量子力学讲义34

第3章 量子力学中的力学量

§1 算符的运算规则

一、算符的定义：

算符代表对波函数进行某种运算或变换的符号。

??v Au表示?把函数u变成 v， ?就是这种变换的算符。为强调算符的特点，常常在算符的符号上方加一个“^”号。但在不会引起误解的地方，也常把“^”略去。 二、算符的一般特性 1、线性算符

满足如下运算规律的算符?，称为线性算符

?(c??c?)?cA??? A11221?1?c2A2其中c1, c2是任意复常数，?1, ?2是任意两个波函数。

????i??， 例如：动量算符p单位算符I是线性算符。 2、算符相等

?对体系的任何波函数?的运算结果都相同，即A???B??，则算符?和算若两个算符?、B??B?相等记为A?。 符B3、算符之和

????B???B??，?对体系的任何波函数?有：?)??A???CB?C??若两个算符?、则AB(A称为算符之和。

??B?，A??B??A??(B?)?(A??B? ??C?)?C A4、算符之积

??，定义为 ?之积，记为AB 算符?与B??)??A?(B?? ??)?C(AB???BA??。 ?是任意波函数。一般来说算符之积不满足交换律，即AB5、对易关系

1

???BA??，则称?与B?不对易。 若AB?B?，则称?与B??B?A?对易。 若A????BA?和B??， 则称A?反对易。 若算符满足AB?不对易 ?x???x??x(?i?)???i?x? 证明：(1) xp?x?x???xx??(?i?)x???i???i?x? (2) p?x?x?x??i?例如：算符x, p显然二者结果不相等，所以：

?x?p?xx xp?x?p?xx)??i?? (xp因为?是体系的任意波函数，所以

?x?p?xx?i? 对易关系 xp同理可证其它坐标算符与共轭动量满足

?z?p?zz?i? ?y?p?yy?i?，zp yp但是坐标算符与其非共轭动量对易，各动量之间相互对易。

?y?p?yx?0?yp?x?p?xz?0?x?p?xy?0??xp?zp ?，?，?

?????z?p?zx?0?ypz?pzy?0??xp?zpy?pyz?0?????????x??p? ppy??pyx0，pypz?pzpy?0，pzpx?pxpz?0

??y????zp?x?p?xp?z?0 ?yp?z?p?zp?y?0，p xy?x0，p写成通式(概括起来)：

???p??x??i???? (1) x?p??x???x??x???0 x??p???p??p???0 其中?,??x,y,z或1,2,3 p量子力学中最基本的对易关系。

?对易，B?与?对易，不能推知?与?对易与否。 注意：当?与B2

6、对易括号(对易式)

为了表述简洁，运算便利和研究量子力学与经典力学的关系，人们定义了对易括号：

?,B???BA?]?AB?? [A这样一来，坐标和动量的对易关系可改写成如下形式：

??]?i???? [x?,p不难证明对易括号满足下列代数恒等式：

?,B?] ?]??[B?,A1) [A?,B?]?[A?,B?,C?] ??C?]?[A2) [A?,kB?,B?,BC?,C?]?[A?,B? ，[AB??,C?]?A?[B?]?[A?,C?]B?]?k[A?] ??]?B?[A?]C?,C?，[A3) [A?,[B?]]?[B?,A?]]?[C?,[A?,B?,C?,[C?]]?0 ——称为 Jacobi 恒等式。 4) [A

角动量的对易式：

(1)在直角坐标系中角动量算符的对易关系

???????????i?r???l?xex?l?yey?l?zez 角动量算符l?r?p?l?在直角坐标中的三个分量可表示为

??yp?z?zp?y??i?(y lx??zp?x?xp?z??i?(z ly???z) ?z?y???x) ?x?z??xp?y?yp?x??i?(x lz???y) ?y?x[l?x,l?y]?i?l?z，[l?y,l?z]?i?l?x，[l?z,l?x]?i?l?y （要求会证明）

?l?l?i?l

???????????l?l?i?l? 是角动量算符的定义式。

?,? [l??i??l?]

????3

?l式中????称淡Levi-Civita符号，是一个三阶反对称张量，定义如下： ????????????????????123?1

其中?,??x,y,z或1,2,3

?]?i??x或 [l?,x]?i??x ?,??x,y,z证明：[x?,l ?????????????,l??]?i?????p?? 或 [l??? [p?,p?]?i?????p?

??[l?,l?2]?0

(2)在球坐标系中角动量算符的对易关系

??i?(sin???ctg?cos??) lx???????i?(cos???ctg?sin??) ly???????i?? lz???1??1??22(sin?)?2] l???[sin?????sin?????l?x,l?y,l?z和l2只与?,? 有关，与r 无关，而且l?z只与? 有关。

?2?2?2 ???2?2 2?x?y?z21?2?1??1?2 ?2 (r)?(sin?)?2?rr2sin?????r?rrsin2???2???222??prprll?22或 ???2?22??2?22

??r??r?r?其中p??11?2??r2???22?r可称为径向动量算符。 (?),p(r)，pi?rr?r?rr (3)角动量升降阶算符 (I) 定义

l???l?x?il?y，l???l?x?il?y

4

显然有如下性质

l????l??， l????l??

这两个算符不是厄密算符。 (II) 对易关系

????2,l?]?0l?l??l?2?l?2??l?l?l??l?2?l?2??l????[l， ，，[lz,l?]???l????zz??zz

7、逆算符

??1??? (1). 定义: 设??=?, 能够唯一的解出?， 则可定义算符?之逆?-1为: A (2).性质I: 若算符?之逆?-1存在，则

???1?A??1A??I, AA?,A??1]?0 [A?均存在逆算符, 则 (3).性质II: 若?,B??)?1?B??1 ??1A(AB8、算符函数

设给定一函数F(x)，其各阶导数均存在，其幂级数展开收敛

F(n)(0)nF(x)??x

n!n?0?则可定义算符?的函数F(?)为:

(n)F(0)?n?)?F(AA ?n!n?0?补充：定义一个量子体系的任意两个波函数(态) ?与?的“标积”

* (?,?)?d???

??d?是指对体系的全部空间坐标进行积分，d?是坐标空间体积元。例如

对于一维粒子：d?? 对于三维粒子：d??可以证明

5

???????dx dxdydz

??????

?2?2能量本征方程表为 ???E?

2I??2m2?2?0 ? ?的本征值为：Em?2I相应的本征函数为： ?m(?)?1im?e，m?0,?1,?2,? 2?5、空间转子的能量本征值与本征态：

l2 绕一固定点转动的空间转子的能量经典表达式为E?，I为转动惯量，l为角动

2I量。

??2l(l?1)?2l? H?? ?的本征值为：El?2I2I

相应的本征函数为：Ylm(?,?)， l?0,1,2,?；m?0,?1,?2,?

?Y??l(l?1)?m(m?1)Y例：证明l?lml,m?1??(l?m)(l?m?1)Yl,m?1

例：证明在lz本征态Ylm下，lx?ly?0

§3 厄米算符的本征值与本征函数

一、厄米算符的平均值

定理I：体系任何状态?下，其厄米算符的平均值必为实数。（证明） 逆定理：在任何状态下，平均值均为实数的算符必为厄米算符。（证明） 推论：设?为厄米算符，则在任意态?之下

2*?2??)*A???0 ??d?(A A?d??A??二、厄米算符的本征方程 1、涨落

2??A)2 涨落定义为(?A)?(A2??A)2?0 证明(?A)?(A2、力学量的本征方程

11

若体系处于一种特殊状态，在此状态下测量A所得结果是唯一确定的，即：

(?A)2?0

则称这种状态为力学量A的本征态。

??A????常数?? (A 或 A)?0可把常数记为An，把状态记为?n，于是得：

???A? (1) Annn其中An,?n分别称为算符?的本征值和相应的本征态，式(1)即算符?的本征方程。 定理II：厄米算符的本征值必为实。（证明） 三、量子力学中的力学量用线性厄米算符表示 1、表示力学量的算符必为线性算符； 2、表示力学量的算符必为厄密算符。 例1：例2：

???????*x?dx??(x?)*?dx （?x为实数）

??????x?dx??(p?x?)*?dx ?p??*?2?xp??V(x)为厄密算符 例3：证明H?2m综上所述：表示力学量的算符必为线性、厄密算符，线性厄密算符不一定是力学量算符。 3、力学量算符和力学量之间的关系

测量力学量A时所有可能出现的值，都对应于线性厄米算符?的本征值An（即测量值是本征值之一），该本征值由力学量算符?的本征方程

???A? n?1,2,? Annn当体系处于?的本征态?n时，则每次测量所得结果都是完全确定的，即An。 四、厄米算符的本征函数的正交性 1、 正交性的定义

*如果两函数?1和?2满足关系式?1?2d??0，则称?1和?2相互正交。

?2、定理III：厄米算符属于不同本征值的本征函数彼此正交。（证明）

??)*?d??A?*?d? (Am?mn?mn???(A

m??d??A?*?d? )*?nd????m*Ann?mn12

3、分立谱、连续谱正交归一表示式 (1). 分立谱正交归一条件分别为：

*?n??nd??1 归一化条件

* ?m?nd??0 (m?n) 正交性

?引用?mn称为克朗内克（Kronecker）符号，它具有如下性质： ?mn把(3)与(4)式合写为

* ?m?nd???mn

??0????1m?nm?n

?(2). 连续谱正交归一条件表示为：

?????d???(????)

?*(3). 正交归一系

满足上式的函数系?n或??称为正交归一（函数）系 4、简并情况

如果?的本征值An是fn度简并的，则属于本征值An的本征态有fn个：?n?，?=1,2,?, fn 满足本征方程：

???A? An?nn???1,2,?,fn

一般说来，这些函数并不一定正交。但是可以证明由这 fn 个函数可以线性组合成fn 个独立的新函数，它们仍属于本征值An且满足正交归一化条件。

算符?本征值An简并的本质是：当An确定后还不能唯一的确定状态，要想唯一的确定状态还得寻找另外一个或几个力学量算符，?算符与这些算符两两对易，其本征值与An一起共同确定状态。

综合上述讨论可得如下结论：既然厄米算符本征函数总可以取为正交归一化的，所以以后凡是提到厄米算符的本征函数时，都是正交归一化的，即组成正交归一系。 五、实例

（1）动量本征函数组成正交归一系

*?(r)?(r)dr??(p?p?) ?p ?p???????13

*?(r)??(r)dr?0 当p?p?时，?p?p???????与??相互正交。这是所有厄密算符的本征即属于动量算符不同本征值的两个本征函数?p?p函数所共有的。

（2）线性谐振子能量本征函数组成正交归一系 线性谐振子的能量本征函数 ?n?Nne 组成正交归一系：

1??2x22Hn(?x)

????*?n?n?dx??nn?

（3）角动量本征函数组成正交归一系 1. lz 本征函数 角动量算符l?z的本征函数 ?m(?)?1im?e (m?0,?1,?2,?) 2?一

系

：

组(7)

成正交归

?2?0*?m(?)?m?(?)d???mm?

?2本征函数 2. l?属于本征值l(l?1)?2的本征函数Y 角动量平方算符llm2 Ylm(?,?)?NlmPl组成正交归一系：

m(cos?)eim?

??0?2?0*Ylm(?,?)Yl?m(?,?)sin?d?d???ll? (8)

(7)和(8)可合写为

??0?2?0*Ylm(?,?)Yl?m?(?,?)sin?d?d???ll??mm? (9)

§4 算符与力学量的关系

一、力学量的可能值及其几率

有两点问题：

①. 测得每个本征值An的几率是多少？

②. 是否会出现各次测量都得到同一个本征值，即有确定值。 1、 力学量算符本征函数组成完备系

14

(1)、函数的完备性

有一组函数?n(x) (n=1,2,...)，如果任意函数? (x)可以按这组函数展开：??则称这组函数?n(x)是完备的。

(2)、力学量算符的本征函数组成完备系 若力学量算符?

?a?nnn

???A? Annn则任意函数? (x)可按?n(x)展开： ???a?nnn

量子力学认为：一切力学量算符的本征函数都组成完备系。 2、力学量的可能值和相应几率

???A? n?1,2,? Annn由于?n(x)组成完备系，所以体系任一状态? (x)可按其展开： ??展开系数an与x无关。

*an???n(x)?(x)dx（证明）

?a?nnn

|an|2具有几率的意义，an称为几率振幅。我们知道|? (x)|2表示在x点找到粒子的几率密度，| c(p)|2表示粒子具有动量p的几率，那末同样，|an|2则表示A取An的几率。 讨论： ? (x)是坐标空间的波函数； c(p)是动量空间的波函数；则{an}则是A空间的波函数，三者完全等价。|? (x)|2表示在x点找到粒子的几率密度，| c(p)|2表示粒子具有动量p的几率，那末同样，|an|2则表示A取An的几率。

证明：当? (x)已归一时，c(p)也是归一的，同样an也是归一的。（证明）

量子力学基本假定：任何力学量算符A的本征函数?n(x)组成正交归一完备系，在任意已归一态? (x)中测量力学量A得到本征值An的几率等于? (x)按?n(x)展开式： ??中对应本征函数?n(x)前的系数an的|an|2。

分析：(1)、根据态迭加原理，由(1) ?1? |a1|2 ?2? |a2|2 ?? ?n? |a n |2 (2)、根据前面的假设 ?1? A1 ?2? A2 ?? ?n? An

15

?a?nnn

则

?Hnm?Em?nm

0??a1(t)??a1(t)??E1??????d i?E2?a2(t)?????a2(t)?

dt???????????0????从而得 a1(t)?a1e0?iE1t?

a2(t)?a2e ?

所以，当

0?iE2t?

的表示为

? 不显含t，在H表象中?H0?iE1t????a1?e???iEt?0?a2e2?

??????? a1，a2,?由初态(t00（t?0时，?在H表象中表示） ?0)给出。

? 在任一表象中的方程 E1，E2?由 HH???E????0

求出。

§4 Dirac符号

量子力学可以不涉及具体表象来讨论粒子的状态和运动规律。这种抽象的描述方法是由Dirac首先引用的，所以该方法所使用的符号称为Dirac符号。 1、右矢空间

量子体系的一切可能状态构成一个Hilbert空间。空间中的一个矢量（方向）一般为复量，用以标记一个量子态。在抽象表象中Dirac用右矢空间的一个矢量 | >与量子状态相对应，该矢量称为右矢。若要标志某个特殊的态，则在右矢内标上某种记号。

因为力学量本征态构成完备系，所以本征函数所对应的右矢空间中的右矢也组成该空间的完备右矢（或基组），即右矢空间中的完备的基本矢量（简称基矢）。右矢空间的任一矢量 |?> 可按该空间的某一完备基矢展开。 例如：??2、左矢空间

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?annn

右矢空间中的每一个右矢量在左矢空间都有一个相对应的左矢量，记为 < |。左矢< |表示共轭空间中与| >相应的一个抽象态矢。例如：?是?的共轭态矢，x?是x?的共轭态矢等。 3、标积 态矢

?与?的标积(?,?)记为??，

而(?,?)?(?,?)*记为

???(?,?)

??若

*???

???0，则称?与?正交；若???1，则称?为归一化态矢。

设力学量完全集F的本征态（离散）记为|k>，它们的正交归一性表示为 kj??kj

连续谱的本征态的正交“归一性”，则表成?函数形式。

例如动量本征态，p?p????(p??p??)，坐标本征态，x?x????(x??x??)等。 在一个具体表象中如何计算标积，需要用到态矢在具体表象中的表示。 4、态矢在具体表象中的表示

在F表象中（基矢记为|k>），态矢|?>可用|k>展开，即

???akk (1)

k展开系数ak?(?k,?)记为

ak?k? (2)

是态矢|?>在基矢|k>上的投影（分量）。当所有ak都给定时，就确定了一个态?。所以这一组数?ak???k??就是态|?>在F表象中的表示，常写成列矢形式

?a1??1?????? a2??2??

????????????把式(2)代入式(1)，得

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???k?k??kk? (3)

kk式中kk是一个投影算符， Pk?kk

Pk对任何态矢|?>运算后，就得到态矢|?>在基矢|k>方向上的分量矢量， Pk??kk??akk

或者说Pk的作用是把任何态矢在|k>方向的分量挑选出来。 式(3)中|?>是任意的，因此

?kkk?1 （单位算符） (4)

这正是这一组基矢|k>的完备性的表现。本征矢|k>的封闭性。 在连续谱的情况，

??affdf (5) 左乘f?，

?f????aff?fdf ??af?(f??f)df?af?

代入式(5)，得 ????f??fdf??ff??df??ff?df? (6)

式(6)中?是任意的，因此

ff?df?1

式(4)中求和应换为积分。 例如，对于x?和p?分别有

?dx?x?x??1，?dp?p?p??1

这就是连续本征值的本征矢的封闭性。 由于

?kkk?1，?ff?df?1，?dx?x?x??1，?dp?p?p??1

所以它们也称为单位算符，在运算中可插入（乘到）公式任何地方而不改变原公式的正确性。 例如：在?左侧插入算符

?kkkk?1

???kk???k?k

k同理 ??dx?x?x??

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?即得态矢按各种力学量本征矢的展开式 在F表象中，两个态矢 所以

?与?的标积可如下计算。因为

kk???kk???k?k ???kk???k?k

kk?????kkk?k???kk?kk

kkk*???kk???bkak k*?a1??*????a2? ?????*??b1*b25、算符在具体表象中的表示

?运算后变成态矢 设态矢?经算符L

?，即

?? (7) ??L?j，式(7)左乘k，得 ?的矩阵表示为L?kL这里尚未涉及具体表象。在F表象中，Lkj k即 bk????jj? ?? ??kL??kLjkjj?Laj

bk?k?,aj?j?分别是态矢|?>和|?>在F表象中的表示。

力学量L的本征方程

???L?? L在F表象中表示为

???kL??? kL即

?kj?jLj??L?k?

?(Ljkj?L??kj)aj?0 (8)

?的本征方程在F表象中的表aj?j?是|?>在F表象中的基矢|j>方向的投影。式(8)即L述形式。

§5 表象变换，幺正变换

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（1）同一状态在不同表象中的表示间的关系

对于态 ? 在

? 表象中，其表示为 Fn?f?ff ???ff? fn??af Fnnnnnn即 ???fnaf

nn?中其表示为 在另一表象G bg?gm? m于是，

af?fn?

n ??fngmgm?

m ??Sfngmbgm

m（或F表象中的表示Sfngm是将态矢量在F表象中的表示，变换到G表象中表示的变换，以G表象中的表示来表出）

写成矩阵形式

?a1??S11??? ?a2???S21????????S12???b1????S22???b2?

?????????即 aF?SbG 在 F 表象中表示

fg?表象中表示 在G?算符的第l个S矩阵的矩阵元正是F表象基矢与G表象基矢的标积，其第l列，是G基矢在F表象中的表示。

?(SS?)fnfn???SfngmSg??fngmgmfn??fnfn???fnfn?

mfn?mm(S?S)gmgm???gmfnfngm??gmgm???gmgm?

n?是一个幺正算符。同一态矢量在不同表象中的表示之间是通过一个幺正变换联因此，S系起来的。

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