2011-2012第二学期概率论本科(A)题目及答案

华中科技大学文华学院

2011~2012第二学期《概率论与数理统计》考试试卷（A）

课程性质：必修

使用范围：理工类、经管类本科

考试方式：闭卷（120分钟）

考试时间：2011年12月2日

0学部 班级 姓名 学号 成绩 0 题号 得分 一 二 三、1 三、2 三、3 三、4 三、5 总分 一、选择题（每小题3分，共18分）

1．设随机事件A,B互不相容，且P?A??0,P?B??0，则下列结论中一定成立的是( C )

(A) A,B为对立事件. (B) A,B互不相容. (C) A,B不独立. (D) A,B相互独立.

2．设A,B为随机事件，且0?P?A??1,P?B??0,P?BA??P?BA?，则必有( D )

(A)P?AB??PAB (B)??P?AB??PAB

??(C)P?AB??P?A?P?B? (D)P?AB??P?A?P?B?

3．设随机变量X~N(?,?2)，则概率P(X????)随着?的增大（ C ）

(A) 单调增大 (B)单调减小 (C) 保持不变 (D)增减不变

4．设二维随机变量?X,Y?的分布律为

Y X 0 1 则E（XY）=（ B ）

0 1 1 31 31 (D)91

1 30 1 3(A)

?1 (B)90 (C)5．总体X~N(?,?2)， X1,X2,X3,X4为取自总体X的简单随机样本，其中?未知，则以下关

1211111?4?x1中，?2?x1?x2?x3，??3?x1?x2，? (x1?x2?x3?x4)，?7455566哪一个是无偏估计？（ A ） ?1?于?的四个估计：?(A)?1 (B)??2 (C)??3 (D)??4 ?6. 设X1,X2,X3,X4为取自正态分布总体N(0,32)的样本，CX1X22?X32?X42~t(3)，则

C?（ C ）

(A)1 (B)2 (C)3 (D)2

二、填空题（每题3分，共30分）

1.设A与B是两个随机事件,已知P(A)?0.2,P(B)?0.3和P(A?B)?0.4,则

P(AB)?__0.1___. 2．如果每次试验的成功率都是p，并且已知三次独立重复试验中至少成功一次的概率为19/27，则

p=1/3 x?a?0,?3. 设随机变量X的分布函数为F(x)??0.4,a?x?b，其中0?a?b，

?1,x?b?则P?a?b??a?X??= 0.4．

2??25，则P(Y?1)= 65/81 94. 设随机变量X~B(2,p)，Y~B(4,p)，若P(X?1) = 5．设随机变量X~P(1)，则PX?E(X2)?e???12．

??12,6. 设随机变量X~R(0,2),则Y?2X?1的概率密度函数fY(y)????0,x?(0,2)其他

7．设随机变量X与Y相互独立，且X~N?1,2?,Y~N?0,1?,则Z?2X?Y?3~N?5,9?. 8．设X1，X2，Y均为随机变量，已知Cov(X1,Y)=?1，Cov(X2,Y)=3,则Cov(X1+2X2,Y) = 5.

2X12?X2?X329．设X1,X2,?,X6是来自正态总体N?0,1?的样本，则统计量2～F?3,3?.(写出分 22X4?X5?X6 2

布类型及参数)

10．设总体X~P(?)（??0），X1,X2,?,Xn为总体的一个样本，其样本均值x?2，则参数?的 ?= 2 . 矩估计值?三、计算题（共52分）

1．（10分）某人下午5：00下班，他所积累的资料表明： 到家时间 5：35~5：39 5：40~5：44 5：45~5：49 5：50~5：54 迟于5：54 乘地铁到 家的概率 乘公交到 家的概率 0.10 0.25 0.45 0.15 0.05 0.30 0.35 0.20 0.10 0.05 某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘公交，结果他是5：47到家的，问他是乘什么交通工具回家的可能性大？ 解：设

B表示“他是5：47到家”，A1表示“乘地铁到家”，A2表示“乘公交到家”；

因此人是抛硬币决定乘地铁还是公交，故P(A1)＝P(A2)＝0.5；由题设中的表格可知：

P(B|A1)?0.45， P(B|A2)?0.20

故由贝叶斯公式可知，所求事件的概率为：

P(A1|B)?P(B|A1)P(A1)0.5?0.459??

P(B)0.5?0.45?0.5?0.2013P(B|A2)P(A2)0.5?0.204??

P(B)0.5?0.45?0.5?0.2013P(A2|B)?所以他乘地铁到家的可能性大。

?a?1?3,x?22．（10分）（10分）（理工类）已知随机变量X的分布函数为：F(x)??， x?x?2?0,求：（1）常数a；(2) PX?E(X?1)?D(X?1) 解：（1）F(x-2)=F(2)=1-??a=0，则a=8; 8?24?4,x?2?(2)f(x)=F(x)??x;

??0,x?2

3

E(X?1)?EX?1??E?X2????xf?x?dx?1????2??2x?24dx?1?3?1?2; x4???????xf?x?dx??2x2?24dx?12; x4D?X?1??DX?E?X2??E2?X??12-9=3;

P?X?E(X?1)?D(X?1)?=P?X?2?3?=P??1?X?5???5224117dx?; x4125x?0?0,?3（经管类）已知随机变量X的分布函数为：F(x)??ax,0?x?2

?1,x?2?求：（1）常数a；(2) P(X?E(X)); (3)E(5X2?1) 解：（1）F(x-2)=F(2)=8a=1，则a=;

2318?32?x,0?x?2(2)f(x)=F?(x)??8;

?其他?0,222??2232E(X)?EX??xf?x?dx??x?xdx?1; 333??3081321P(X?E(X))=P(X?1)=P(?1?X?1)=?x2dx?;

0838??2222232(3)E(5X?1)?5E?X??1?5?xf?x?dx?1?5?x?xdx?1?11;

??083．（10分）设二维随机向量?X,Y?的联合分布列为:

X Y 1 2 0 0.1 0.3 1 0.2 2 0.1 0.2 a 试求：（1）a的值；（2）X与Y是否独立？为什么？（3）E?2X?3Y? 解：（1）由归一性可得：0.9?a?1,?a?0.1

（2）至少存在 p01?0.1?p0?p?1?0.4?0.4 故 X与Y不是相互独立的

4

（3）E?X??0?0.4?1?0.3?2?0.3?0.9，E?Y??1?0.4?2?0.6?1.6 ?E?2X?3Y??2E?X??3E?Y???3

4．（12分）（理工类）设二维随机变量?X,Y?在区域D:0?x?1,y?x内服从均匀分布，求： （1）关于X的边缘密度函数；（2）Z?2X?1的方差D(Z) 解：

??(x?y),0?x?2,0?y?4（经管类）设二维随机变量?X,Y?的概率密度为f(x,y)??

0其他?求：(1) ?的值; （2）X与Y是否独立？为什么？(3) P(X?Y?4) (1) ??15;（2）X与Y不独立 (3) P(X?Y?4)? 1612????1?x?,0?x?15．（10分）设总体X的概率密度函数为f(x)??，其中???1为未知参数，

其它.?0,而X1,X2,?,Xn是总体X的简单随机样本,求参数?的极大似然估计量. 解：

?n ?(??1) 1.构造似然函数：L(x1,...,xn;?)???0, ?

?x?,ii?1n0?xi?1;其它

5

2.取对数：lnL?nln(??1)???lnxii?1nndlnLn3.建立似然方程：???lnxi?0,d???1i?1????nn?1,lnXi??1i6

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