分式部分的经典提高题

分式总复习

【知识精读】

A?定义：（A、B为整式，B中含有字母）?B???AA?M??通分：?(M?0)??BB?M?性质???约分：A?A?M(M?0)??BB?M???51?分式?定义：分母含有未知数的方程。如???x?1x?3???思想：把分式方程转化为整式方程???????方法：两边同乘以最简公分母?分式方程?解法????依据：等式的基本性质???注意：必须验根?????应用：列分式方程解应用题及在其它学科中的应用????

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【分类解析】 1. 分式有意义的应用

例1. 若ab?a?b?1?0，试判断 分析：要判断

11，是否有意义。 a?1b?111，是否有意义，须看其分母是否为零，由条件中等式左边因a?1b?1式分解，即可判断a?1，b?1与零的关系。 解：?ab?a?b?1?0 ?a(b?1)?(b?1)?0 即(b?1)(a?1)?0 ?b?1?0或a?1?0 ?11，中至少有一个无意义。 a?1b?1

2. 结合换元法、配方法、拆项法、因式分解等方法简化分式运算。

a2?a?1a2?3a?1? 例2. 计算：

a?1a?3 分析：如果先通分，分子运算量较大，观察分子中含分母的项与分母的关系，可采取“分

离分式法”简化计算。 解：原式?a(a?1)?1a(a?3)?1?

a?1a?3?a???

11?(a?)a?1a?311?a?1a?3(a?3)?(a?1)(a?1)(a?3)2a?2(a?1)(a?3)

????

1x2?5x?5?2 例3. 解方程：1?2

x?7x?6x?5x?6 分析：因为x?7x?6?(x?1)(x?6)，x?5x?6?(x?2)(x?3)，所以最简公分母为：(x?1)(x?6)(x?2)(x?3)，若采用去分母的通常方法，运算量较大。由于

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x2?5x?5x2?5x?6?11??1?故可得如下解法。

x2?5x?6x2?5x?6x2?5x?6x2?5x?6?11?1? 解：? 22x?5x?6x?5x?6 原方程变为1?11?1?

x2?7x?6x2?5x?611?2?2x?7x?6x?5x?6 ?x2?7x?6?x2?5x?6

?x?0 经检验，x?0是原方程的根。

3. 在代数求值中的应用

例4. 已知a?6a?9与|b?1|互为相反数，求代数式

24a?ba2?ab?2b2b(2?2)?2?的值。 222aa?bab?abab?2ab 分析：要求代数式的值，则需通过已知条件求出a、b的值，又因为

a2?6a?9?(a?3)2?0，|b?1|?0，利用非负数及相反数的性质可求出a、b的值。

解：由已知得a?3?0，b?1?0，解得a?3，b?1

4a?ba2?ab?2b2b 原式?[?]??

(a?b)(a?b)ab(b?a)ab(a?2b)a?(a?b)2a2?b2?ab?b2b?[]??ab(a?b)(a?b)ab(a?2b)a?(a?b)2ab(a?2b)b?? ?ab(a?b)(a?b)(a?b)(a?2b)a??1a?a?bb1 12

把a?3，b?1代入得：原式?

4. 用方程解决实际问题

例5. 一列火车从车站开出，预计行程450千米，当它开出3小时后，因特殊任务多停一站，耽误30分钟，后来把速度提高了0.2倍，结果准时到达目的地，求这列火车的速度。 解：设这列火车的速度为x千米/时

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根据题意，得

4501450?3x?3? x212.x 方程两边都乘以12x，得5400?42x?4500?30x

解得x?75

经检验，x?75是原方程的根

答：这列火车原来的速度为75千米/时。

5. 在数学、物理、化学等学科的学习中，都会遇到有关公式的推导，公式的变形等问题。而公式的变形实质上就是解含有字母系数的方程。 例6. 已知x?2y?3，试用含x的代数式表示y，并证明(3x?2)(3y?2)?13。

3y?2 解：由x?2y?3，得3xy?2x?2y?3

3y?2?3xy?2y?2x?3 ?(3x?2)y?2x?3

?y?2x?33x?23(2y?3)6y?9?6y?413?2??3y?23y?23y?2

?(3x?2)?

?(3x?2)(3y?2)?136、中考原题：

M2xy?y2x?y 例1．已知2，则M＝__________。 ?2?x?yx?y2x?y2 分析：通过分式加减运算等式左边和右边的分母相同，则其分子也必然相同，即可求出

M。

2xy?y2x?y 解：?2 ?2x?yx?y2xy?y2?x2?2xy?y2?x2?y2x2 ?2x?y2?Mx2?y22

?M?x

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(x?1)3?x2?1 例2．已知x?3x?2?0，那么代数式的值是_________。

x?12 分析：先化简所求分式，发现把x?3x看成整体代入即可求的结果。 解：原式?(x?1)2?(x?1)?x2?2x?1?x?1?x2?3x ?x?3x?2?0 ?原式?x?3x?2

7、题型展示：

例1. 当x取何值时，式子

222?x2?3x?2

|x|?2有意义？当x取什么数时，该式子值为零？

x2?3x?2 解：由x2?3x?2?(x?1)(x?2)?0 得x??1或?2

所以，当x??1和x??2时，原分式有意义 由分子|x|?2?0得x??2 当x?2时，分母x?3x?2?0

当x??2时，分母x?3x?2?0，原分式无意义。 所以当x?2时，式子

22|x|?2的值为零

x2?3x?21x2?(m?n)x?mnx2?m2x?2m?3n?? 例2. 求2的值，其中。 ?222x?(m?n)x?mnx?n 分析：先化简，再求值。 解：原式?(x?m)(x?n)(x?m)(x?m)?

(x?m)(x?n)(x?n)(x?n)(x?m)2 ? 2(x?n)?x?2m?3n??

1211?x?2m，x?3n，m??，n??46

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