自动控制理论答案（孙扬声版）

T2-1 判断下列方程式所描述的系统的性质：线性或非线性，定常或时变，动态或静态。

1dy?t?d2y?t?2； （4）sin?t?y(t)?3u(t)； ??????yt?u(t)?ut（1）2y?t??3t； （3）2dtdt2（7）在图T2-1中去掉一个理想二极管后，情况如何？

解：先区别几组概念（线性和非线性；定常和时变；动态和静态） 线性系统（即系统变量间的关系）：多项式形式，各项变量的幂指数为1； 非线性系统：多项式形式，各项变量的幂指数不全为1； 定常系统：系统参数与时间无关；

时变系统：系统参数与时间有关； 静态系统：输入到输出没有过渡过程； 动态系统：输入到输出有过渡过程。（笔者认为在判断系统静态或动态的时候，我们可以看多项式里面有没有积分或微分。若有积分或微分，为动态系统；若积分和微分都没有，为静态系统。） 题号 分析 a、y(t)的幂指数为2，非线性； 系统性质 d2y(t)（1） b、变量（把因变量或激励量的各阶导数的一次幂看作一dt2个变量）的系数为3t，是时间的函数，时变； c、多项式含有微分，动态。 a、激励量u(t)的幂指数为（3） 非线性，时变，动态 1，不为1，非线性； 2b、各变量的系数均为常数，与时间无关，定常； c、式中不含微分、积分，静态。 a、各变量的幂指数均为1，线性； 非线性，定常，静态 （4） b、变量dy(t)的系数sin?t与时间有关，时变； dt线性，时变，动态 c、式中含有微分，动态。 L（7） Ldy(t)1?（?y(t)?u(t)；?I)、u(t)?0,i(t)?0时： RdtR??（?II)、u(t)?0,i(t)?0时：y(t)?0.在一个正弦周期内，系统非线性、定常、动态。 u(t)V1V2Ry(t)图T2-1 交流电路系统u(t)—输入电压；y(t)—输出电压；V1、V2—理想二极管非线性、定常、动态 T2-2 已知动态系统对输入信号u(t)的响应，试判断下列三个系统是否为线性的：

（1）y(t)?x?0??u(?)d?；

2t?0t0（2）y(t)?3x?0??u(?)d?；

?（3）y(t)?ex?0??e?tt?0?t??u(?)d?。

解：先分清x?0?和u?t?这两个量：x?0?为状态变量（初始状态或初始条件）；u?t?为输入变量。 零状态线性和零输入线性的判定方法：

(I) 当x?0??0时，为零状态，对应的输出称为零状态响应，此时看输出y?t?与输入u?t?的关系是否满足线性，若满足，则为零状态线性；

(II) 当u?t0??0时，为零输入，对应的输出称为零输入响应，此时看输出y?t?与初始状态x?0?的关系是否满足线性，若满足，则为零输入线性； (III) 当（I）、(II)都满足时，就既满足零状态线性又满足零输入线性。 题号 分析 系统性质 a、当x?0??0时，为零状态，此时输出y?t?与输入u?t?满足线性关系，故满足零状态线性； （1） b、当u?t0??0时，为零输入，此时输出y?t?与初始状态x?0?不满足线性关系，故不满足零输入线性； 综上a、b知，系统仅满足零状态线性。 （2） 分析方法同（1） （3） 分析方法同（1） T2-3 有一线性动态系统，分别用t?0时的输入u1?t?,u2?t?,u3?t?,t??0,??,对其进行试验。它们的初始状态都相同，且x?0??0,三种试验中所得输出若为y1?t?,y2?t?,y3?t?试问下列预测是否正确： 。（1）若u3(t)?u1(t)?u2(t),则y3(t)?y1(t)?y2(t)； （2）若u3(t)?u1(t)/u2(t),则y3(t)?y1(t)/y2(t)； （3）若u1(t)?2u2(t),则y1(t)?2y2(t)； （4）若u1(t)?u2(t),则y1(t)?y2(t)。

仅满足零状态线性 既满足零状态线性又满足零输入线性 既满足零状态线性又满足零输入线性 如果x?0??0,哪些预测是正确的？

解：因为系统为线性动态系统，所以不妨设：y(t)?x?0??u(?)d?

t?0x?0?所处情况 题号 分析 采用叠加原理，结果 （1） y3(t)?x?0???u3(?)d?????????x?0???[u1(?)?u2(?)]d?u3(t)?u1(t)?u2(t)00tt x?0??0, 此时：?2x?0???[u1(?)?u2(?)]d??y1(t)?y2(t),(只因为x?0?的存在）0t 不正确 （2） 系统线性不正确 ?系统同时满足可加性和齐次性；商运算不在其中，故不正确。 tty(t)?x?0???u(?)d? 0t2(t)?2u1(t)y2(t)?x?0???u2(?)d??u??????x?0???2u1(?)d?（3） 00?2x?0???2u1(?)d??2y1(t)，-(只因为x?0?的存在）0t 不正确 （4） y2(t)?x?0??u2(?)d???????x?0??u1(?)d??y1(t)，恒等。tt?0u2(t)?u1(t)?0正确 正确 不正确 正确 正确 x?0??0, 此时： t（1） （2） （3） （4） 与上一种情况比较 同上一种情况 与上一种情况比较 恒等式 y(t)??u(?)d? 0 T2-8 已知线性动态系统的状态方程为

?1x???0??0?0110??0??0?u 0?x?????2???1??y??1

10?x；x(0)??010?

T试求由单位阶跃u?1(t)输入所引起的响应y(t)。

解：依题意，该线性系统的各系数矩阵为

?1A???0??0?s?1(sI?A)???0??00s?1?10110??0??0?；c??10?；b?????2???1??

1?0??；0?；x?0???1?? ??0??0s?1?100??s?1??s?2?； s?220?s?10?det(sI?A)?0?；s?2?0?

?(s?1)(s?2)adj(sI?A)??0??0?0(s?1)(s?2)0??(s?1)(s?2)?(s?1)??0???(s?1)2?0??

0T0(s?1)(s?2)(s?1)?0??0?； ?1?s?2???0?

?；(s?1)2??0?1?s?1adj(sI?A)??1(sI?A)???0det(sI?A)??0??查拉氏（Laplace）变换表得：

状态转移矩阵

01s?111?s?2s?1??t??L?1?(sI?A)?1??et???0?0?0ete2t?et0???10?；（其中L为拉氏反变换的函数符号） e2t??

y(t)?c?(t)x(0)??c?(t??)bu(?)dt0t??11?et?0??0?0?0ete2t?et0??0????t0??1????102t?e???0??

1?et???0??0?0?0et??e2(t??)?et??0??0???0???0?1(?)dt e2(t??)??1?????et?0?et.

补充：如何求n阶矩阵的伴随矩阵？第一步：先找出该n阶矩阵中每一元素在其行列式中所对应的代数余子式Aij；第二步：将得到的代数余子式Aij取代其对应元素所在的位置并写成矩阵的形式，并将此矩阵命名为新矩阵；第三步：将新矩阵转置即得所求伴随矩阵。如何计算Aij：?Aij??-1?M（j为该元素所在的列数）；iji为该元素所在的行数，i?j其中Mij为元素的余子式，即在该n阶矩阵的行列式中，划去所取的任一元素所在的行和列之后，剩下的（n?1)阶行列式的值。以本题为例，同学们检验一下，看看自己是否已掌握了伴随矩阵的求法。

T2-11 已知线性动态系统中

?0A???0???3试求系统的传递函数G(s)。

解：依题意：

1000??0??0?，C???21?，B??????2???1??30?

0??s?1?；(sI?A)??0s?1??

?0s?2??3?det(sI?A)?s2?s?2??3；

?s(s?2)adj(sI?A)???(s?2)??1所求传递函数

?3s(s?2)s?3s??s(s?2)??3?3????2?s????3sT(s?2)s(s?2)?3

1?

s??；s2??G(s)?Cadj(sI?A)Bdet(sI?A)??2??

T2-13 已知系统的传递函数为

3(s?2)?s(s?2)0??s(s?2)??3??3??3ss2?s?2??31??0??0?s????2s????1??3s?2.s3?2s2?3

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