17-18版 附加题部分 第1章 第58课 排列与组合

第58课 排列与组合

[最新考纲]

内容 A 排列与组合 要求 B √ C

1．排列与组合的概念 名称 排列 组合 从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素 定义 按照一定的顺序排成一列 并成一组 2.排列数与组合数 (1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个m

数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用An表示．

(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用Cmn表示．

3．排列数、组合数的公式及性质

(1)Amn＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝公式 n！ ?n－m?！mn?n－1??n－2?…?n－m＋1?n！Anm(2)Cn＝Am＝＝ m！m！?n－m?！m性质 (1)0！＝1；Ann＝n! n－mmmm－1(2)Cmn＝Cn；Cn＋1＝Cn＋Cn

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．( ) (2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．( )

m

(3)若组合式Cxn＝Cn，则x＝m成立．( )

(4)排列定义规定给出的n个元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情况．也就是说，如果某个元素已被取出，则这个元素就不再取了．( )

[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√

117

2．(教材改编)已知Cm－Cm＝10Cm，则Cm8＝________.

5

6

7

117

28 [∵Cm－Cm＝10Cm，

567

m！?5－m?！m！?6－m?！7·m！?7－m?！

∴－＝，

5！6！10·7！化简，得m2－23m＋42＝0， 解得m＝2或m＝21(舍去)

m28×7∴C8＝C8＝＝28.]

2×1

32

3．方程3Ax＝2A2x＋1＋6Ax的解为________．

x＝5 [由排列数的定义可知 x≥3??

?x＋1≥2??x≥2

，解得x≥3，且x∈N＋.

∴原方程可化为

3x(x－1)(x－2)＝2x(x＋1)＋6x(x－1)． 2

即3x2－17x＋10＝0，解得x＝5或x＝3(舍)． ∴原方程的解为x＝5.]

4．(2016·四川高考改编)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为________．

72 [第一步，先排个位，有C13种选择；

4

第二步，排前4位，有A4种选择．

由分步计数原理，知有C1A43·4＝72(个)．]

5．某市委从组织机关10名科员中选3人担任驻村第一书记，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为________．

249 [法一(直接法)：甲、乙两人均入选，有C17C2种方法， 2甲、乙两人只有1人入选，有C12C7种方法， 112∴由分类计数原理，共有C22C7＋C2C7＝49种选法． 3法二(间接法)：从9人中选3人有C9种方法，

其中甲、乙均不入选有C37种方法，

3∴满足条件的选排方法有C39－C7＝84－35＝49种．]

排列应用题 (1)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有________种．

(2)把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．

(1)216 (2)36 [(1)第一类：甲在左端，

5有A5＝5×4×3×2×1＝120种方法；

第二类：乙在最左端，

4有4A4＝4×4×3×2×1＝96种方法，

所以共有120＋96＝216种方法．

(2)记其余两种产品为D，E，A，B相邻视为一个元素，先与D，E排列，有

2331A2A3种方法．再将C插入，仅有3个空位可选，共有A22A3C3＝2×6×3＝36种

不同的摆法．]

[规律方法] 1.第(1)题求解的关键是按特殊元素甲、乙的位置进行分类．注意特殊元素(位置)优先原则，即先排有限制条件的元素或有限制条件的位置．对于分类过多的问题，可利用间接法．

2．对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法等常用的解题方法．

[变式训练1] 在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有________种. 【导学号：62172318】

96 [程序A的顺序有A1将程序B和C看作一个元素与除A外2＝2种结果，

24的元素排列有A2A4＝48种结果，

由分步乘法计数原理，实验编排共有2×48＝96种方法．]

组合应用题 (1)若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有________种．

(2)(2016·全国卷Ⅲ改编)定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数．若m＝4，则不同的“规范01数列”共有________个．

(1)66 (2)14 [(1)共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，

422

∴不同的取法共有C45＋C4＋C5C4＝66种．

(2)由题意知：当m＝4时，“规范01数列”共含有8项，其中4项为0,4项为1，且必有a1＝0，a8＝1.不考虑限制条件“对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数”，则中间6个数的情况共有C3其中存在6＝20(种)，

k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数少于1的个数的情况有：①若a2＝a3＝1，则有C14＝4(种)；②若a2＝1，a3＝0，则a4＝1，a5＝1，只有1种；③若a2＝0，则a3＝a4＝a5＝1，只有1种．综上，不同的“规范01数列”共有20－6＝14(种)．

故共有14个．]

[规律方法] 1.(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取．

(2)“至少”或“至多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解．

2．第(2)题是“新定义”问题，首先理解“规范01数列”的定义是解题的关键，注意分类讨论时要不重不漏，并重视间接法的应用．

[变式训练2] 现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为________．

2

472 [第一类，含有1张红色卡片，不同的取法C14C12＝264种．第二类，3不含有红色卡片，不同的取法C312－3C4＝220－12＝208种．

由分类计数原理，不同的取法共264＋208＝472种．]

排列与组合的综合应用 ?角度1 简单的排列与组合的综合问题

用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大

的偶数共有________个．

120 [当五位数的万位为4时，个位可以是0,2，此时满足条件的偶数共有

3C12A4＝48个；当五位数的万位为5时，个位可以是0,2,4，此时满足条件的偶数3共有C13A4＝72个，

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ydua.html