初三数学寒假课程10（杭州分公司）-旋转问题

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第十讲 旋转问题

教 学 目 标 教学重点 教学难点 教学方法建议 旋转在三种题型中的应用 旋转在三种题型中的应用 讲练结合，讲授、讨论结合． A类 选材程度及数量 B类 C类 （ 3 ）道 （ 2 ）道 （ 3 ）道 （ 1 ）道 （ 3 ）道 （ 2 ）道 课堂精讲例题 （ 1 ）道 搭配课堂训练题 （ 2 ）道 课后作业 （ 3 ）道 （1）使学生掌握旋转的本质以及旋转的性质 （2）使学生掌握旋转在三种题型中的应用 （3）使学生掌握何时可以利用旋转做辅助线 一、 知识梳理

旋转作为图形变换的重要手段之一，是中考命题的重点。 1、旋转的性质

①旋转前、后的图形全等； ②对应点到旋转中心的距离相等；

③对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角. 2、利用旋转变换解题的主要特征

一般情况下，当一个几何命题中存在或隐含两个特殊多边形时，且满足这两个特殊多边形在某个顶点处共点时，可能形成旋转变换的情况．

而从两个图形或图形元素之间的关系而言，当需要移动其中一个图形构成可以使用某个定理或某个关系时，才可能需要利用旋转变换的知识支持． 3、主要题型以及分类

旋转的分类方法有很多，比如可以按照旋转的角度来分类；也可以按照旋转图形的类型来进行分类。本课程，我们以中考实战要求来分类，共分为三类：

（1）求角度

（2）求线段长度或者数量关系

1

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（3）求面积

二、方法归类

1、旋转方法主要用途是把分散的元素通过旋转集中起来，从而为证题创造必要的条件。 2、旋转时要注意旋转中心、旋转方向、旋转角度的大小（三要素：中心、方向、大小）； 3、旋转方法常用于等腰三角形、等边三角形及正方形等图形中，一般要用到勾股定理。

三、课堂精讲例题

（一）、求角度

例1、如图所示，△ABC中，∠ACB=120°，将该图形绕点C按顺时针旋转30°后，得到△A′B′C，则?ACB?的度数是 。 【难度分级】A类 〖试题来源〗经典例题 〖选题意图〗旋转性质③的应用

图1

〖解题思路〗根据性质③，?BCB???ACA??30，所以?ACB???ACB??BCB??150 〖答案〗：150°

例2、如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P1AB，则点P与P1之间的距离为 ，∠APB= 【难度分级】B类

〖试题来源〗2006青岛中考数学真题 〖选题意图〗旋转性质的应用

〖解题思路〗根据旋转的性质，我们知道：PA?PA， 1,考虑到ABC是等边三角形，所以APP1也是等边三角形，PC?PB1，?PAC??PAB1因此，PP1PB是直角三角形，即?P1?6，利用勾股定理可知：P1PB?90，所以，

BB'CAA'?APB??APP1??PPB?150 1〖答案〗：6，150°

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【搭配课堂训练题】

1、如图所示，在△ABC中，AB=AC,且AB⊥AC,P为△ABC内部一点，且PA=2，PB=1，PC=3，求∠APB的度数. 【难度分级】B类 〖试题来源〗经典例题 〖答案〗：

解：将AP绕点A逆时针旋转90至AQ，AQ=AP，连接AQ，PQ，CQ，

易证?APB≌?AQC，所以PB?QC，

??APB??AQC，又AQ=AP=2，∠PAQ=90?

所以PQ=22，又PB?QC?1，PC=3， 所以PQ2?QC2?PC2，所以?PQC?90?， 所以?AQC??AQP??PQC?135?， 所以?APB??AQC?135?。

（二）、求线段长度或者数量关系

例3、如图所示，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，且∠EAF=45°. 连接EF，求证：BE+DF=EF. 【难度分级】B类 〖试题来源〗经典例题

〖选题意图〗使学生弄清楚，在何时应该利用旋转解题 〖解题思路〗1、由于此题中的ABE、ADF有一个公共点A，

而且?DAF??BAE??EAF，所以此题拥有利用旋转解题的一切条件。

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2、将AF绕点A顺时针旋转90至AP（也可以旋转ADF）

，AP=AF，连接AP，PB， 易证?ADF≌?ABP，所以，P，B，E在同一直线上，易?APE≌?AFE，所以PE?FE，因此BE+DF=EF 〖答案〗：

证：将AF绕点A顺时针旋转90至AP，AP=AF，连接AP，PB， 易证?ADF≌?ABP，

?∴DF?BP，?ABP??ADF?90，

??∵?ABE?90

∴P，B，E在同一直线上 ∵?PAF?90，∠EAF=45° ∴?PAE??FAE?45, 易证?APE≌?AFE ∴ PE?FE ∴BE+DF=EF

例4、（1）操作：如图7，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连MN。探究：线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明。

（2）若点M、N分别是射线AB、CA上的点，其它条件不变，再探索线段BM、MN、NC之间的关系，并说明理由． 【难度分级】C类

〖试题来源〗2006旅顺口区中考数学真题

〖选题意图〗使学生彻底掌握两个问题：1、何时利用旋转解题； 2、利用旋转解题时，应该注意哪些问题。

〖解题思路〗（1）把BDM绕点D顺时针旋转120°至DCM1，可证点 A、C、M1共线，由旋转的性质得：DM＝DM1，

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∠M1DN＝∠MDN＝60°，所以△MDN≌△M1DN，所以，

MN＝NM1＝NC＋CM1＝NC＋MB （2）方法和证明同（1） 〖解析〗：BM＋CN＝MN

DM绕点D顺时针旋转120°至DCM1，证明：（1）把B

由已知条件知：∠ABC＝∠ACB＝60°，∠DBC＝∠DCB＝30°

∴∠ABD＝∠ACD＝90° ∴ 点 A、C、M1共线 由旋转的性质得：DM＝DM1， ∠M1DN＝∠MDN＝60° ∴△MDN≌△M1DN ∴MN＝NM1＝NC＋CM1＝NC＋MB

（2）CN－BM＝MN

证明：如图，把BDM绕点D顺时针旋转120°至DCM1，

∵∠ABC＝∠ACB＝60°，∠DBC＝∠DCB＝30° ∴∠DBM＝∠DCM1＝90° ∴ 点 A、C、M1共线

由旋转的性质得：DM＝DM1， ∠M1DN＝∠MDN＝60° ∴△MDN≌△M1DN

∴MN＝NM1＝NC－CM1＝NC－MB

【搭配课堂训练题】

1、如图所示，在△ABC中，AB=AC,且AB⊥AC，D、E为BC边上的点，且∠DAE=45°，

求证：BD?CE?DE. 【难度分级】B类 〖试题来源〗经典例题 〖答案〗：

证明：将AD绕点A逆时针旋转90至AF，AF=AD，连接AF，EF，CF， 易证?ADB≌?AFC，

5

?222

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?∴DB?FC，?ACF??B?45，

∵AB=AC,且AB⊥AC，∠DAE=45° ∴?DAE??FAE?45,

?ECF??ACF??ACB?90

易证?ADE≌?AFE ∴DE?FE

∴BD?CE?DE.

2、如图12，若四边形ABCD、四边形GFED都是正方形，显然图中有AG=CE，AG⊥CE. （1）当正方形GFED绕D旋转到如图13的位置时，AG=CE是否成立？若成立，请给出证

明；若不成立，请说明理由.

（2）当正方形GFED绕D旋转到如图14的位置时，延长CE交AG于H，交AD于M. ① 求证：AG⊥CH；

②当AD=4，DG=2时，求CH的长.

G

B 图12 A

G F D E

B 图13

C

B

图14

A

F E D

A

H G 1 D

F M P E 2 C

222C

【难度分级】C类

〖试题来源〗2010湖南常德中考真题 〖答案〗：

解：（1）AG?CE成立．

?四边形ABCD、四边形DEFG是正方形， ∴GD?DE,AD?DC,

∠GDE?∠ADC?90?.

∴∠GDA?90°-∠ADE?∠EDC. ∴△AGD?△CED. ∴AG?CE.

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（2）①类似（1）可得△AGD?△CED， ∴∠1＝∠2

又∵∠HMA＝∠DMC.

∴∠AHM?∠ADC＝90?. 即AG?CH.

②过G作GP?AD于P,

由题意有GP?PD?2?sin45??1,

GP1?. AP3DM1 而∠1＝∠2，∴tan∠2＝＝tan∠1＝.

DC348 ∴DM? ，即AM?AD?DM?.

33 ∴AP?3，则tan∠1＝

4?＝ 在Rt?DMC中，CM?CD2?DM2＝42?????3?2410, 3

AHAM而?AMH∽?CMD,∴, 即AH?3, ?DCCM441038∴AH?410. 5

再连接AC，显然有AC?42,

∴CH?AC2?AH2??42?

2?410?810. ?????5?5??2 所求CH的长为

810. 5

（三）、求面积

例5、将△ABC绕点B逆时针旋转到△A?BC?使A、B、C?在

，AB?4cm，则图同一直线上，若?BCA?90°，?BAC?30°中阴影部分面积为 cm2． 【难度分级】B类

〖试题来源〗2009年凉山州中考数学真题 〖选题意图〗旋转性质的应用

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〖解题思路〗：由旋转的性质，我们知道，阴影部分的面积是一个扇环的面积，其中，圆心

120??42120??22??4? 角为120°，S?360360〖答案〗：4?

例6、把两个全等的等腰直角三角板ABC与EFG（其直角边长都为4）叠放在一起，（如图16）且使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合。现将三角板EFG绕O点顺时针旋转（旋转角α满足0°＜α＜90°），四边形CHGK是旋转过程中两个三角板的重叠部分（如图17）

1） 在上述旋转过程中，BH与CK有怎样的数量关系？四边形CHGK的面积有何变化？证

明你发现的结论。

2） 连接HK，在上述旋转过程中，设BH=x, △GKH的面积为y，求y与x之间的函数关系

式，并写出自变量x的取值范围。

3） 在2）的前提下，是否存在某一位置，使△GKH的面积恰好等于△ABC的面积的

若存在，求出此时x的值；若不存在，说明理由。

5？16

【难度分级】C类

〖试题来源〗2004青岛中考数学真题 〖选题意图〗旋转性质的综合应用

〖解题思路〗：（1）连接CG，易证△BGH≌△CGK，所以S△BGH=S△CGK， 所以 SCHGK?SCHG?SCGK?SCHG?SBGH?SGBC11???4?4?4所以不会改变； 22（2）连接HK后，由S△GHK=S四边形CHGK-S△CHK，可得出关于x，y的函数关系式．x的取值范

围应该大于零小于4；

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（3）只需将y?可． 〖答案〗：

5?8代入（2）的函数式中，可得出x的值．然后判断x是否符合要求即16（1）在上述旋转过程中，BH=CK，四边形CHGK的面积不变． 证明：连接CG，

∵△ABC为等腰直角三角形，O（G）为其斜边中点， ∴CG=BG，CG⊥AB， ∴∠ACG=∠B=45°，

∵∠BGH与∠CGK均为旋转角， ∴∠BGH=∠CGK， ∴△BGH≌△CGK， ∴BH=CK，S△BGH=S△CGK． ∴SCHGK?SCHG?SCGK?SCHG?SBGH?SGBC11???4?4?4 22即：S四边形CHGK的面积为4，是一个定值，在旋转过程中没有变化； （2）∵AC=BC=4，BH=x， ∴CH=4-x，CK=x． 由S△GHK=S四边形CHGK-S△CHK， 得y?4?11x(4?x)?x2?2x?4 22∵0°＜α＜90°， ∴0＜x＜4； （3）存在． 根据题意，得

125x?2x?4??8 2165 16D A

B? 9

解这个方程，得x1=1，x2=3，

即：当x=1或x=3时，△GHK的面积均等于△ABC的面积的

【搭配课堂训练题】

1、如图．边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积

D? C E B C?

图18

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是 ． 【难度分级】A类

〖试题来源〗2009青岛中考真题 〖答案〗：

2?1

2、如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30?到正方形AB?C?D?，则它们的公共部分的面积等于（ ）.

1333A．1? B．1? C． D．

2343

【难度分级】A类

〖试题来源〗2010吉林通化中考真题 〖答案〗：D

C B B? C? D A 图19 D? 3、如图，在RtABC中，?A?90,AB?3cm，AC?4cm，以斜边BC上距离B点3cm的点P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90至DEF则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积是 cm 【难度分级】B类

〖试题来源〗2002山东济南中考真题 〖答案〗：1.44

2

四、巩固练习

基础训练题（A类）

1、如图，将?ABC绕点A顺时针旋转60°后，得到?AB'C'，且C'为BC的中点，则C'D:DB'等于（ ）

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A. 1：2 B.1:22 C.1:3 D.1：3 〖答案〗：D

2、如图，O为矩形ABCD的中心，将直角三角板的直角顶点与O点重合，转动三角板使两直角边始终与BC,AB相交，交点分别为M,N.如果AB?4,AD?6,OM?x,ON?y，则

y与x的关系式为（ ）

A.y?263x B.y? C.y?x D.y?x 32x〖答案〗：D

3、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，将Rt△

ABC绕A点逆时针旋转30°后得

到直角△ADE，点B经过的路径为BD，则图中阴影部分 的面积是___________. 【答案】?.

16提高训练（B类）

1、如图，在△ABC中，AB=BC，将△ABC绕点B顺时针旋转?度，得到△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC、BC于点D、F，下列结论：①∠CDF=?，②A1E=CF，③DF=FC，④AD=CE，⑤A1F=CE．其中正确的是___________________（写出正确结论的序号）．

图24

【答案】①②⑤

2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°, ∠B =60°，BC=2．点0是AC的中点，过点0的直线l从与AC

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重合的位置开始，绕点0作逆时针旋转，交AB边于点D.过点C作CE∥AB交直线l于点E，设直线l的旋转角为α.

(1)①当α=________度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为_________； ②当α=________度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为_________； (2)当α=90°时,判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由． 【答案】

（1）①30，1；②60，1.5；

（2）当∠α=90时，四边形EDBC是菱形. ∵∠α=∠ACB=90，∴BC//ED.

∵CE//AB, ∴四边形EDBC是平行四边形. 在Rt△ABC中，∠ACB=90，∠B=60,BC=2,

∴∠A=30.

0

0

0

0

0

∴AB=4,AC=23. ∴AO=

1AC=3 . 20

在Rt△AOD中，∠A=30，∴AD=2. ∴BD=2. ∴BD=BC.

又∵四边形EDBC是平行四边形， ∴四边形EDBC是菱形

，3、已知Rt△ABC中，AC?BC，∠C?90?，D为AB边的中点，?EDF?90° ?EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F．

当?EDF绕D点旋转到DE?AC于E时（如图26），易证S△DEF?S△CEF?1S△ABC． 2当?EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图27和图28这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，S△DEF、S△CEF、S△ABC又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．

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A A

A D

E C

D E C

图27

F

B

E

图28

D

C

B

B F

F 图26 【答案】

图27成立；图28不成立． 证明：如图29

过点D作DM?AC，DN?BC 则?DME??DNF??MDN?90°

再证?MDE??NDF，DM?DN 有△DME≌△DNF ?S△DME?S△ DNDECF△DEFA M E C

N

D

F

B

图29

?S四边形DMCN?S四边形?S?△S FCE 由信息可知S四边形DMCN? ?S△DEF?S△1S△ABC 2 ABC1?SCEF△2 图28不成立，S△DEF、S△CEF、S△ABC的关系是： S△DEF?S△?FCE1S△2 ABC综合迁移（C类）

1、如图30，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE，GC。

（1）试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论。

（2）将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E

落在BC边上，如图31，连接AE和GC，你认为（1）中的结论是否还成立？若

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成立，给出证明：若不成立，请说明理由。

【答案】（1）答：AE?GC.

证明：延长GC交AE于点H 在正方形ABCD与正方形DEFG中，

AD?DC,?ADE??CDG?90? DE?DG,??ADE??CDG. ??1??2.

??2??3?90?,??1??3?90? ??AHG?180??(?1??3) ?180??90??90? ?AE?GC.

（2）答：成立

证明：延长AE和GC相交于点H。 在正方形ABCD和正方形DEFG中，

AD?DC,DE?DG,?ADC??DCB??B??BAD??EDG?90? ??1??2?90???3 ??ADE??CDG ??5??4

又?5??6?90?

?4??7?90,又?6??AEB?90?，

?AEB??CEH

??CEH??7?90?,??EHC?90?,?AE?GC.

2.已知Rt△ABC中，?ACB?90?，CA?CB，有一个圆心角为45?，半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线AB交于点M，N． （Ⅰ）当扇形CEF绕点C在?ACB的内部旋转时，如图32，求证：MN2?AM2?BN2；

C A E M N F 图32

B

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思路点拨：考虑MN2?AM2?BN2符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连DN，只需证DN?BN，?MDN?90?就可以了．

请你完成证明过程：

（Ⅱ）当扇形CEF绕点C旋转至图33的位置时，关系式MN2?AM2?BN2是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

C E M A N F 图33

B （Ⅰ）证明 将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连DN， ACM则△DCM≌△

．

有CD?CA，DM?AM，?DCM??ACM，?CDM??A． 又由CA?CB，得 CD?CB．

由?DCN??ECF??DCM?45???DCM， ?BCN??ACB??ECF??ACM ?90??45???ACM?45???ACM，

得?DCN??BCN． 又CN?CN， CDN∴△

CBN≌△

．

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有DN?BN，?CDN??B．

?MDN??CDM??CDN??A??B?90?． ∴

∴在Rt△MDN中，由勾股定理，

得MN2?DM2?DN2．即MN2?AM2?BN2． （Ⅱ）关系式MN2?AM2?BN2仍然成立． 证明 将△ACM沿直线CE对折，得△GCM，连GN， ACM则△GCM≌△

．

有CG?CA，GM?AM，

?GCM??ACM，?CGM??CAM．

又由CA?CB，得 CG?CB．

由?GCN??GCM??ECF??GCM?45?，

?BCN??ACB??ACN?90??(?ECF??ACM)?45???ACM．

得?GCN??BCN． 又CN?CN， CGN∴△

CBN≌△

．

有GN?BN，?CGN??B?45?，?CGM??CAM?180???CAB?135?， ?MGN??CGM??CGN?135??45??90?． ∴

∴在Rt△MGN中，由勾股定理，

得MN2?GM2?GN2．即MN2?AM2?BN2．

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有DN?BN，?CDN??B．

?MDN??CDM??CDN??A??B?90?． ∴

∴在Rt△MDN中，由勾股定理，

得MN2?DM2?DN2．即MN2?AM2?BN2． （Ⅱ）关系式MN2?AM2?BN2仍然成立． 证明 将△ACM沿直线CE对折，得△GCM，连GN， ACM则△GCM≌△

．

有CG?CA，GM?AM，

?GCM??ACM，?CGM??CAM．

又由CA?CB，得 CG?CB．

由?GCN??GCM??ECF??GCM?45?，

?BCN??ACB??ACN?90??(?ECF??ACM)?45???ACM．

得?GCN??BCN． 又CN?CN， CGN∴△

CBN≌△

．

有GN?BN，?CGN??B?45?，?CGM??CAM?180???CAB?135?， ?MGN??CGM??CGN?135??45??90?． ∴

∴在Rt△MGN中，由勾股定理，

得MN2?GM2?GN2．即MN2?AM2?BN2．

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/yc15.html