2010年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题参考答案

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2010年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题参考答案

一、选择题

(1)【答案】 (B).

x2?x1【解析】因为f(x)?21?2有间断点x?0,?1,又因为

x?1xlimf(x)?limx?0x(x?1)111?2?limx1?2, x?0(x?1)(x?1)xx?0xx1?其中lim?x?011?1,lim?x1???1,所以x?0为跳跃间断点. 22?x?0xx12,所以x?1为连续点. 1?1?22显然limf(x)?x?1而limf(x)?limx??1x(x?1)11?2??,所以x??1为无穷间断点,故答案选择B.

x??1(x?1)(x?1)x(2)【答案】 (A)．

【解析】因?y1??y2是y??P?x?y?0的解,故??y1??y2???P?x???y1??y2??0,所以

??y1??P?x?y1????y2??p(x)y2??0,

????而由已知 y1??P?x?y1?q?x?,y2??P?x?y2?q?x?,所以

?????q?x??0, ① 又由于一阶次微分方程y??p?x?y?q?x?是非齐的,由此可知q?x??0,所以????0． 由于?y1??y2是非齐次微分方程y??P?x?y?q?x?的解,所以

??y1??y2???P?x???y1??y2??q?x?,

整理得 ??y1??P?x?y1????y2??P?x?y2??q?x?,

????即 ?????q?x??q?x?,由q?x??0可知????1, ② 由①②求解得????1,故应选(A)． 2www.lookwell.com.cn ;免费考研辅导视频 乐考无忧官方考研交流群：341384403

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(3)【答案】 (C).

【解析】因为曲线y?x2与曲线y?alnx(a?0)相切,所以在切点处两个曲线的斜率相同,所以

2x?aaa,即x?(x?0).又因为两个曲线在切点的坐标是相同的,所以在y?x2上,当x?x22aaaaa；在y?alnx上,x?时, y?aln?ln. 22222时y?aaa?ln?.从而解得a?2e.故答案选择(C). 222(4)【答案】 (D).

【解析】x?0与x?1都是瑕点.应分成

所以

?1mln2?1?x?n0xdx??1m20ln2?1?x?nxdx??11mln2?1?x?n2x1mdx,

[ln(1?x)]2用比较判别法的极限形式,对于?1m20ln2?1?x?nxdx,由于lim?x?0x1x1n?1.

12?nm显然,当0?12??1,则该反常积分收敛. nm21mmln1?x??12[ln(1?x)]2dx实际上不是反常积分,故收敛. 当??0,lim存在,此时?1n0x?0nmxn12?x故不论m,n是什么正整数,?不论m,n是什么正整数,

1m20ln2?1?x?nxdx总收敛.对于?11mln2?1?x?n2xdx,取0???1,

[ln(1?x)]x?121m1mlim?x1(1?x)?1n??limln(1?x)(1?x)?0, ?2x?1所以?11mln2?1?x?n2xdx收敛,故选(D).

(5) 【答案】 (B).

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?y??z?yz????F??F?F??F?????122212Fx?yF1??zF2??zx?x???xx【解析】??, ????1?xFz?F2?xF2?F2??x1F1??zx, ??????1?y??FzF2F2??xFy?F1???z?zyF1??zF2?yF1?F2??zx?y????z． ?x?yF2?F2?F2? (6) 【答案】 (D). 【解析】?i?1nnnnn1n1nn?()() ?()????22?2222n?jn?in?in?jj?1i?1j?1?n?i??n?j?i?1j?1n1n1n11lim?2?lim?dy, ?22?0n??n??jnj?11?()21?yj?1n?jnn11n1n1lim??lim???dx,

01?xn??n??nin?ii?1i?11?()nnnnn11lim???lim()() ?22?22n??n??i?1j?1?n?i??n?j?j?1n?ji?1n?innn?(lim?2)(lim) ?2n??n??i?1n?ij?1n?jnnn?(?111111dx)(?dy)?dx?0?0?1?x??1?y2?dy. 01?x01?y21 (7) 【答案】 (A)．

【解析】由于向量组I能由向量组II线性表示,所以r(I)?r(II),即

r(?1,若向量组I线性无关,则r(?1,(8) 【答案】 (D).

,?r)?r(?1,,?s)?s ,?r)?r(?1,,?s)?s,即r?s,选(A).

,?r)?r,所以r?r(?1,【解析】：设?为A的特征值,由于A2?A?O,所以?2???0,即(??1)??0,这样A的特征值

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只能为-1或0. 由于A为实对称矩阵,故A可相似对角化,即A?, r(A)?r(?)?3,因此,

??1???1??????1?1?,即A????. ??????1??1?????0?0???二、填空题

(9)【答案】y?C1e2x?C2cosx?C3sinx.

【解析】该常系数线性齐次微分方程的特征方程为 ?3?2?2???2?0,因式分解得

?2???2?????2?????2???2?1??0,

解得特征根为??2,???i,所以通解为 y?C1e2x?C2cosx?C3sinx. (10) 【答案】y?2x.

2x32x【解析】因为lim?1?2,所以函数存在斜渐近线,又因为 x??x2x32x3?2x3?2xlim2?2x?lim?0,所以斜渐近线方程为y?2x. x??x?1x??x2?1(11)【答案】?2n??n?1?!.

【解析】由高阶导数公式可知ln(n)(1?x)?(?1)n?1(n?1)!, n(1?x)所以 ln(n)?1?2x??(?1)n?1(n?1)!nn(n?1)!??2??2, ??(1?2x)n(1?2x)n即y(n)(0)??2n(n?1)!n??2(n?1)!. n(1?2?0)(12)【答案】2?e??1?.

【解析】因为 0????,所以对数螺线r?e?的极坐标弧长公式为

?(13)【答案】3cm/s.

?0?e????e??d?=?22?02?e?d?=2?e??1?.

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【解析】设l?x(t),w?y(t),由题意知,在t?t0时刻x(t0)?12,y(t0)?5,且x?(t0)?2, y?(t0)?3,设该对角线长为S(t),则 S(t)?x2(t)?y2(t),所以

S?(t)?x(t)x?(t)?y(t)y?(t)x(t)?y(t)?22. 所以 S?(t0)?(14)【答案】3.

x(t0)x?(t0)?y(t0)y?(t0)x(t0)?y(t0)2212?2?5?312?522?3.

【解析】由于A(A?1?B)B?1?(E?AB)B?1?B?1?A,所以

A?B?1?A(A?1?B)B?1?AA?1?BB?1

因为B?2,所以B?1?B?1?1,因此 21?3. 22A?B?1?AA?1?BB?1?3?2?三、解答题

(15)【解析】因为f(x)??(x?t)edt?x1x22?t22?x21x2edt??te?tdt,

12?t2x2所以f?(x)?2x?edt?2xe1x224x2?t23?x4?2xe3?x4?2x?e?tdt,令f?(x)?0,则x?0,x??1.

1又f??(x)?2?e?tdt?4x2e?x,则f??(0)?2?e?tdt?0,所以

1021f(0)??是极大值.

01121(0?t)e?tdt??e?t?(1?e?1)

22021而f??(?1)?4e?1?0,所以f(?1)?0为极小值.

又因为当x?1时,f?(x)?0；0?x?1时,f?(x)?0；?1?x?0时,f?(x)?0；x??1时,

f?(x)?0,所以f(x)的单调递减区间为(??,?1)(?1,0)?(1?,.

n(0,,f(x)的单调递增区间为

(16) 【解析】 (I)当0?x?1时0?ln(1?x)?x,故?ln(1?t)??tn,所以

lnt?ln(1?t)??lnttn,

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n

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则 ?lnt?ln(1?t)?dt??lnttndt?n?1,2,001n1?.

(II)?lnttndt???lnt?tndt??0011111n?1lntdt ,故由 ????20n?1?n?1?10?un??lnttndt?01?n?1?2,

根据夹逼定理得0?limun?limn??n??1?n?1?2?0,所以limun?0.

n?? (17)【解析】根据题意得

????t??d??????t??2t?2??2???t?2t?2??222t?2???t?dy??3dt??? ?,2dx2t?24?1?t?2t?2dxdt22dydydt?dxdxdt即????t??2t?2??2???t??6?t?1?,整理有????t??t?1?????t??3?t?1?,解

???t??????t???3?t?1??1?t?1??y?y?3?1?t?. ,令,即y??t???1?t???1??5,???1??6??211dt???dt??1?t1?t所以y?edt?C???1?t??3t?C?,t??1.因为y?1?????1??6,所以C?0,??3?1?t?e??故y?3t?t?1?,即???t??3t?t?1?,

3故??t???3t?t?1?dt?t2?t3?C1．

253又由??1??,所以C1?0,故??t??t2?t3,(t??1).

22(18)【解析】油罐放平,截面如图建立坐标系之后,边界椭圆的方程为：

x2y2??1 a2b2阴影部分的面积

S??b2?b2ab2222xdy?b?ydy ??bbwww.lookwell.com.cn ;免费考研辅导视频 乐考无忧官方考研交流群：341384403

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令y?bsint,y??b时t????2;y?2b?时t?. 26?1123S?2ab?6?costdt?2ab?6?(?cos2t)dt?(??)ab

??23422223所以油的质量m?(??)abl?.

34(19)【解析】由复合函数链式法则得

?u?u???u???u?u, ???????x???x?y?x?????u?u???u???u?u?????a?b?, ?y???y???y?????2u???u?u??2u???2u???2u???2u?? ??????2?????2?2?x?x?????????x?????x???x?????x?2u?2u?2u?2?2?2, ?????????2u???u?u??2u???2u???2u???2u?? ??????2?????2??x?y?y?????????y?????y???y?????y?2u?2u?2u ?a2?b2?(a?b),

?????????2u???u?u??2u?2u?2u?2u??a?b)?b(a2?a) ??a(a2?b2?y?y??????????????????2?2u?2u2?u ?a?b?2ab, 22????????2?2u?u2?2u故42?12?52

?x?x?y?y?2u?2u?2u2?(5a?12a?4)2?(5b?12b?4)2??12(a?b)?10ab?8??0,

????????2?5a2?1a2??4??0?2所以 ?5b?1b2??40,

?12a(?b?)ab1?0??8?0www.lookwell.com.cn ;免费考研辅导视频 乐考无忧官方考研交流群：341384403

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则a??2222或?2,b??或?2.又因为当(a,b)为(?2,?2),(?,?)时方程(3)不满足,所以当555522(a,b)为(?,?2)?,(?2,?)满足题意.

55D(20)【解析】I???r2sin?1?r2cos2?drd?

???rsin?1?r2?cos2??sin2???rdrd?

D???y1?x2?y2dxdy

D??dx?011x031?22?y1?x?ydy???1??1?x??dx 03??22111??dx???1?x03301322?1?13dx???2cos4?d????.

303161?1?(21)【解析】令F?x??f?x??x3,对于F?x?在?0,?上利用拉格朗日中值定理,得存在

3?2????0,?, 使得

2?1?1?F???F?0??F????．

2?2??1??1?对于F?x?在?,1?上利用拉格朗日中值定理,得存在???,1?,使得

?2??2??1?1F?1??F???F????,

?2?2??1?两式相加得 f?????f??????2??2.

?1??1?所以存在???0,?,???,1?,使f?????f??????2??2.

?2??2?(22) 【解析】因为方程组有两个不同的解,所以可以判断方程组增广矩阵的秩小于3,进而可

以通过秩的关系求解方程组中未知参数,有以下两种方法.

方法1：( I )已知Ax?b有2个不同的解,故r(A)?r(A)?3,对增广矩阵进行初等行变换,得

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11a??11?1???????A??0??101???0??101?

?1?1?1?11a??????1??1???0??10?01??1??2?1??11???1???0??102?0a???01??????1? a???1??1?1111??1111?????当??1时,A??0001???0001?,此时,r(A)?r(A),故Ax?b无解(舍去)．

?000a??0000??????11?11???1?,由于r(A)?r(A)?3,所以a??2,故???1 ,a??2. 当???1时,A??0?20?000a?2???方法2：已知Ax?b有2个不同的解,故r(A)?r(A)?3,因此A?0,即

?11A?0??10?(??1)2(??1)?0,

11?知??1或-1.

当??1时,r(A)?1?r(A)?2,此时,Ax?b无解,因此???1.由r(A)?r(A),得a??2. ( II ) 对增广矩阵做初等行变换

3??10?1?2???111?2??1?1?12???1? ?????A??0?201???020?1??010??2??11?11??0000???????0000???????3??2?3?x1?1?????x1?x3??1?????2可知原方程组等价为?,写成向量的形式,即?x2??x3?0?????.

???x??1??2??x??12?3???0???2?????www.lookwell.com.cn ;免费考研辅导视频 乐考无忧官方考研交流群：341384403

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?3??2?1????1??因此Ax?b的通解为x?k?0????? ,其中k为任意常数.

???1??2???0???????0?14???(23)【解析】由于A???13a?,存在正交矩阵Q,使得QTAQ为对角阵,且Q的第一列为

?4a0???11(1,2,1)T,故A对应于?1的特征向量为?1?(1,2,1)T.

66???根据特征值和特征向量的定义,有?A?????1????6??2?????1?6??1????6??1??6?2?,即 ?6?1??6??0?14??1??1??0?14??????????13a2??2A??13?1,由此可得.故a??1,??211????????. ?4a0??1??1??4?10??????????1?41?(??4)(??2)(??5)?0,

由?E?A?1??3?41?可得A的特征值为?1?2,?2??4,?3?5.

??41?4??x1?????由(?2E?A)x?0,即?1?71??x2??0,可解得对应于?2??4的线性无关的特征向量

??41?4??x????3?为?2?(?1,0,1)T.

?51?4??x1?????由(?3E?A)x?0,即?121??x2??0,可解得对应于?3?5的特征向量为

??415??x????3??3?(1,?1,1)T.

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由于A为实对称矩阵,?1,?2,?3为对应于不同特征值的特征向量,所以?1,?2,?3相互正交,只需单位化：

?1???1?111?(1,2,1)T,?2?2?(?1,0,1)T,?3?3?(1,?1,1)T, ?16??1?6取Q???,?22,?3???1??6??1?6

?22?33?11?23??2?0?1??,则QTAQ?????4?3????.

11???5??23??www.lookwell.com.cn ;免费考研辅导视频 乐考无忧官方考研交流群：341384403

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由于A为实对称矩阵,?1,?2,?3为对应于不同特征值的特征向量,所以?1,?2,?3相互正交,只需单位化：

?1???1?111?(1,2,1)T,?2?2?(?1,0,1)T,?3?3?(1,?1,1)T, ?16??1?6取Q???,?22,?3???1??6??1?6

?22?33?11?23??2?0?1??,则QTAQ?????4?3????.

11???5??23??www.lookwell.com.cn ;免费考研辅导视频 乐考无忧官方考研交流群：341384403

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