人教A版数学必修一《指数与指数幂的运算》基础知识讲解

指数与指数幂的运算

【学习目标】

1.理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质

(1)理解n次方根，n次根式的概念及其性质，能根据性质进行相应的根式计算；

(2)能认识到分数指数是指数概念由整数向有理数的一次推广，了解它是根式的一种新的写法，能正确进行根式与分数指数幂的互化；

(3)能利用有理指数运算性质简化根式运算.

2.掌握无理指数幂的概念，将指数的取值范围推广到实数集；

3.通过指数范围的扩大，我们要能理解运算的本质，认识到知识之间的联系和转化，认识到符号化思想的重要性，在抽象的符号或字母的运算中提高运算能力；

4.通过对根式与分数指数幂的关系的认识，能学会透过表面去认清事物的本质． 【要点梳理】

要点一、整数指数幂的概念及运算性质 1．整数指数幂的概念

an?a??a????an?Z*???n个a??a0?1?a?0? 1a?n?n(a?0,n?Z*)a2．运算法则 （1）a?a?a（2）

mnm?n；

?a?mn?amn；

amm?n?m?n，a?0?； （3）n?aammm（4）?ab??ab.

要点二、根式的概念和运算法则 1．n次方根的定义：

n*

若x=y(n∈N，n>1，y∈R)，则x称为y的n次方根. n为奇数时，正数y的奇次方根有一个，是正数，记为n数，记为ny；负数y的奇次方根有一个，是负

y；零的奇次方根为零，记为n0?0；

y；负数没有偶次方根；零的偶次方根为n为偶数时，正数y的偶次方根有两个，记为?n零，记为n0?0.

2．两个等式

（1）当n?1且n?N时，

nn*?a?nn?a；

?a,(n为奇数)（2）a??

|a|(n为偶数)?要点诠释：

①要注意上述等式在形式上的联系与区别；

②计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成|a|的形式，这样能避免出现错误．

要点三、分数指数幂的概念和运算法则 为避免讨论，我们约定a>0，n，m?N，且

*

m为既约分数，分数指数幂可如下定义： na?na 1na?(na)m?nam m-1an?m

an要点四、有理数指数幂的运算 1．有理数指数幂的运算性质 ?a?0，b?0，?,??Q?

mn?a??a???; ????(2)(a)?a;

???(3)(ab)?ab;

(1)a当a>0，p为无理数时，a是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用. 要点诠释：

(1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；

(2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如

4p

?(?4)2?(4?4)2；

(3)幂指数不能随便约分.如(?4)24?(?4).

122.指数幂的一般运算步骤

有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形

22

式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：a－b＝（a－b）（a＋b），（a±b）2＝a2±2ab＋b2，（a±b）3＝a3±3a2b＋3ab2±b3，a3－b3＝（a－b）（a2＋ab＋b2），a3＋b3＝（a22

＋b）（a－ab＋b）的运用，能够简化运算.

【典型例题】 类型一、根式

例1.求下列各式的值：

（1）5(?3);(2)4(?10);(3)4(3??);(4)(a?b). 5242?a?b　（a>b）?【答案】 -3；10；??3；?0　　 （a=b）

?b?a　（a

（3）4(3??)?|3??|???3；

425

?a?b　（a>b）?2（4）(a?b)?|a?b|??0　　 （a=b）

?b?a　（a

4??2.

（2）根式运算中，经常会遇到开方与乘方两种运算并存的情况，应注意两者运算顺序是否可换，何时可换.

举一反三：

【变式1】计算下列各式的值：

（1）3(?2)；（2）4(?9)；（3）6(??4)；（4）8(a?2). 【答案】（1）-2；（2）3；（3）4??；（4）?例2.计算：（1）5?26?（2）

3268?a?2(a?2).

?2?a(a?2)7?43?6?42；

11?. 2?12?1【答案】22;22．

【解析】 对于（1）需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质求解.对

于（2），则应分子、分母同乘以分母的有理化因式.

（1）5?26?27?43?6?42 222=(3)?23?2?(2)+2?2?23?(3)-=(3?=|22?2?22?(2)2 2)2?(2?3)2?(2?2)2 3?2|+|2?3|-|2?2| =3?2+2?3-（2?2） =22 11? （2） 2?12?1 = =2?12?1 ?(2?1)(2?1)(2?1)(2?1)2?1?2?1

=22 【总结升华】对于多重根式的化简，一般是设法将被开方数化成完全n次方，再解答，或者用整体思想来解题.化简分母含有根式的式子时，将分子、分母同乘以分母的有理化因式即可，如本例（2）中，1的分子、分母中同乘以(2?1). 2?13举一反三：

【变式1】化简：（1）3?22?（2）

(1?2)3?4(1?2)4；

x2?2x?1?x2?6x?9(|x|?3)

【答案】（1）

　?3?x?1),??2x?2( 2?1；（2）?(1?x?3).??4　　　类型二、指数运算、化简、求值

例3.用分数指数幂形式表示下列各式（式中a>0）：

y2（1）a?a；（2）a?a；（3）aa；（4）x2332x3y3y6． 3x【答案】 a；a；a；y

【解析】先将根式写成分数指数幂的形式，再利用幂的运算性质化简即可． （1）a（2）a（3）

2122?1223521133454?a?a?a?a323232?a;

?a；

34113523?a?a?a?a11223?aa?(a?a)?(a)?a；

3122（4）解法一：从里向外化为分数指数幂

y2xx3y3y6=3xy2xx3y61(3)3=yxy2xx3y2? yx1y22=(x?y)2

x=?=

?y??xy? ?x?y

5421212解法二：从外向里化为分数指数幂．

y2 xx3y33y2y6=(3xxx3y3y61)2 3xy2x3=[(xy2121236111yxyy61)2]2={[(3)3]2}2 3xyxx3146112=?=

?y??x??y??????3? x???y??x?y

mn54【总结升华】 此类问题应熟练应用a?nam(a?0,m,n?N*,且n?1)．当所求根式含有

多重根号时，要搞清被开方数，由里向外或由外向里，用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简．

举一反三：

■高清课程：指数与指数运算 例1

【变式1】把下列根式用指数形式表示出来，并化简 （1）a?2a；1105x 3x?x310?236【答案】（1）2a；（2）x． 【变式2】把下列根式化成分数指数幂： （1）682；（2）aa(a?0)；（3）b3?3b2；（4）31x(x)522．

73113【答案】212；a4；b3；x?5

117663267【解析】（1）82=2?22???2???212；

??13313 （2）aa?a?a2?a2?(a2)2?a4；

211（3）b3?3b2?b3?b3?b3； （4）1=11 3x(5x2)232?4x?(x5)23x?x5 =11?1?353?x．

39?91x5(x5)3x5例4.计算：

1(1)(0.0081)?17?11???0??24??3?3?(8)????81?0.25?(33)??8?； ?(2)733?3324?63149?333

(3)3?125?4(?36)2?6(??4)6?3(3??)3．

【答案】 3；0；2

0.3)??1【解析】(1)原式=(?111221013(3?3)?3?3?3；

(2)原式=733?633?233?33?0；

(3)原式=-5+6+4-?-(3-?)=2；

注意：（1）运算顺序(能否应用公式)；（2）指数为负先化正；（举一反三：

【变式1】计算下列各式：

3）根式化为分数指数幂.

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