面形心的力矩，在水平杆件中，弯矩以使杆件下部受拉为正，上部受拉为负。

绘制内力图时，轴力图和剪力图的正值可以画在杆件的任意一侧，负值则画在另外一侧，并要求注明正负号；弯矩图应画在杆件受拉一侧，不需注明正负号。内力图的纵坐标应垂直于杆件轴线。

截面法是计算结构指定截面内力的基本方法，其计算步骤可以简单的概括为：截断、代替、平衡。 （1）截断 —— 在所求内力的指定截面处截断，任取一部分作为隔离体。 （2）代替 —— 用相应内力代替该截面的应力之和。 （3）平衡 —— 利用隔离体的平衡条件，确定该截面的内力。 利用截面法可得出指定截面内力如下：

（1）轴力等于该截面一侧所有的外力沿杆件轴线方向的投影代数和。 （2）剪力等于该截面一侧所有外力沿垂直于杆轴方向的投影代数和。 （3）弯矩等于该截面一侧所有外力对截面形心的力矩的代数和。 以上结论是计算静定结构内力的关键和规律，应熟练掌握并应用。 此外，在应用截面法时应注意：

（1）要截断所有约束，代之以约束力，不能遗漏外力（荷载、约束力）。 （2）宜选择外力较少的部分为隔离体，使计算简便。

（3）未知力一般假设为正方向，若计算结果为正，表明实际内力与假设方 向相同；计算结果为负，表明实际内力与假设方向相反。 2.静定梁

结构内力分析过程中经常会用到单跨静定梁，如简支梁、悬臂梁等，在常见荷载作用下的内力图尤其是弯矩图大家要熟练掌握，也可以挑选你认为重要的记在半开卷的考试用纸上。 （1） 简支梁

1

FP M

q

a l

b a

l

b l

Mb lM图

FQ图

FPablFPb l+

_

FPa l（a）

Ma lql 2_

+ ql28_

M l（b）

Ml（c）

ql2简支梁内力图

（2） 悬臂梁

悬臂梁内力图

q

FP

l

M

l

FPlM图

M

ql2 M 2FP FQ图

+ FP

ql

0

+ （a）

（b） （c）

多跨静定梁是由基本部分和附属部分组成的基本附属型静定结构，组成顺序是先固定基本部分，后固定附属部分。作用在附属部分上的荷载将使它的基本部分产生反力和内力，而作用在基本部分上的荷载则对其附属部分没有影响。基本部分、附属部分的判定还与荷载作用的方向无关。 3.桁架

理想桁架中的杆件只在杆端承受结点力的作用，桁架杆只受轴力作用，是二力杆。

2

零杆是桁架在特定荷载作用下出现的，当作用的荷载发生变化时，其内力可能不再为零。计算静定桁架内力时，一般先利用特殊结点及对称性判断零杆，再灵活使用结点法、截面法进行求解。使用结点法计算时必须明确求解顺序，结点上未知力数目不宜超过两个以避免联力求解带来的不便。利用截面法计算时，隔离体未知力数目一般不宜超过三个，特殊情况下不限，对隔离体要灵活使用力矩法或投影法求解。 4.拱

拱是轴线为曲线并且在竖向荷载作用下能够产生水平反力的结构。当竖向荷载确定后，三铰拱的支座反力只与三个铰的相对位置有关，与拱轴线形状无关，而内力则与拱轴线形状有关。调整拱轴线形状可以改善三铰拱的内力状态。当拱结构上所有截面的弯矩为零（此时，所有剪力也为零）而只有轴力时，横截面上的正应力是均匀分布的，材料的力学性能得以最充分的发挥，抗压材料得到最充分的利用。此时的拱结构是最经济的，这样的拱轴线因而称为合理拱轴线。在满跨竖向均布荷载作用下，三铰拱的合理拱轴线是二次抛物线。在不同竖向荷载作用下，三铰平拱的合理拱轴线是不同的。 5.对称性

对称结构在正对称荷载作用下，反力、内力都是对称的。内力图中，弯矩图和轴力图是对称的，剪力图是反对称的。对称结构在反对称荷载作用下，反力、内力都是反对称的。内力图中，弯矩图和轴力图是反对称的，剪力图是对称的。

第4章 静定结构位移计算

工程结构中所使用的材料都是可变形的物体，因此，在荷载等外界因素作用下将会发生变形和位移。所谓变形，是指结构或构件的截面形状发生改变，而位移则是指结构各处位置的移动。

静定结构产生位移的原因除上面提到的荷载作用外，还有一些非荷载因素，如温度变化、支座位移、制造误差、材料收缩等。

荷载作用使静定结构产生内力，进而发生变形，导致结构产生位移。温度变化时，静定结构中的构件能够自由变形，产生位移，而结构并无内力产生。支座位移（移动或转动）时，静定结构既无内力也无变形产生，只发生所谓的刚体位移。

对于确定的位移状态，虚设相应的力状态，利用虚功方程求解位移状态中的未知位移。虚力原理等价于几何方程。

单位荷载法计算结构位移的一般步骤是：

（1）在所求位移的截面位置，沿所求位移的方向施加（虚）单位荷载；

（2）利用平衡条件，计算结构由于单位荷载作用而产生的杆件内力和支座反力；

（3）视给定的具体外因计算杆件微段的变形（或应变和曲率）并确定各支座发生的位移；

（4）将（2）、（3）两步的计算结果代入一般公式，求得指定的位移。计算结果为正，表示所求位移与虚设单位力方向一致；结果为负，则说明所求位移与虚设单位力方向相反。

虚设单位力的施加：

梁和刚架中的位移主要是由弯曲变形引起的，轴向变形和剪切变形影响很小，可以忽略不计，因此位移计算公式可以简化为：

3

（a）

A 1 （b）

A 1 （c）

A

1

求ΔxA 求ΔyA 求φA

（d）

A

1

（e）

A

1

1

求ΔAB

B

求Δx（A-B）

（f）

A

1

B 1

1 B

求φAB

（g）

C 1

（h）

C

1

（i）

C 1

1

L 求?CR 求?C求φCC

梁和刚架中的位移主要是由弯曲变形引起的，轴向变形和剪切变形影响很小，可以忽略不计，因此位

移计算公式可以简化为：

?K???MMPds EI??

桁架的位移计算公式可以简化为：?K图乘法的适用条件：

FNFNPlEA

结构中同时满足下面三个条件的杆段才能使用图乘法进行计算。 （1）杆段的轴线为直线。 （2）杆段的EI为常数。

（3）杆段的 图（荷载作用弯矩图）和 图（虚设力状态弯矩图）中至少有一个是直线图形。 对于满足图乘法使用条件的结构，相应的位移计算公式可以写成

??MMPAyds??0EIEI

使用图乘法的注意事项：

（1）使用图乘法计算位移的杆段必须同时满足三个适用条件。 （2）A和 （3）

y0在杆件轴线同一侧时，图乘结果为正；反之则为负。

y0 必须取自于直线图形。

4

在非荷载因素如温度变化、支座位移和制造误差等的作用下，静定结构不产生反力和内力，但会产生位移。这种位移仍然可以使用单位荷载法及其相应的位移计算一般公式计算。

静定结构的一般性质： （1）静定结构解答的唯一性

结构静定的充分必要条件是该体系几何不变且无多余约束。静定结构的全部反力和内力仅利用静力平衡方程即可确定，且解答是唯一的确定值。这也就是说，一组满足全部静力平衡条件的解答就是静定结构的真实解答。这就是静定结构最基本的性质，称为静定结构解答的唯一性。

（2）静定结构的反力和内力与构件截面刚度无关。

静定结构的全部反力和内力仅利用静力平衡方程即可确定。因此，反力和内力只与荷载以及结构的几何形状和尺寸有关，而与构件所使用的材料（E、G）及其截面形状和尺寸（I、A）无关。

（3 ）非荷载因素如温度变化、支座位移和制造误差等只能使静定结构产生位移，而不能产生反力和内力。

（4） 静定结构局部平衡特性

荷载作用下，如果静定结构中的某一局部就可以与荷载维持平衡，则只有该部分受力，其余部分不受力。

（5）静定结构的荷载等效特性

当静定结构中某一几何不变部分上的荷载作静力等效变换时，仅使该几何不变部分的内力发生变化，其余部分内力不变。

（6）静定结构的构造等效特性

静定结构中的某一几何不变部分作构造等效变换时，其余部分的反力和内力不发生变化。 第5章 力法

静定结构的内力和位移计算是力法计算的基础，因此，在学习力法时，要求能熟练掌握前面章节所介绍的静定结构的分析方法。

1.超静定次数

超静定次数就是超静定结构中所具有的多余约束的数目，或者说多余未知力的数目。

在超静定结构中，由于具有多余约束力，使平衡方程的数目少于未知力的数目，所以仅靠平衡条件无法确定全部反力和内力，还必须考虑位移条件以建立补充方程。一个超静定结构有多少个多余约束，相应的便有多少个多余未知力，也就需要建立同样数目的补充方程，才能求解。因此，用力法计算超静定结构时，首先必须确定多余约束的数目。

确定超静定次数的方法，就是把给定的超静定结构通过去掉多余约束变为静定结构，所去掉的多余约束的数目就是超静定次数。如去掉n个约束，就称原结构是n次超静定。

通过前面几何组成分析的学习我们知道：

(1)去掉一个链杆支座或切断一根链杆的轴向联系，相当于去掉一个约束。 (2)去掉一个铰支座或去掉一个单铰，相当于去掉两个约束。 (3)去掉一个固定支座或切断一根受弯杆，相当于去掉三个约束。

(4)一个固定支座改为固定铰支座或将一个刚性联结改为单铰，相当于去掉一个约束。 2.力法基本原理

力法解题的基本思路是把超静定结构的计算问题转换为静定结构的计算，先解除超静定结构上的多余约束，代之以多余未知力，以多余未知力为基本未知量，利用位移协调条件建立力法基本方程，求出多余未知力，然后进一步求出结构的内力。在超静定结构中，去掉多余约束所得到的静定结构称为力法的基本结构。基本结构在荷载和多余未知力共同作用下的体系称为力法的基本体系。要注意基本结构与基本体系的区别。基本体系转化为原来超静定结构的条件是：基本体系沿多余未知力方向的位移应与原结构相等。 一个n次超静定结构用力法求解时，力法的基本未知量是n个多余未知力X1、X2 ，…，Xn， 力法的基本结构是从原结构中去掉n个多余约束后所得到的静定结构，力法的基本方程是n个多余约束处的n个变形条件—基本体系沿多余未知力方向的位移与原结构中相应的位移相等。在线性变形体系中，当原结构

5

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/yegv.html