2013年全国高中数学联合竞赛试题（一试+加试）（word版 - 含扫描版答案） - 图文

2013年全国高中数学联合竞赛一试试题

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分

1.设集合A=｛2，0，1，3｝，集合B={x|?x?A，2?x2?A}．则集合B中所有元素的和为 x2y210. （本题满分20分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆的方程为2?2?1(a?b?0)，A1、A2分

ab别为椭圆的左、右焦点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上不同于A1和A2的任意一点．若平面中两个点Q、R满足QA1?PA1，QA2?PA2，RF1?PF1，RF2?PF2，试确定线段QR___________

2.在平面直角坐标系xOy中，点A、B在抛物线y2?4x上，满足OA?OB??4，F是抛物线的焦点．则S?OFA?S?OFB=___________

3.在△ABC中，已知sinA?10sinBsinC，cosA?10cosBcosC，则tanA的值为____________ 4.已知正三棱锥P—ABC底面边长为1，高为2，则其内切球半径为___________

5.设a，b为实数，函数f(x)?ax?b满足：对任意x?[0，1]，有|f(x)|?1．则ab的最大值为___________

6.从1，2，…，20中任取5个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率为___________ 7.若实数xy，满足x?4y?2x?y，则x的取值范围是___________ 8.已知数列{an}共有9项，其中a1?a9?1，且对每个i?｛1，2，…，8｝，均有

ai?1a?{2,1,?1}，i2则这样的数列的个数为__________

二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

9. （本题满分16分）给定正数数列{xn}满足Sn?2Sn?1，n=2，3，…，这里Sn?x1?…?xn．证明：存在常数C?0，使得xn?C?2n，n=1，2，…

的长度与b的大小关系，并给出证明．

11.（本题满分20分）设函数f(x)?ax2?b，求所有的正实数对(a,b)，使得对任意实数x，f(xy)?f(x?y)?f(x)f(y)．

y，有

2013年全国高中数学联合竞赛加试试题

一、（本题满分40分）如图，AB是圆ω的一条弦，P为弧AB内一点，E、F为线段AB上两点，满足AE=EF=FB.连接PE、PF并延长，与圆ω分别相交于点C、D．求证：EF·CD=AC·BD． （解题时请将图画在答卷纸上） P A EF B

D

C

二、（本题满分40分）给定正整数u，v．数列{an}定义如下:a1?u?v,对整数m?1，

??a2m?am?u?a2m?1?a

m?v记Sm?a1?a2?…?am(m?1,2,…）．证明：数列{Sn}中有无穷多项是完全平方数．

三、（本题满分50分）一次考试共有m道试题，n个学生参加，其中m，n?2为给定的整数．每道题的得分规则是：若该题恰有x个学生没有答对，则每个答对该题的学生得x分，未答对的学生得零分．每个学生的总分为其m道题的得分总和．将所有学生总分从高到低排列为p1?p2?…?pn，求

p1?pn的最大可能值．

四、（本题满分50分）设n，k为大于1的整数，n?2k．证明：存在2k个不被n整除的整数，若将它们任意分成两组，则总有若干个数的和被n整除．

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