高中数学知识要点重温(14)曲线与方程、圆的方程

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高中数学知识要点重温（14）曲线与方程、圆的方程

1．曲线C的方程为:f(x,y)=0 曲线C上任意一点P（x0,y0）的坐标满足方程f(x,y)=0，即f（x0,y0）=0；且以f(x,y)=0的任意一组解（x0,y0）为坐标的点P（x0,y0）在曲线C上。 依据该定义：已知点在曲线上即知点的坐标满足曲线方程；求证点在曲线上也只需证点的坐标满足曲线方程。求动点P(x,y)的轨迹方程即求点P的坐标(x,y)满足的方程（等式）。求动点轨迹方程的步骤：①建系，写（设）出相关点的坐标、线的方程，动点坐标一般设为(x,y)，②分析动点满足的条件，并用等式描述这些条件，③化简，④验证：满足条件的点的坐标都是方程的解，且以方程的解为坐标的点都满足条件。

[举例1] 方程(x y 1)x2 y2 4 0所表示的曲线是： （ ）

A B C D x y 1 022解析：原方程等价于： 2，或x y 4； 2

x y 4

其中当x y 1 0需x y 4有意义，等式才成立，即x y

2

2

2222

4，此时它表示直线

x y 1 0上不在圆x y 4内的部分，这是极易出错的一个环节。选D。

[举例2] 已知点A（－1，0），B（2，0），动点M满足2∠MAB=∠MBA，求点M的轨迹方程。 解析：如何体现动点M满足的条件2∠MAB=∠MBA 是解决本题的关键。用动点M的坐标体现2∠MAB=∠MBA 的最佳载体是直线MA、MB的斜率。

设M（x， y），∠MAB= ，则∠MBA=2 ，它们是直线 MA、MB的倾角还是倾角的补角，与点M在x轴的上方 还是下方有关；以下讨论：

① 若点M在x轴的上方, (00,900),y 0, 此时，直线MA的倾角为 ，MB的倾角为 -2 ，

tan kMA

yx 1

,tan( 2 )

yx 2

, （2 900）

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tan( 2 ) tan2 ,

yx 2

2

1

yx 1

2y

2

,

(x 1)

得： x

2

y

2

3

1，∵MA MB, x 1．

当2 900时, =450， MAB为等腰直角三角形,此时点M的坐标为(2,3)，它满足上述方程．

②当点M在x轴的下方时, y＜０，同理可得点M的轨迹方程为x

2

y

2

3

1(x 1),

③当点M在线段AB上时,也满足2∠MAB=∠MBA,此时y=0(-1＜ｘ＜２)． 综上所求点的轨迹方程为x

2

y

2

3

1(x 1)或y 0( 1 x 2)．

[巩固1]右图的曲线是以原点为圆心，1为半径的圆的一部分， 则它的方程是

A．（x y2）·（y x2）=0 B．（x y2）·（y x2）=0 C．（x y2）·（y x2）=0 D．（x y2）·（y x2）=0

[巩固2]已知点R（-3，0），点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足RP·PM=0，2PM+3MQ=0，当点P移动时，求M点的轨迹方程。

[迁移]正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点M是棱AB的中点，点P是平面ABCD上的一动点，

且点P到直线A1D1的距离两倍的平方比到点M的距离的平方大4，则点P的轨迹为： A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线

2．圆的标准方程刻画了圆的位置特点（圆心与半径），圆的一般方程反映了圆的代数特点（二元二次方程Ax+By+Cxy+Dx+Ey+F=0 A=B≠0，C=0,且D+E-4AF>0）。判断点P（x0,y0）与⊙M：(x-a)2+(y-b)2= r2的位置关系，用|PM|与r的大小，即：|PM|>r (x0-a)2+(y0-b)2> r2 P在⊙M外；|PM|<r (x0-a)2+(y0-b)2< r2 P在⊙M内；|PM|=r (x0-a)2+(y0-b)2= r2 P在⊙M上。过两个定点A、B的圆,圆心在线段AB的中垂线上。

[举例1]一圆经过A（4，2），B（-1，3）两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为2，则圆的方程为 。

解析：研究圆在坐标轴上的截距，宜用一般方程（因为与圆心、半径没有直接联系），设圆的

2

2

2

2

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方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,∵圆过点A、B，∴4D+2E+F+20=0 ①，-D+3E+F+10=0 ②， 圆在x轴上的截距即圆与x轴交点的横坐标，当y=0时，x2+Dx+F=0，x1+x2=-D 圆在y轴上的截距即圆与y轴交点的纵坐标，当x=0时，y+Ey+F=0，y1+y2=-E 由题意知：-D-E=2 ③，解①②③得D=-2，E=0，F=-12。

[举例2]若存在实数k使得直线l：kx-y-k+2=0与圆C：x+2ax+y-a+2=0无公共点，则实数a的取值范围是： 。

解析：本题看似直线远的位置关系问题，其实不然。注意到直线l对任意的实数k恒过定点 M（1，2），要存在实数k使得直线l与⊙C相离，当且仅当M点在圆外；方程x2+2ax+y2-a+2=0 变形为：(x+a)2+y2= a2+a-2, M点在⊙C外 (1+a)2+4>a2+a-2>0，解得：-7<a<-2或a>1. 注：本题中a+a-2>0是极易疏漏的一个潜在要求。

[巩固1]过点A（3，-2），B（2，1）且圆心在直线x-2y-3=0上的圆的方程是 。 [巩固2]已知定点M(x0,y0)在第一象限，过M点的两圆与坐标轴相切，它们的半径分别为r1， r2,则r1r2= 。

[迁移] 关于曲线C:x4 y2 1给出下列说法：①关于直线y 0对称；②关于直线x 0对称；③关于点(0,0)对称；④关于直线y x对称；⑤是封闭图形，面积小于 ；⑥是封闭图形，面积大于 ；则其中正确说法的序号是

3．涉及直线与圆的位置关系的问题，宜用圆心到直线的距离d来研究。d=r（r为圆的半径）

直线与圆相切；过圆x+y=r上一点M(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y=r；过圆x+y=r外一点

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

M(x0,y0)作圆的两条切线，则两切点A、B连线的直线方程为x0x+y0y=r2。过⊙A外一点P作圆的切线PQ（Q为切点），则|PQ|=|PA|2 r2。d<r 直线与圆相交，弦长|AB|=2r d

2

2

;

22

过直线Ax+By+C=0与圆：x y Dx Ey F=0的交点的圆系方程：

x y Dx Ey F+ （Ax+By+C）=0 。d>r 直线与圆相离,圆周上的点到直线距

2

2

离的最小值为d-r，最大值为d+r。

[举例1] 从直线x-y+3=0上的点向圆(x 2) (y 2) 1引切线，则切线长的最小值是

322

2

324

322

2

2

A. B.

2

C.

2

D. -1

解析：圆(x 2) (y 2) 1的圆心A（-2，-2），直线x-y+3=0上任一点P，过引圆的切线PQ（Q为切点），则|PQ|=|PA| 1，当且仅当|PA|最小时|PQ|最小，易见|PA|的最小值

322

2

2

即A到直线x-y+3=0的距离，为，此时|PQ|=，选B。

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[举例2] 能够使得圆x2 y2 2x 4y 1 0上恰有两个点到直线2x y c 0距离等于1的c的一个值为：A．2

C．3 D

．

解析：本题如果设圆上一点的坐标，用点到直线的距离公式得到一个方程，进而研究方程解的个数，将是非常麻烦的。注意到圆心M（1，-2），半径r=2，结合图形容易知道，当且仅当M到直线l：2x y c 0的距离d∈（1，3）时，⊙M上恰有两个点到直线l的距离等于1，

|c|5

由d=∈（1，3）得：c ( 35, 5) (5,35)，选C。

2

2

[巩固1] 若直线(1+a)x+y+1=0与圆x+y－2x=0相切，则a的值为 （ ） （A）1，－1 （B）2，－2 （C）1 （D）－1

[巩固2]直线l1：y=kx+1与圆C：x2+y2+2kx+2my=0的两个交点A、B关于直线l2：x+y=0对称，则CA CB= 。

[迁移]实数x,y满足x y 2x 2y 1 0,则 A．[, )

34

2

2

y 4x 2

的取值范围为

43]

（ ）

43,0)

B．[0,]

3

4

C．( , D．[

4．判断两圆的位置关系用圆心距与它们半径和、差的大小。⊙M、⊙N的半径分别为r1、r2， |MN|>r1+r2 外离，|MN|=r1+r2 外切，|r1-r2|<|MN|<r1+r2 相交，此时，若⊙M： ⊙N：x y D2x E2y F2 0，过两圆交点的圆（系）x y D1x E1y F1 0，

的方程为：x y D1x E1y F1+ （x y D2x E2y F2）=0（⊙N除外）。

2

2

2

2

2

2

2

2

特别地：当 = -1时，该方程表示两圆的公共弦。连心线垂直平分公共弦。|MN|=|r1-r2| 内切，|MN|<|r1-r2| 内含。

[举例1]已知两圆O1：x2+y2=16，O2：(x-1)2+(y+2)2=9，两圆公共弦交直线O1O2于M点，则O1分有向线段MO2所成的比λ= （ ） A．

65

56

65

56

B． C．-

65

D．-，

125

解析：直线O1 O2：y= -2x，两圆公共弦：x-2y=6，于是有：M（公式不难得到λ的值，选C。

），有定比分点坐标

[举例2] 若A {(x,y)|x y 16},B {(x,y)|x (y 2) a 1}且A B B, 则a的取值范围是

（ ）

2222

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A．a 1 B．a 5 C．1 a 5 D．a 5

解析：集合A、B分别表示两个圆面（a=1时集B表示一个点），A∩B=B B A，即两圆内含；有两圆圆心分别为原点和（0，2），半径分别为4和a 1，于是有：2≤4-a 1,解得：

1 a 5，选C。

[巩固1]圆心在直线x y 4 0上,且经过两圆x2 y2 4x 3 0,x2 y2 4y 3 0的交点的圆的方程为

（ ）

A．x2 y2 6x 2y 3 0

C．x2 y2 6x 2y 3 0

B．x2 y2 6x 2y 3 0 D．x2 y2 6x 2y 3 0

[巩固2]若圆(x－a)2+(y－b)2=6始终平分圆x2+y2+2x+2y－3=0的周长，则动点M(a,b)的轨迹方程是

A.a+b－2a－2b+1=0 C.a+b－2a+2b+1=0

2

22

2

B.a+b+2a+2b+1=0 D.a+b+2a－2b+1=0

2

2

22

[迁移]与圆x2+y2 2x=0外切且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程为。 5.圆的参数方程的本质是sin2 + cos2 =1。参数方程的重要用途是设圆上一点的坐标时，可以减少一个变量，或者说坐标本身就已经体现出点在圆上的特点了，而无需再借助圆的方程来体现横纵坐标之间的关系。

[举例]已知圆x2 (y 1)2 1上任意一点P(x、y)都使不等式x+y+m 0成立，则m的取值范围是：A . [2 1, ) B ,0 C (2, ) D [1

2, ) （ ）

解析：不等式x+y+m 0恒成立 m -（x+y）恒成立，以下求-（x+y）的最大值：

记x= cos 、y=1+ sin ，-（x+y）= -( cos +1+ sin )= -1-2sin( +)≤-1+2,选A。

4

[巩固1] f( )

sin 2 cos

的最大值为

ab

34

[巩固2]在⊿ABC中，已知+PC2的最大值为

cosBcosA

，c=10,P是⊿ABC的内切圆上一点，则PA2+PB2

[迁移]动点P，Q坐标分别为p cos ，sin ，Q 3 sin ， 1 cos ，（ 是参数），则|PQ|的最大值与最小值的和为．

答案

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1．[巩固1] D,[巩固2]y2=4x (x>0),[迁移]在平面ABCD上建立平面直角坐标系，选C。 2、[巩固1] (x-1)2+(y+1)2= 5，[巩固2]∵点M在第一象限，∴过点M与两坐标轴相切的圆的方程可设为：(x-r)+(y-r)= r , ∵圆过M(x0,y0)点，∴(x0-r)+(y0-r)= r，整理得：

r2-2(x0+y0)r+ x02+y02=0,由题意知r1，r2为该方程的两根，故r1r2= x02+y02。[迁移]在曲线C上任取一点M(x0,y0)，x0+y0=1, ∵|x0|≤1, ∴x0≤x0, ∴x0+y0 ≥x0+y0=1,即点M在圆 x+y=1外，选①②③⑥；3、[巩固1]D，[巩固2]-1，[迁移]A；4、[巩固1]A，[巩固2]

22

圆x+y+2x+2y－3=0的圆心A（-1，-1），半径为5，⊙M始终平分⊙A的周长即 2

2

4

2

4

2

2

2

4

2

2

2

2

2

2

2

两圆的公共弦是⊙A的直径，A在直线：2(a+1)+2(b+1)y-(a+b)+3=0上，将a点坐标代入即得，选B；[迁移] y2 4x(x 0)和y 0(x 0)，5、[巩固1]1，[巩固2]易知⊿ABC为直角三角形，a=6,b=8,c=10,则内切圆半径r=2，以C为原点建系，设P(2cos ,2sin ), PA2+PB2+PC2=80-8sin ,最大值为88，[迁移] |PQ|的最大、最小值分别为

2，和为

22

2，注：题中参数 是同一个，因此点P，Q是互相有关联的，不是分别在两上圆上的任

意点．因此借助图形去直观地求解很容易出错。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ybu1.html