2013初三数学相似压轴习题

初三数学压轴题

1.已知AB?2，AD?4，?DAB?90?，AD∥BC（如图）．E是射线BC上的动点（点E与点B不重合），M是线段DE的中点．

（1）设BE?x，△ABM的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；

（2）联结BD，交线段AM于点N，如果以A，N，D为顶点的三角形与△BME相似，求线段BE的长． A

D

A

D

M B C B E C

备用图

2.已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=4，P是斜边AB上的一个动点，PD⊥AB，交边AC于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且∠EPD=∠A．设A、P两点的距离为x，△BEP的面积为y． B （1）求证：AE=2PE；

（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域； （3）当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积． P A C D E

（第2题）

3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，将三角板中一个30°角的顶点D放在AB边上移动，使这个30°角的两边分别与△ABC的边AC、BC相交于点E、F，且使DE始终与AB垂直． （1）画出符合条件的图形．连结EF后，写出与△ABC一定相似的三角形； （2）设AD=x，CF=y ．求y与x之间函数解析式，并写出函数的定义域；

C （3）如果△CEF与△DEF相似，求AD的长．

30° B A 4．有一张矩形纸片ABCD，已知AB=2，AD=5。把这张纸片折叠，使点A落在边BC上的点E处，折痕为MN，MN交AB于M，交AD于N。

（1）若BE=2，试画出折痕MN的位置，并求这时AM的长。

（2）点E在BC上运动时，设BE=x，AN=y，试求y关于x的函数解析式，并写出定义域。

(3 ) 连接DE，是否存在这样的点E，使得△AME与△DNE相似？若存在，请求出这时BE的长；若不存在，请说明理由。 A D

C B

5.（08山东济宁26题）△ABC中，?C?90?，?A?60?，AC?2cm．长为1cm的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动（运动前点M与点A重合）．过M，N分别作AB的垂线交直角边于P，Q两点，线段MN运动的时间为ts．

（1）若△AMP的面积为y，写出y与t的函数关系式（写出自变量t的取值范围）；

（2）线段MN运动过程中，四边形MNQP有可能成为矩形吗？若有可能，求出此时t的值；若不可能，说明理由；

（3）t为何值时，以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？

6．如图，已知AB⊥MN，垂足为点B，P是射线BN上的一个动点，AC⊥AP，∠ACP=∠BAP，AB=4，BP=x，CP=y，点C到MN的距离为线段CD的长． （1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域．

（2）在点P的运动过程中，点C到MN的距离是否会发生变化？如果发生变化，请用x的代数式表示这段距离；如果不发生变化，请求出这段距离．

（3）试问△DPC是否有可能与△ABP相似，如有可能，请求出PD的长；如不可能，请说明理由；

7．如图8，在?ABC中，?C?90?，AC?6，AC:BC=3:4，D是BC边的中点，E为AB边上的一个动点，作?DEF?90?，EF交射线BC于点F．设BE?x，?BED的面积为y．

（1）求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）如果以B、E、F为顶点的三角形与?BED相似，求?BED的面积.

E

B · D F C C B D

图8 备用图

9. 把两块全等的直角三角形ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜

A A 边中点O重合，其中?ABC??DEF?90?，?C??F?45?，AB?DE?4，把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点O旋转，设射线DE与射线AB相交于点P，射线DF与线段BC相交于点Q．（1）如图

9，当射线DF经过点B，即点Q与点B重合时，易证△APD∽△CDQ．此时，AP ·CQ? ．（2）将三角板DEF由图1所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转，设旋转角为?．其中

0???90??，问AP·CQ的值是否改变？说明你的理由．

（3）在（2）的条件下，设CQ?x，两块三角板重叠面积为y，求y与x的函数关系式．

Ａ

A

Ｄ(Ｏ) Ｄ(Ｏ)

P Ｐ E Ｄ(Ｏ) Ｃ Ｂ Ｍ Ｃ Ｑ Ｅ Ｂ Ｑ

C Ｅ B(Q)

Ｆ

Ｐ Ｆ F

图1 图3 图3

10.正方形ABCD边长为2 ，F为AB的中点，E点是线段DC上的一个动点，连接EF，作EF的垂线，

交线段AB于G点，设DE=x,GE=y. (1) 问有几对相似三角形？并证明。

（2）求出y与x的函数关系式，并求出定义域。

（3）连接AC，与FG,EG分别交于M,N两点。是否存在△AMF与△CEN相似。相似的求出DE，不相似的说明理由

Ａ AGBFDEC

AMGBFNA M DEC

B P

C 11. 如图，在△ABC中，AB=AC=5cm，BC=8，点P为BC边上一动点（不与点B、C重合），过点P作

射线PM交AC于点M，使∠APM=∠B． （1）求证： △ABP∽△PCM；

（2）设BP=x，CM=y．求 y与x的函数解析式，并写出函数的定义域． （3）当△PCM为直角三角形时, 求点P、B之间的距离．

12.如图，梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD=BC=4,AD=2.点M是边BC的中点，以M为顶点作 ∠EMF＝∠B，射线ME交边AB于点E，射线MF交边CD于点F，连接EF。 （1）指出图中所有与△BME相似的三角形，并加以证明； （2）如果△BME是以BM为腰的等腰三角形，求EF的长。

A D F E B ADM C 13. .如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB?DC?5,?MEN=2，BC=8，?MEN??B．

的顶点E在边BC上移动，一条边始终经过点A，另一边与CD交于点F，联接AF．

（1）设BE?x,DF?y，试建立y关于x的函数关系式，并写出函数定义域； （2）若△AEF为等腰三角形，求出BE的长．

BEMADNFADBC备用图

C14.已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且AD＝5，AB＝DC＝2．

（1）如图，P为AD上的一点，满足∠BPC＝∠A． ①求证；△ABP∽△DPC ②求AP的长．

（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不

满足∠BPE＝∠A，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么

①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；

②当CE＝1时，写出AP的长（不必写出解题过程）．

15.如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=5，AD=20，BC=26，P是边BC上的一个动点，∠APQ=∠B，PQ交射线AD于点Q．设点P到点B的距离为x，点Q到点D的距离为y． （1）用含x的代数式表示AP的长．

（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域．

（3）△CPQ与△ABP能否相似？如果能，请求出BP 的长；如果不能，请说明理由． (4) △CDQ为等腰三角形时，求CQ的值. （图） C

D A Q

A D B P B C P

第（1）题

20.如图，AB⊥BD，CD⊥BD，B、D分别为垂足.

C

(1)已知：∠APC=90o， 求证：△ABP∽△PDC. A (2)已知：AB=2，CD=3，BD=7，点P是线段BD 上的一动点，若使点P分别与A、B和C、D构

D B P 成的两个三角形相似，求线段PB的值.

第（2）题

(3)已知：AB=2，CD=3，点P是直线BD上的

一动点，设PB=x，BD=y，使点P分别与

重合），且

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