二次函数压轴题之新定义问题(二)(讲义及答案)

二次函数压轴题之新定义问题（二）（讲义） 知识点睛

解决新定义问题时常考虑：

①回归新定义，给什么，用什么；将新定义与所给问题信息

结合分析转化；

②将新定义图形结构化、模型化，利用其相关特征、性质解

决问题．

精讲精练

1.在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为(x1，y1)，点Q的坐

标为(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”．下图为点P，Q的“相关矩形”的示意图．

（1）已知点A的坐标为(1，0)．

①若点B的坐标为(3，1)，求点A，B的“相关矩形”的面积；

②点C在直线x=3上，若点A，C的“相关矩形”为正方形，

求直线AC的表达式．

（2）⊙O的半径为2，点M的坐标为(m，3)．若在⊙O上存在一点N，使得点M，N的“相关矩形”为正方形，求m 的取值范围．

2.【定义】我们定义：平面内到一个定点F 和一条定直线l （点

F 不在直线l 上）距离相等的点的集合叫做抛物线，其中点F 叫做抛物线的“焦点”，直线l 叫做抛物线的“准线”．如图1，点O 即为抛物线1y 的“焦点”，直线l ：2y =-即为抛物线1y 的“准线”．可以发现“焦点”F 在抛物线的对称轴上．

【理解】如图1，N (m ，n )是抛物线21114

y x =-上的任一点，l 是过点(0，-2)且与x 轴平行的直线，过点N 作直线NH ⊥l ，垂足为点H ．

①计算：当m=0时，NH=______，NO =_______；当m =4时，NH=_______，NO =_______．

②证明：无论m 取何值，NO =NH ．

【应用】（1）如图2，“焦点”为F (0，1)的抛物线2214

y x =的准线为直线l ，经过点F 的任意一条直线0y kx b k =+≠（）与抛物线交于点M ，N ，过点M 作MQ ⊥l 于点Q ，过点N 作NH ⊥l 于点H ．

①直接写出抛物线y 2的“准线”l 的解析式______________；②计算求值：11MQ NH

+=____________；③记QH 的中点为G ，连接GM ，GN ，试证明∠MGN =90°．

（2）如图3，在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为圆心，

半径为1的⊙O 与x 轴分别交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），直线33

y x n =+与⊙O 只有一个公共点F ，求以F 为“焦点”、x 轴为“准线”的抛物线23y ax bx c =++的表达式．

图1

图2

图3

3.在平面直角坐标系xOy 中，⊙C 的半径为r ，P 是与圆心C 不

重合的点，点P 关于⊙C 的反称点的定义如下：若在射线CP 上存在一点P′，满足CP +CP′=2r ，则称P ′为点P 关于⊙C 的反称点，如图为点P 及其关于⊙C 的反称点P′的示意图．特别地，当点P′与圆心C 重合时，规定CP′=0．

（1）当⊙O 的半径为1时．

①分别判断点M (2，1)，N (

32

，0)，T (1，3)关于⊙O 的反称点是否存在，若存在，求其坐标；②当点P 在直线2y x =-+上时，若点P 关于⊙O 的反称点P′存在，且点P′不在x 轴上，求点P 的横坐标的取值范围．（2）当⊙C 的圆心在x 轴上，且半径为1时，直线

3233

y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，若线段AB 上存在点P ，使得点P 关于⊙C 的反称点P′在⊙C 的内部，求圆心C 的横坐标的取值范围．

4.在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)

的“非常距离”，给出如下定义：若1212x x y y --≥，则点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)的非常距离为12x x -；若1212x x y y -<-，则点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)的非常距离为12y y -．

例如：点P 1(1，2)，P 2(3，5)，因为1325-<-，所以点P 1与P 2的“非常距离”为253-=，也就是图1中线段P 1Q 与线段P 2Q 长度的较大值（Q 为垂直于y 轴的直线P 1Q 与垂直于x 轴的直线P 2Q 的交点）．

（1）已知点1(0)2

A -，，

B 为y 轴上的一个动点．

①若点A 与点B 的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B 的坐标；

②直接写出点A 与点B 的“非常距离”的最小值．（2）已知C 是直线3+34

y x =上的一个动点．①如图2，点D 的坐标是(0，1)，求点C 与点D 的“非常距离”的最小值及相应的点C 的坐标；

②如图3，

E 是以原点O 为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C 与点E 的“非常距离”的最小值及相应的点E 和点C 的坐标．

图1

图2

图3

【参考答案】

1.（1）①2；

②C 1(3，2)1AC l ?：y =x -1；C 2(3，-2)2AC l ?：y =-x +1（2）-5≤m ≤-1或1≤m ≤5

2.①1，1，5，5；②证明略

（1）①y =-1；②1；③证明略

（2）2313()324y x =++或2313()324

y x =---3.

（1）①M 反称点不存在，N 反称点N′(12，0)，T 反称点T′(0，0)

②0＜x P ＜2

（2）2≤x C ≤8

4.（1）①B (0，2)；②

12（2）①最小值为87，此时点C 坐标为815()77

-，②最小非常距离为1，34()55E -，，89()55C -，

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