向量代数与空间解析几何1

第六章 空间解析几何与向量代数

第六章 空间解析几何与向量代数

第二十二讲 §6.1 向量及其运算

教学目的：理解向量的概念及其表示；掌握向量的运算，了解两个向量垂直、平行的条件；掌握空间直角坐标系的概念，能利用坐标作向量的线性运算；

教学重点与难点

重点：向量的概念及向量的运算。难点：运算法则的掌握 教学过程： 一、向量

既有大小又有方向的量称作向量

通常用一条有向线段来表示向量? 有向线段的长度表示向量的大小? 有向线段的方向表示向量的方向.

向量的表示方法有两种? a、AB?

向量的模：向量的大小叫做向量的模? 向量a、AB的模分别记为|a|、|AB|? 单位向量： 模等于1的向量叫做单位向量?

零向量： 模等于0的向量叫做零向量? 记作0?规定：0方向可以看作是任意的? 相等向量：方向相同大小相等的向量称为相等向量 平行向量（亦称共线向量）： 两个非零向量如果它们的方向相同或相反? 就称这两个向量平行?记作a // b?规定： 零向量与任何向量都平行?

二、向量运算 向量的加法

向量的加法? 设有两个向量a与b? 平移向量使b的起点与a的终点重合? 此时从a的起点到b的终点的向量c称为向量a与b的和? 记作a+b? 即c?a+b . 当向量a与b不平行时? 平移向量使a与b的起点重合? 以a、b为邻边作一平行四边形? 从公共起点到对角的向量等于向量a与b的和a?b? ? 向量的减法?

设有两个向量a与b? 平移向量使b的起点与a的起点重合? 此时连接两向量终点且指向被减数的向量就是差向量。

AB?AO?OB?OB?OA?

2、向量与数的乘法

向量与数的乘法的定义?

向量a与实数?的乘积记作?a? 规定?a是一个向量? 它的模|?a|?|?||a|? 它的方向当?>0时与a相同? 当?<0时与a相反?

(1)结合律 ?(?a)??(?a)?(??)a； (2)分配律 (???)a??a??a；

?(a?b)??a??b?

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第六章 空间解析几何与向量代数

例1 在平行四边形ABCD中? 设AB?a? AD?b?

试用a和b表示向量MA、MB、MC、MD? 其中M是平行四边形对角线的交点? 解 ：a?b?AC?2AM于是 MA??1(a?b)?

2 因为MC??MA? 所以

??????????????????????????????????????????MC?1(a?b)?

2??? 又因?a?b?BD?2MD? 所以MD?1(b?a)?

2 由于MB??MD? 所以MB?1(a?b)?

2 定理1 设向量a ? 0? 那么? 向量b平行于a的充分必要条件是? 存在唯一的实数?? 使 b ? ?a? ?

三、空间直角坐标系

过空间一个点O，作三条互相垂直的数轴，它们都以O为原点。这三条数轴分别叫做x轴（横轴）、y轴（纵轴）、z轴（竖轴），统称为坐标轴。三条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面，这样定出的三个平面统称为坐标面。其中x轴与y轴所确定的平面叫做xOy面，y轴与z轴所确定的平面叫做yOz面，z轴与x轴所确定的平面叫做zOx面。三个坐标面把空间分成八个部分，每一部分叫做卦限。含x轴、y轴、z轴正半轴的那个卦限叫做第I卦限，其它第Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ卦限，在xOy坐标面的上方，按逆时针方向确定。第Ⅴ到第Ⅷ卦限分别在第Ⅰ到第Ⅳ卦限的下方（如图）。

z Ⅲ Ⅱ

Ⅰ Ⅳ y O Ⅶ Ⅵ

Ⅷ

x Ⅴ

设P为空间一点，过点P分别作垂直x轴、y轴、z轴的平面，顺次与x轴、y轴、z轴交于PX，PY，PZ，这三点分别在各自的轴上对应的实数值x，y，z称为点P在x轴、y轴、z轴上的坐标，由此唯一确定的有序数组（x，y，z）称为点P的坐标。依次称x，y和z为点P的横坐标、纵坐标和竖坐标，并通常记为P（x，y，z）。

坐标面上和坐标轴上的点? 其坐标各有一定的特征? 例如? 点M在yOz面上? 则x?0? 同相? 在zOx面上的点? y?0? 在xOy面上的点? z?0? 如果点M在x轴上? 则y?z?0? 同样在y轴上,有z?x?0? 在z轴上 的点? 有x?y?0? 如果点M为原点? 则x?y?z?0.

四、利用坐标作向量的线性运算

对向量进行加、减及与数相乘，只需对向量的各个坐标分别进行相应的数量运算

利用向量的坐标判断两个向量的平行? 设a?(ax? ay? az)?0? b?(bx? by? bz)? 向量b//a?b??a ?

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第六章 空间解析几何与向量代数

即b//a?(bx? by? bz)??(ax? ay? az)? 于是

bxbybz??? ?axayaz?5x?3y?a例2求解以向量为未知元的线性方程组??

3x?2y?b?其中a?(2? 1? 2)? b?(?1? 1? ?2).

解 如同解二元一次线性方程组? 可得 x?2a?3b? y?3a?5b ? 以a、b的坐标表示式代入? 即得

x?2(2? 1? 2)?3(?1? 1? ?2)?(7? ?1? 10)? y?3(2? 1? 2)?5(?1? 1? ?2)?(11? ?2? 16)?

例3已知两点A(x1? y1? z1)和B(x2? y2? z2)以及实数???1? 在直线AB上求一点M? 使AM??MB?

解 设所求点为M (x? y? z)? 则AM?(x?x1, y?y1, z?z1)? MB?(x2?x, y2?y, z2?z)? 依题意有

AM??MB? 即

??????(x?x1? y?y1? z?z1)??(x2?x? y2?y? z2?z)

x?x1??x2y??y2z??z2? y?1? z?1? 1??1??1????点M叫做有向线段AB的定比分点? 当??1? 点M的有向线段AB的中点? 其坐标为

x?x1?x2y?yz?z? y?12? z?12? 222

第二十三讲 §6.2 空间向量数量积与向量积

教学目的：掌握向量的数量积、向量积的定义及数量积的性质；掌握其计算方法。 教学重点与难点：数量积与向量积的计算方法。 教学过程：

一、两向量的数量积

数量积的物理背景:?设一物体在常力F作用下沿直线从点M1移动到点M2??以s表示位移M1M2??由物理学知道??力F所作的功为

W?? |F| |s| cos? ??

其中? 为F与s的夹角??

数量积??对于两个向量a和b??它们的模?|a|、|b|?及它们的夹角? 的余弦的乘积称为向量a和b的数量积?记作a?b??即

a·b?|a| |b| cos? ??????

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数量积与投影??

?当a?0时??|b| cos(a?^ b)?是向量b在向量a的方向上的投影? 数量积的性质??

(1)? a·a???|a| 2???

(2) a、b??为非零向量， a·b??0是 a?b的充要条件?数量积的运算律?? (1)交换律?? a·b?? b·a? (2)分配律???(a?b)?c?a?c?b?c ? (3)?(?a)·b?? a·(?b)?? ?(a·b)?? 数量积的坐标表示??

设a?(ax? ay? az )??b?(bx? by? bz )? 则a·b?axbx?ayby?azbz ?

axbx?ayby?azbz设?是a与b的夹角，则当a?0、b?0时??有cos??a?b?

22222|a||b|a2?a?ab?b?bxyzxyz复习高中时的有代表性的例题

例1 一质点在力F=4i + 2j +2k的作用下,从点A(2, 1, 0)移动到点B(5, –2, 6) ,求F所做的功及F与AB间的夹角.

解 由数量积的定义知, F所做的功是W=F.s, 其中s=AB=3i– 3j+6k是路程向量, 故

W=F.s=(4 i + 2j +2k).( 3i– 3j+6k )=18.

如果力的单位是牛顿(N),位移的单位是米(m),则F所做的功是18焦耳(J).再由式(6.7),有 cos? =

F?s181==, Fs42?22?2232?(?3)2?622因此, F与s的夹角为?=

?. 3a?b10?2?10==6. b4?1?4例2 求向量a=(5, –2, 5)在 b=(2, 1, 2)上的投影. 解 Cos=

二、两向量的向量积

向量积??设向量c、 a、b满足：c的模?|c|?|a||b|sin ? ??其中? 为a与b间的夹角；c的方向垂直于a与b所决定的平面??c的指向按右手规则从a转向b来确定??则称向量c是a与b的向量积??记作a?b??即

c?? a?b??

向量积的运算律??

(1) 交换律a?b????b?a?

(2) 分配律??(a?b)?c???a?c???b?c??

(3) (?a)?b???a?(?b)????(a?b) (?为数)??

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第六章 空间解析几何与向量代数

向量积的坐标表示??若a?? ax i ? ay j ? az k???b?? bx i ? by j ? bz k?? 则

ijk a?b? axayaz

bxbybz=

aybyazbzi – axbxazbzj + axbxaybyk .

??????????????????( ay bz ? az by) i ? ( az bx ? ax bz) j ? ( ax by ? ay bx) k????

例3 设a=(1,2,–2), b=(–2,1,0), 求a?b及与a、b都垂直的单位向量.

2?21?21212?2 解 a?b ==i –j +k

?2010?21?210 = 2i +4j +5k . 所求的单位向量为?ijk122?(4)2?52(2i +4j +5k)=?5(2i +4j +5k ). 15

例4 已知三角形ABC的顶点分别是A (1??2??3)、B (3??4??5)、C (2??4??7)??求三角形ABC的面积??

解 根据向量积的定义??可知三角形ABC的面积

????11S?ABC?|AB||AC|sin?A?|AB?AC|?? 22?由于AB?(2??2??2)???AC?(1??2??4)???因此

ijk?AB?AC?222?4i?6j?2k?

124???于是 S?ABC?1|4i?6j?2k|?142?(?6)2?22?14???

22例5设a=(–2, 3, 1), b=(0,–1, 1), c=(1, –1, 4),三个向量是否共面?

解 因为r =a?b与a、b所确定的平面垂直,所以当a、b、c三个向量共面时, 应该有 r⊥c ,即r .c=0.

ir =a?b=?2j3k0所以有

1=(4, 2, 2) ,

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