基于偏微分方程的图像修复技术

很详细,很实用,易操作

第２６卷第５期２０１０年ｌＯ月

上海电

Ｊｏｕｒｎａｌ

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学院学报

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Ｐｏｗｅｒ

Ｖｏｉ．２６，Ｎｏ．５Ｏｃｔ．２０１０

ＳｈａｎｇｈａｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ

文章编号：１００６—４７２９（２０１０）０５—０４８１—０４

基于偏微分方程的图像修复技术

蒋伟１，束俊峰２，杨俊杰１

（１．上海电力学院计算机与信息工程学院，上海２０００９０；２．安徽省芜湖市供电公司５０万伏变电工区，安徽芜湖２４１０００）

摘要：介绍了图像修复技术的概念和原理，并在修复方法的理论与技术基础上，深入研究了偏微分方程修

复模型中几种具有代表性的ＢＳＣＢ模型、曲率驱动扩散（ＣＤＤ）模型、７Ⅳ模型等图像修复模型．最后对上述模

型进行了分析比较．

关键词：图像修复；偏微分方程；视觉冗余中图分类号：ＴＮ９１５

文献标识码：Ａ

ＤｉｇｉｔａｌＩｍａｇｅＩｎｐａｉｎｔｉｎｇＴｅｃｈｎｉｑｕｅＢａｓｅｄ

ＪＩＡＮＧＷｅｉｌ，ＳＨＵＪｕｎ．ｆｅｎ９２，ＹＡＮＧＪｕｎ－ｊｉｅｌ

（１．＆ｈｏｄｏｙ

ＣｏｍｐｕｔｅｒａｎｄＥｌｅｃｔｒｉｃ

２．５００ｋＶ

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Ｐｏｗｅｒ，Ｓｈａｎｇｈａｉ

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Ｃｏｍｐａｎｙ，Ｗｕｈｕ２４１０００，Ｃｈｉｎａ）

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅｃｏｎｃｅｐｔａｎｄｐｒｉｎｃｉｐｌｅｏｆｉｍａｇｅｉｎｐａｉｎｔｉｎｇｉｓｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ．Ｔｈｅｂａｓｅｄ

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Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｉｍａｇｅｌｎｐａｉｎｔｉｎｇ；ＰＤＥ；ｖｉｓｉｏｎａｌｒｅｄｕｎｄａｎｃｙ

图像修复（ｉｍａｇｅｉｎｐａｉｎｔｉｎｇ）最早来源于艺术领域，用于艺术字画和旧照片中破损区域的完整恢复或目标物的移除和取代．２０００年ＢＥＮＡＬＬＮＩＯＭ等人首次提出基于３阶偏微分方程（ＰＤＥ）的修复模型，在计算机上实现了自动修复，标志着数字

展是小波分析和偏微分方程在图像处理中的应

用．偏微分方程已广泛应用于图像处理和计算机视觉的许多方面，包括图像分割、运动物体跟踪、

图像锐化、对比度增强、图像量化等，并取得了很

好的效果．用偏微分方程进行图像处理的基本思想是利用偏微分方程对图像建模，然后求解该方

图像修复技术的正式提出¨】．

近年来，在图像处理和分析中两个最新的进

程，方程的解就是所期望的结果．该方法可以使待

收稿日期：２０１０—０ｒ７—１２

通讯作者简介：蒋伟（１９７５一），女，博士，副教授，陕西西安人．主要研究方向为图像处理和图像通信．Ｅ－ｍａｉｌ：

ｚ盔ｎ７４０６＠ｓｉｎａ．ｃｏｍ．

基金项目：上海市优秀青年教师专项基金（１３０１９２２）；上海市教育发展基金会晨光计划（２００７ＣＣ，６６）；上海市重点科

技攻关计划（０７１６０５１２５，０８１６０５１０６００）；上海市教育委员会科研创新项目（０９ＺＺｌ８５，０９ＹＺ３３７）．

万方数据

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２０１０焦

修复区域周围的有用信息沿着等照度线自动向内

扩散至修复图像，在保持图像边缘的基础上达到平滑噪音的目的．１

图像修复技术的基本理论

在图像获取过程中由于环境变化或人为原因

会使图像产生畸变，以及模糊和分辨率下降等退化现象．利用图像退化的先验知识，建立退化模型，然后沿着退化的逆过程进行恢复，以获得清晰

的原始图像的方法就是图像修复技术．

１．１

图像修复的贝叶斯理论

在视觉研究中，“Ｈｅｌｍｈｏｌｍ假设”认为，人类

视觉系统所感觉到的就是对信息的“最佳猜测”．从统计角度看，最佳猜测表明图像修复应该是一个贝叶斯推断过程，包括数据模型和图像先验模型两个部分．数据模型说明观测到的图像是怎样从真实的图像中获得的，也就是真实图像和观测图像存在什么样的关系．图像先验模型用于说明

真实的图像应该是什么样子的，不同的先验模型会导致完全不同的解．具体来说，图像复原就是利用受到污染的图像‰恢复原始图像Ⅱ，也就是从

观察到的数据出发，求真实图像的一个最优估计

——贝叶斯最大后验概率，即求使Ｐ（ⅡＩ‰）最大

的Ⅱ．根据贝叶斯公式：

Ｐ（山。）：垫掣（１）

』～Ｕ０，

一旦‰给定，分母Ｐ（‰）就是常数，所以该问题就变为最大化数据模型决定于Ｐ（ｕ。Ｉｕ）与图像先验模型ＪＰ（ｕ）的乘积．在图像处理中较易给出数据模型，因此一个有效的贝叶斯修复模型，主要依赖于一个好的图像先验模型Ｐ（Ｕ）．１．２图像修复模型建立的原则

数字图像修复就是针对图像中遗失或者损坏的部分，利用其周围的有效信息对其修复，使修复后的图像接近或者达到原图的视觉效果．由于没有足够的信息可以保证能惟一正确地恢复被损坏部分，因而图像修复通常是一个病态问题．

２００２年，ＣＨＡＮＴ等人【２’提出了对于低层次的图像修复应遵循的３个重要原则．

（１）图像修复模型是局部性的．待修复区域的信息完全由待修复区域周围的已知信息决定，

万方数据

修复图像的结果只与修复区域临近的信息相关，所以建立模型时不需要知道图像的全局信息．

（２）图像修复模型应该能够修复窄的被截断的光滑的边缘．由于人眼对物体或图像的边缘非常敏感，边缘对目标识别和图像分割至关重要，所以边缘的修复直接会影响修复的质量．

（３）图像修复模型应该对噪音具有鲁棒性．因为人类视觉能够轻易地从现有的噪音图像中察觉出不含噪音的图像特征，并将其延伸到修复区域，因此修复模型应该具有相似的特性．

一个图像修复模型并不能处理所有的图像修

复问题，因此对同一幅图像使用不同的修复模型有可能得到不同的修复结果．

２基于偏微分方程的图像修复模型

基于偏微分方程的图像处理的基本思想是将给定的曲率、表面或是图像的偏微分方程变形，用连续的二维函数来对图像进行建模口剖．基于偏微分方程的图像修复模型就是将图像修复过程转化为一系列的偏微分方程或能量泛函模型，从而通过数值迭代和智能优化的方法来处理图像．该类

方法对区域比较小的破损或划痕具有很好的修复

效果，而且修复区域越大，所需的迭代时间越长，修复的费用也就越大．

基于偏微分方程的修复模型一般可以分为两

类：一类是微观仿真系统（扩散过程），典型的有

ＢＳＣＢ模型和曲率驱动扩散（ＣＤＤ）模型，主要模仿手工修复破损图像的过程，利用图像的曲率、梯度等几何信息，并按照一些规则来控制图像的等照度线的扩散方向，使它们按照一定的要求扩散至破损区域，从而完成修复；另一类是变分模型，典型的是整体变分（Ｔｖ）模型，主要把修复问题归纳成一个求解能量泛函最小值的问题，但是求解过程相当复杂，用数值方法求解偏微分方程的许多方法也很不完善悟１１Ｊ．

２．１

ＢＳＣＢ模型

２００１年，ＢＥＲＴＡＬＭＩＯ，ＳＡＰＩＲＯ，ＣＡＳＥＬＬＥＳ，

ＢＡＬＬＥＳＴＥＲ一起提出了著名的基于偏微分方程的修复模型ＢＳＣＢ．该模型模拟手工修复的过程，根据破损区域边缘信息来确定待修复区域的信息以及像素信息延伸的方向，即沿等照度线的方向扩散边缘信息．修复时初始图像破损区域经过边

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蒋伟，等：基于偏微分方程的图像修复技术

缘信息一步步地向内扩散、更新破损区域，直到最终得到较稳定的修复结果．修复算法主要包括迭代和扩散两部分．迭代计算只在待修复区域Ｄ内进行；每经过几次迭代计算，就进行一次扩散．两个过程交替进行，直到缺损区域被完全填充完毕．

已知初始图像‰（ｉ，Ｊ），待修复区域为Ｄ，其边界为ＯＤ．修复时由已知区域沿着等照度线方向向内部未知区域不断扩散至Ｄ附近的灰度信息，使ＯＤ不断缩小，最后修复整个Ｄ．其迭代公式为：

ｕ”１（ｉ，ｊ）＝ｎ８（ｉ，ｊ）＋Ａｔｕ；“（ｉ，．『）

（２）

式中：（ｉ√）——象素点位置，（ｉＪ）∈Ｄ；

ｒｔ——迭代计数；

出——迭代速率；

Ｍ。４（ｉ√）——对当前图像的更新，初始图像

ｉｔｏ（ｉ√）＝１Ａ０（ｉ√）．

此迭代过程只对待修复区域内部的像素有效，不改变其他像素的值．设ｒ（ｉ，，）为传递的信

息，ａＬ“（ｉ，－『）表示信息的变化，Ⅳ（ｉ，＿『）为传递的

方向，则有

Ｈ。“（ｉ√）＝弛‘（ｉ，－『） ａⅣ＾（ｉ√）

（３）达到稳态时Ⅱ”１（ｉ√）＝Ⅱ“（ｉ√），因此

ａｒ（ｉ√） ａⅣ＾（ｉＪ）＝Ｏ

（４）

这就是说信息ｒ（ｉ√）已经沿着方向Ⅳ＾（ｉ，，）传递了．为了平滑传递信息，ｒ（ｉ，，）可用简单的离散拉普拉斯算子计算：

￡“（ｉ，ｊ）＝ｕＸ（ｉ，ｊ）＋“：ｒ（ｉＪ）

（５）

然后计算沿旷方向的越。（ｉ，＿『）．选择等照度线

的方向作为Ⅳ的方向，如图１所示．

图１

ＢＳＣＢ修复模型

离散梯度向量Ｖ““（ｉ，Ｊ）指向图像变化最大的方向，也就是等照度线的法线方向，那么垂直于该方向的向量就是等照度线方向，这样就保证了图

万方数据

像信息沿着灰度变化最小的方向扩散．

为了保证正确的扩散方向，在扩散过程中需要采用间隔扩散的方法，以防止扩散方向相互交叉．因此，可采用异性扩散方程：

３，ｏ

詈（菇，Ｙ，ｃ）＝旷（戈，ｙ）ｋ（ｘ，Ｙ，ｔ）ｆＶｕ（ｘ，Ｙ，ｔ）ｆ（６）

ｏ●

式中，（茗，Ｙ）ＥＤ８，Ｄ８是指对Ｄ的边界信息通过半径为占的结构元进行形态学膨胀后得到的区域．ｋ（ｘ，Ｙ，ｔ）代表曲率，９８（菇，Ｙ）函数在修复区域边界ＯＤ处为零，在区域Ｄ里面为１．

ＢＳＣＢ模型的修复算法对小尺寸区域有良好的效果，如小裂缝、划痕、文字的擦除等．但是对于较大区域的修复，扩散通常造成模糊，且该模型修复速度较慢．修复的效果如图２所示．

图２图像修复前后比较

２．２整体变分模型（Ｔｖ模型）

ＣＨＡＮ

Ｔ和ＳＨＥＮＪ建立了基于能量最小化

原则的统一修复模型旧Ｊ，并应用于图像修复领

域，取得了良好效果．由于能量函数的解是利用变分原理转化的，因此该模型被称为整体变分模型．

如图３所示．

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２０１０定

图３

Ｔｖ修复模型

Ｄ代表待修复区域，ｒ为分段光滑边界，Ｅ为Ｄ扩展后的封闭区域，ｒ位于ＥｕＤ内．假设原图

Ⅱｏ

ｌ￡受均匀高斯白噪声污染．变分法修复图像就

是在区域ＥｕＤ上找到一个函数ｌ‘，使其成为最小化代价函数：

研Ｍ，Ｄ］２上ｕ。ｌＶⅡＩｄ茁ｄｙ＋就Ｉ

Ｈ—ｚ‘ｏ

１２ａｘｄｙ（７）

式（７）对应的欧拉．拉格朗日方程为：

一叮箭¨舢一‰）＝０

（８）

由于（石，），）Ｅ

ＥｔＯＤ

Ｄ，

ｆ０

（茗，Ｙ）Ｅ九一ＩＡ

（茗，），）Ｅ

Ｅ’

式中：Ａ——拉格朗日因子．

用梯度下降法求解式（８）有：

竺＝喘＋Ａ。（扩一Ｈ）（９）

ａ，，一’Ｉ

Ｖ

ＨＩ

１。＾‘～“一“，

、７７

该模型相当于传导系数为亡的热扩散方程，扩

散强度仅依赖于梯度值而不依赖于等照度线的几

何信息．相比其他的偏微分方程模型，Ｔｖ模型运用了二阶偏微分方程，在实现上较为简单，而且收敛速度快．但是它总是用最短的直线来连接断裂的条状结构，容易造成失真．为了解决这个问题，

引入了曲率驱动扩散的思想．

２．３

ＣＤＤ模型

ＣＨＡＮ

Ｔ和ＳＨＥＮＪ等人‘１１１最先提出了曲率

推动扩散的的修复模型．ＣＤＤ模型将ＴＶ模型的

扩散系数修正为：

ｄ盟

ＶⅡ

式中：ｋ——水平线的曲率；

ｇ（１｜｝）——曲率的单调递增函数．

其方程为：

拈ｄｉｖ书刊

（１０）

万方数据

水，＝已。兰…，

引入曲率项后，ＣＤＤ模型最小化的代价函数为：

Ｅｃｏｏ［ｕｌｕｏ，Ｄ］＝Ｊ：ｌｇ（后）｜ＶｕＩ出以＋（１２）

等Ｊ：ｌ、。Ｉｕ一‰１２出妙

ＣＤＤ修复模型的扩散强度不仅依赖于梯度值，还依赖于等照度线的几何信息，即曲率．由于ｇ为增函数，扩散在等照度线曲率大的地方较强，并随着等照度线伸展的地方逐渐减弱．这使得修复过程能够消除大曲率而稳定小曲率．因此，ＣＤＤ法比’ｒｖ法的修复能力要强，可以修复较大的破损区域和较细小的断裂边缘¨｝１４Ｊ．

综上所述，ＢＳＣＢ修复模型通过模仿画家手

工修复，沿等照度线方向将信息迭代入受损区域，算法在修复区域内进行非线性扩散获得稳定清晰的结果．ＣＤＤ模型是基于曲率驱动扩散的一种新的偏微分方程模型，是由整体变分修复模型激发产生的．曲率驱动扩散模型在边缘周围的平坦区域的处理上，有比ＢＳＣＢ模型更好的处理效果，而且修复时间也较短．然而在曲线区域的连接上，就没有ＢＳＣＢ模型较好的预测修复效果．Ｔｖ模型及其改进模型都是从最佳猜测角度建模，将等照度线的发展方向作为信息扩展方向进行修复．’ｒｖ模

型的复杂度比扩散模型简单，修复时间也短，但不

能满足“视觉连通性原则”，虽然改进后的模型能满足视觉连通性原则，但其复杂度也相应增大．结束语

数字图像修复技术是图像恢复领域的一个重

要分支，从２０００年正式提出这个概念到现今的研

究发展，已经逐渐成为图像处理领域研究的热点之一．随着研究的不断深入，修复的应用场合越来越广．基于ＰＤＥ的修复方法是图像修复的主流算法之一，它将图像修复过程转化为一系列的偏微分方程，并通过数值迭代的方法来处理．典型的修复模型有ＢＳＣＢ模型、ＴＶ模型和ＣＤＤ模型．其中ＢＳＣＢ模型修复效果较好，但所需时间长；ＴＶ模型修复时间较短，修复效果也较好，但是在边缘连接方面会出现断裂，ＣＤＤ模型改进了ｒＩｖ模型的不足，但是迭代比较复杂，花费的时间较多．

（下转第５０１页）

３

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周平，等：云计算及云存储的管理技术

５０１

致用户不能掌控自己数据的访问权限．

（２）数据隔离问题云存储存储了大量的客户数据，这些数据本身是应该隔离的，云提供商需要保证私有数据不能被其他无授权的用户访问．

（３）数据恢复问题一旦云端数据出现全部或部分数据破坏时，提供商是否有能力进行全面恢复，需要多少时间才能完成恢复，都具有不确定性．

（４）云服务扩充与迁移问题

当用户需求扩

性、可靠性，以及安全问题等．这些尚未完全解决的技术及问题将是下一步研究的重点．参考文献：

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ｗｉｔｈｄｅａｄｌｉｎｅｓ：ａｏｆｔｈｅ

１ｌ

大时，云提供商现有的云服务不能满足用户需求，用户需要转移至其他云提供商．但对于用户来说，已有数据及应用能否保证顺利迁移将面临很大的不确定性．

ｒｅｑｕ劬

ｐｅｍ肌ｍｃｅｅｖａｌｕａｔｉｏｎ［ｃ］／／Ｐｒｏｃｅｅｄ—ｉｎ伊

Ｓｙｓｔｅｍｓ

［５］ＶＡＲＩＡＪ．Ｃｌｏｕｄ

４结束语

作为目前一种先进的技术，云计算有着无可比拟的优势．国内许多大的厂商如联想、Ｂａｉｄｕ和浪潮等都在积极参与到云计算技术的研究中．但目前云计算还存在很多问题，如文中提到的可用

ａｒｃｈｉｔｅｃｔｕｒｅｓ一㈣ｗｅｂ蚋ｉ∞［ＥＢ／ＯＬ］．ｍａｙ－２００８－ｅｌｏｕｎｄ ａｒｅｈｉｔｏｅｔｔｍｅｓ－ｍ—ｗｅｂ－ｓｅｒｖｉｃｅｓ．ｈｔｍｌ．

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