§2.3.3函数奇偶性(1)

一．课题：函数奇偶性（1）

二．教学目标：1. 使学生理解奇函数、偶函数的概念；使学生掌握判断函数奇偶性的方法； 2. 培养学生判断、推理的能力、加强化归转化能力的训练。 三．教学重点：函数奇偶性的概念 四．教学过程： （一）复习：（提问）

1．增函数、减函数的定义，并复述证明函数单调性的步骤；

2．练习：函数y??x2?2x?8的单调递增区间是 . 3．轴对称与中心对称图形。 （二）新课讲解：

请同学们观察图形，说出函数y?x2和y?x3的图象各有怎样的对称性？

y?x3 2 y?x

1．奇偶性的定义：

（1）偶函数的定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(?x)?f(x)，

24那么函数f(x)就叫做偶函数。例如：函数f(x)?x?1, f(x)?x?2等都是偶函数。

（2）奇函数的定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(?x)??f(x)，

那么函数f(x)就叫做奇函数。例如：函数f(x)?x，f(x)?1都是奇函数。 x（3）奇偶性的定义：如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性。 说明：从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数： （1）其定义域关于原点对称；

（2） f(?x)?f(x)或f(?x)??f(x)必有一成立。

因此，判断某一函数的奇偶性时，首先看其定义域是否关于原点对称，若对称，再计算

f(?x)，看是等于f(x)还是等于?f(x)，然后下结论；若定义域关于原点不对称，则

函数没有奇偶性。

（3）无奇偶性的函数是非奇非偶函数。

函数奇偶性（1）

（4）函数f(x)?0既是奇函数也是偶函数，因为其定义域关于原点对称且既满足

f(x)?f(?x)也满足f(x)??f(?x)。

（5）一般的，奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数。偶函数的图象关于y轴对称，反过来，如果一个函数的图形关于y轴对称，那么这个函数是偶函数。

（6）奇函数若在x?0时有定义，则f(0)?0． 2．例题分析：

例1．判断下列函数的奇偶性：

（1）f(x)?x3?x（奇函数） （2）f(x)?1?x2?x2?1（既是奇函数又是偶函数）

（3）f(x)?3x?1（非奇非偶函数） （4）f(x)?x6?x4?8 x?[?2,2)（非奇非偶函数） （5）f(x)?0（既是奇函数又是偶函数） （6）f(x)?2x4?3x2（偶函数）

例2．判断下列函数的奇偶性：

1?x2（1）f(x)?|x|?x （既是奇函数又是偶函数） （2）f(x)?（奇函数）

2?|x?2|说明：在判断f(?x)与f(x)的关系时，可以从f(?x)开始化简；也可以去考虑f(x)?f(?x)f(?x)或f(x)?f(?x)；当f(x)不等于0时也可以考虑与1或?1的关系。

f(x)53例3．已知函数f(x)?x?ax?bx?8若f(?2)?10，求f(2)的值。

53解：构造函数g(x)?f(x)?8，则g(x)?x?ax?bx一定是奇函数

又∵f(?2)?10，∴ g(?2)?18

因此g(2)??18 所以f(2)?8??18，即f(2)??26．

说明：函数的奇偶性不但可以求函数值，也可以利用奇偶性的图象性质作函数图象。

2见（课本第63页的例6）

五．小结：1．函数奇偶性的定义；

2．判断函数奇偶性的方法；

3．特别要注意判断函数奇偶性时，一定要首先看其定义域是否关于原点对称，否则将会导致结论错误或做无用功。

六．作业：1．习题2.3 第7题 2．课本P106第10题

22 补充： 3．已知f(x)?(m?1)x?(m?1)x?n?2，当m,n为何值时，f(x)为奇函数。

函数奇偶性（1）

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