极坐标与参数方程-题型归纳

- 1 - 高考高频题型整理汇总

——《极坐标与参数方程》

除了简单的极坐标与直角坐标的转化、参数方程与普通方程的转化外，还涉及以下部分问题。

（一）有关圆的题型

题型一：圆与直线的位置关系（圆与直线的交点个数问题）----利用圆心到直线的距离与半径比较

相离，无交点；:r d > 个交点；相切，1:r d = 个交点；相交，2:r d <

用圆心（x 0,y 0）到直线Ax+By+C=0的距离2200B A C

By Ax d +++=，算出d ，在与半径比较。

题型二：圆上的点到直线的最值问题（不求该点坐标，如果求该点坐标请参照距离最值求法） 思路：第一步：利用圆心（x 0,y 0）到直线Ax+By+C=0的距离2200B A C

By Ax d +++=

第二步：判断直线与圆的位置关系

第三步：相离：代入公式：r d d +=max ，r d d -=min

相切、相交：r d d +=max min 0d =

题型三：直线与圆的弦长问题 弦长公式222d r l -=，d 是圆心到直线的距离

延伸：直线与圆锥曲线（包括圆、椭圆、双曲线、抛物线）的弦长问题

（弦长：直线与曲线相交两点，这两点之间的距离就是弦长） 弦长公式21t t l -=,解法参考“直线参数方程的几何意义”

- 2 - （二）距离的最值： ---用“参数法”

1.曲线上的点到直线距离的最值问题

2.点与点的最值问题

“参数法”：设点---套公式--三角辅助角

①设点： 设点的坐标，点的坐标用该点在所在曲线的的参数方程来设 ②套公式：利用点到线的距离公式

③辅助角：利用三角函数辅助角公式进行化一

例如：【2016高考新课标3理数】在直角坐标系中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为

（I ）写出的普通方程和的直角坐标方程；

（II ）设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标

的直角坐标方程为.

这里没有加减移项省去，直接化同，那系数除到左边

（Ⅱ）由题意，可设点的直角坐标为

因为是直线，所以的最小值即为到的距离的最小值，

xOy 1C ()sin x y ααα?=??

=??为参数x 2C sin()4

ρθπ+=1C 2C P 1C Q 2C PQ P 2C 40x y +-=P ,sin )αα2C ||PQ P 2C ()d α

- 3 - . （欧萌说：利用点到直接的距离列式子，然后就是三角函数的辅助公式进行化一） 当时）（13sin =+πα即当时，

，此时的直角坐标为.

（三）直线参数方程的几何意义

1.经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为为参数）t t y y t x x (sin cos 00???+=+=α

α若A ，B 为直线l 上两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到：

(1)t 0=t 1＋t 2

2；(2)|PM |=|t 0|=t 1＋t 2

2；(3)|AB |=|t 2－t 1|；(4)|PA |·|PB |=|t 1·t 2|

（5）?????>+<-+=-=+=+0,0,4)(212121212212121t t t t t t t t t t t t t t PB PA 当当

（注：记住常见的形式，P 是定点，A 、B 是直线与曲线的交点，P 、A 、B 三点在直线上）

【特别提醒】直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且其几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离，即|M 0M |=|t |.

直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为12,t t ，则弦长12l t t =-；

2.解题思路

第一步：曲线化成普通方程，直线化成参数方程

第二步：将直线的参数方程代入曲线的普通方程，整理成关于t 的一元二次方程：02=++c bt at ()sin()2|3d παα==+-2()6k k Z π

απ=+∈()d αP 31(,)22

- 4 - 第三步：韦达定理：a c t t a b t t =-=+2121,

第四步：选择公式代入计算。

例如：已知直线l ：????? x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极

坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.

(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)设点M 的直角坐标为(5，3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA |·|MB |的值． 解 (1)ρ＝2cos θ等价于ρ2＝2ρcos θ.①

将ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x 代入①即得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0.②

(2)将????? x ＝5＋32t ，

y ＝3＋12t 代入②式，得t 2＋53t ＋18＝0.

设这个方程的两个实根分别为t 1，t 2，则由参数t 的几何意义即知，|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝18.

（四）一直线与两曲线分别相交，求交点间的距离

思路：一般采用直线极坐标与曲线极坐标联系方程求出2个交点的极坐标，利用极径相减即可。

例如：（2016?福建模拟）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（其中α为参数），曲线C2：（x﹣1）2+y2=1，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和曲线C2的极坐标方程；

（Ⅱ）若射线θ=（ρ＞0）与曲线C1，C2分别交于A，B两点，求|AB|．

解：（Ⅰ）∵曲线C 1的参数方程为（其中α为参数），

∴曲线C 1的普通方程为x2+（y﹣2）2=7．

∵曲线C2：（x﹣1）2+y2=1，

∴把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入（x﹣1）2+y2=1，

得到曲线C2的极坐标方程（ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ）2=1，

化简，得ρ=2cosθ．

（Ⅱ）依题意设A（），B（），

∵曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ﹣3=0，

将（ρ＞0）代入曲线C1的极坐标方程，得ρ2﹣2ρ﹣3=0，

解得ρ1=3，

同理，将（ρ＞0）代入曲线C2的极坐标方程，得，

∴|AB|=|ρ1﹣ρ2|=3﹣．

（五）面积的最值问题

面积最值问题一般转化成弦长问题+点到线的最值问题

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例题2016?包头校级二模）在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为，（t为参数），在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为

，A，B两点的极坐标分别为．

（1）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

（2）点P是圆C上任一点，求△PAB面积的最小值．

解：（1）由，化简得：，

消去参数t ，得（x+5）2+（y ﹣3）2=2，

∴圆C的普通方程为（x+5）2+（y﹣3）2=2．

由ρcos（θ+）=﹣，化简得ρcosθ﹣ρsinθ=﹣，

即ρcosθ﹣ρsinθ=﹣2，即x﹣y+2=0，

则直线l的直角坐标方程为x﹣y+2=0；

（Ⅱ）将A（2，），B（2，π）化为直角坐标为A（0，2），B（﹣2，0），

∴|AB|==2，

设P点的坐标为（﹣5+cost，3+sint），

∴P点到直线l的距离为d==，

∴d min==2，

则△PAB面积的最小值是S=×2×2=4．

极坐标与直角坐标、参数方程与普通方程的转化

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- 7 - 一、直角坐标的伸缩

设点P(x ，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换

φ：?

??>='>='）（）（0,0,μμλλy y x x 的作用下，点P(x ，y)对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示．在伸缩变换????? x ′＝λ·x ，λ>0y ′＝μ·y ，μ>0下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆（重点考察）．

【强化理解】

1．曲线C 经过伸缩变换后，对应曲线的方程为：x 2+y 2=1，则曲线C 的方程为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．4x 2+9y 2=1

【解答】解：曲线C 经过伸缩变换①后，对应曲线的方程为：x ′2+y ′2=1②， 把①代入②得到：故选：A

2、在同一直角坐标系中，求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线4x 2＋9y 2＝36变成曲线x ′2＋y ′2＝1．

【解答】解：设变换为φ：?????x ′＝λx （λ>0），y ′＝μy （μ>0），

可将其代入x ′2＋y ′2＝1，得λ2x 2＋μ2y 2＝1． 将4x 2＋9y 2＝36变形为x 29＋y 24＝1，比较系数得λ＝13，μ＝12．

- 8 - 所以?????x ′＝13x ，y ′＝12y ．将椭圆4x 2＋9y 2

＝36上的所有点的横坐标变为原来的13，纵坐标变为原来的12，可得到圆x ′2＋y ′2＝1．

亦可利用配凑法将4x 2＋9y 2＝36化为? ?????x 32＋? ?????y 22＝1，与x ′2＋y ′2

＝1对应项比较即可得?????x ′＝x 3，y ′＝y 2． 3、（2015春?浮山县校级期中）曲线x 2+y 2=1经过伸缩变换后，变成的曲线方程是（ ）

A ．25x 2+9y 2=1

B ．9x 2+25y 2=1

C ．25x+9y=1

D ．+=1

【解答】解：由伸缩变换，化为，代入曲线x 2+y 2=1可得25（x ′）2+9（y ′）2=1， 故选：A ．

二、极坐标

1.公式：

（1）极坐标与直角坐标的互化公式如下表：

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2.极坐标与直角坐标的转化

（1）点：有关点的极坐标与直角转化的思路

A ：直角坐标化为极坐标的步骤

①运用 ②在内由求时，由直角坐标的符号特征判断点所在的象限． B::极坐标化为直角坐标的步骤，运用 （2）直线：直线的极坐标与直角坐标转化的思路

A ：直角坐标转化成极坐标

思路：直接利用公式，将式子里面的x 和y 用θρθρsin cos 和转化，最后整理化简即可。 例如：x+3y-2=0：用公式将x 和y 转化，即0

2-sin 3cos =+θρθρ B

：极坐标转化成直角坐标

类型①：直接转化---直接利用公式转化

(),x y (),ρθ()222

tan 0x y y x x ρθ?=+??=≠??

[)0,2π()tan 0y x x θ=

≠θ(),ρθ(),x y cos sin x y ρθρθ=??=?

cos sin x y ρθρθ

=??=?

- 10 - 类型②：利用三角函数的两角和差公式，即()()2sin 2cos k k ρθαρθα±=±=或

思路：第一步：利用两角和差公式把sin(θ±α)或cos θ±α)化开，特殊角的正余弦值化成数字，整理化简

第二步：利用公式转化

解：第一步：利用两角和差公式把sin(θ±α)或cos θ±α)化开特殊角的正余弦值化成数字，整理化简，即

第二步：第二步：利用公式转化

类型③：角可以不是特殊角）为倾斜角，可以是特殊（ααθ=，该直线经过原点（极点），对应的直角

坐标方程为kx x即y tanαy =?=

(注：直线的直角坐标方程一般要求写成一般式：Ax+By+C=0)

三、曲线极坐标与直角坐标互换

（一）圆的直角与极坐标互换

cos sin x y ρθρθ=??=?cos sin x y ρθρθ=??=?

- 11 - 1.圆的极坐标转化成直角坐标

类型一：θθρsin cos +=

详解：一般θθsin ,cos 要转化成x 、y 都需要跟ρ搭配，一对一搭配。

所以两边同时乘以ρ，即0--,sin cos 22222=++=+∴+=y x y x y x y x 即θρθρρ 类型二：2=ρ

没有三角函数时，可以考虑两边同时平方44222=+=y x 即ρ

2.圆的直角坐标转化成极坐标

3)1()4(22=++-y x

解题方法一：拆开--公式代入

014sin 2cos 801428031216822222=++-∴=++-+=-++++-θρθρρy x y x y y x x 即 解题方法二：代入-拆-合

031sin 2sin 16cos 8cos 3)1sin ()4cos (222222=-++++-=++-θρθρθρθρθρθρ即 014sin 2cos 8014sin 2cos 8)sin (cos 2222=++-=++-+∴θρθρρθρθρθθρ即

【强化理解】

1.将下列点的极坐标与直角坐标进行互化．

①将点M 的极坐标?

?????4，143π化成直角坐标； ②将点N 的直角坐标(4，－43)化成极坐标(ρ≥0，0≤θ<2π)．

【解答】解：①∵x ＝4cos 143π＝4cos 2π3＝4×? ??

???－12＝－2，y ＝4sin 143π＝4sin 2π3＝23，∴点A 的

- 12 - 直角坐标是(－2，23)．

②∵ρ＝42＋（－43）2＝8，tan θ＝－4

34＝－3，θ∈[0，2π)，又点(4，－43)在第四象

限，∴θ＝5π3，∴对应的极坐标为?

?????8，5π3． 2、将下列直角坐标方程与极坐标方程进行互化．

①y 2＝4x; ②θ＝π3

(ρ∈R )； ③ρ2cos2θ＝4; ④ρ＝1

2－cos θ． 【解答】解：①将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y 2＝4x ，得(ρsin θ)2＝4ρcos θ．化简得ρsin 2θ＝4cos θ．

②当x ≠0时，由于tan θ＝y x ，故tan π3＝y x ＝3，化简得y ＝3x (x ≠0)；当x ＝0时，y ＝0．显然(0，0)在y ＝3x 上，故θ＝π3(ρ∈R )的直角坐标方程为y ＝3x ．

③因为ρ2cos2θ＝4，所以ρ2cos 2θ－ρ2sin 2θ＝4，即x 2－y 2＝4． ④因为ρ＝12－cos θ，所以2ρ－ρcos θ＝1，因此2x 2＋y 2－x ＝1，化简得3x 2＋4y 2－2x －1＝0．

3．化极坐标方程ρ2cos θ﹣ρ=0为直角坐标方程为（ ）

A ．x 2+y 2=0或y=1

B ．x=1

C ．x 2+y 2=0或x=1

D ．y=1

【解答】解：∵ρ2cos θ﹣ρ=0，∴ρcos θ﹣1=0或ρ=0，∵， ∴x 2+y 2=0或x=1，故选C ．

4．将曲线ρcos θ+2ρsin θ﹣1=0的极坐标方程化为直角坐标方程为（ ）

- 13 - A ．y+2x ﹣1=0 B ．x+2y ﹣1=0 C ．x 2+2y 2﹣1=0 D ．2y 2+x 2﹣1=0

【解答】解：由曲线ρcos θ+2ρsin θ﹣1=0，及

，

可得x+2y ﹣1=0．

∴曲线ρcos θ+2ρsin θ﹣1=0的极坐标方程化为直角坐标方程为x+2y ﹣1=0．故选：B ．

5、在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ? ??

???θ－π4＝22.，求圆O 和直线l 的直角坐标方程；

【解答】解：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，

圆O 的直角坐标方程为：x 2＋y 2＝x ＋y ，即x 2＋y 2－x －y ＝0，

直线l ：ρsin ? ??

???θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1， 则直线l 的直角坐标方程为：y －x ＝1，即x －y ＋1＝0. 三、参数方程

1.必记的曲线参数方程

抛物线y2＝2px(p＞0)

2.参数方程与普通方程的转化

（1）参数方程转化成普通方程

类型一：含t的消参

思路：含有t的参数方程消参时，想办法把参数t消掉就可以啦，有两个思路：思路一：代入消元法，把两条式子中比较简单的一条式子转化成t=f(x)或t=f(y)，思路二：加减消元：让含有t前面的系数相同或成相反数后相加减。

1＝0.

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- 15 - 思路二：加减消元：两式相减，x －y －1＝0.

类型二：含三角函数的消参

思路：三角函数类型的消参一般的步骤就是：移项-化同-平方-相加 移项：把除了三角函数的其他相加减数字移动左边

化同：把三角函数前面的系数化成相同

平方：两道式子左右同时平方

相加：平方后的式子进行相加

（注：有时候并不需要全部步骤） 例如：圆?????x ＝1＋cos θ，y ＝－2＋sin θ

消参数θ，化为普通方程是(x －1)2＋(y ＋2)2＝1. 解：移项：?

??=+=-θθsin 2cos 1y x （三角函数前面系数已经相同，省去化同，直接平方） 平方：?????=+=-θ

θ2222sin 2cos 1）（）（y x 相加：

12)y 1-x 22=++（）（ 3.参数方程涉及题型

（1）直线参数方程的几何意义

（2）距离最值（点到点、曲线点到线、）

【强化理解】

1、直线l的参数方程为为参数）．写出直线l的直角坐标方程；

【解答】直线l的参数方程为为参数）．

由上式化简成t=2（x﹣1）代入下式得

根据ρ2=x2+y2，进行化简得C：x2+y2=1（2分）

2、．将参数方程（θ为参数）化为普通方程为（）

A．y=x﹣2 B．y=x﹣2（0≤y≤1） C．y=x+2（﹣2≤x≤﹣1） D．y=x+2

【解答】解：将参数方程（θ为参数）化为普通方程为：y=x+2，（﹣2≤x≤﹣1）．故选：C．

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