数学培优竞赛新方法五年级 - 整数的奇偶性

8．整数的奇偶性

天才在于积累，聪明在于勤奋。--华罗庚

知识纵横

一个整数按照能否被2整除分为二大类：能被2整除的整数称为偶数，不能被2整除的整数称为奇数。

0是偶数。

一般地，偶数可以写作2n，技术可以写作2n+1(n为整数)。 在解决一些有关整数的问题时，经常会遇到一些按奇偶数分类讨论的数学问题，这里也常常涉及到有关奇偶数的某些问题。

例题求解

【例1】

如果两个两位数的差事30，下面哪一种说法有可能是对的，请在它后面的括号里画上“√”

（1）这两个数的和是57；（ ） （2）这两个数的四个数字之和是19；（ ） （3）这两个数的四个数字之和是14。（ ） （《小学生报》数学竞赛试题）

【思路点拨】将这两个两位数的个位与十位数字的奇偶性作分析，进而判断正误。

【例2】任意取出1994个连续自然数，它们的总和是奇数还是偶数？

（武汉市小学数学竞赛试题）

【思路点拨】考察这些数里有多少奇数。

【例3】新年前夕，同学们相互送贺年卡，每人只要接到别人赠的贺年卡就一定回赠贺年卡，

那么送了奇数张贺年卡的人数是奇数还是偶数？为什么？

【思路点拨】将送贺年卡的人分成两类（送偶数张贺年卡和送奇数张贺年卡）来讨论。

【例4】有1993个孩子，每人胸前有一个号码，号码从1到1993各不相同。试问，能否将

这些孩子排成若干排，使每排中都有一个孩子的号码数等于同排中其余孩子号码数的和？并说明理由。

（武汉市小学数学竞赛试题）

【思路点拨】如果每排中都有一个孩子的号码数等于同排中其余孩子号码数的和，那么每排的总和应是偶数，这与1993个孩子号码的总和有什么关系呢？

【例5】一串数排成一行，它们的规律是头两个数都是1，从第三个数开始，每个数都是前

两个数的和，如下所示：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55···。试问：这串数的前100个数（包括100个数）中，有多少个偶数？

（昆明市五华区小学六年级数学竞赛试题） 【思路点拨】观察数字排行的奇偶性变化。

【例6】在八个房间中，有七个房间开着灯，一个房间关着灯。如果每次同时拨动四个房间

的开关，能不能把全部房间的灯关上？为什么？

（宁波市江北区小学五年级数学竞赛试题） 【思路点拨】看看关着灯及开着灯的房间各需多少次变化才能都达到关着灯，这个次数与“每次拨动四个房间的开关”有何联系？

【例7】a、b、c都是质数，c是一位数，且a×b+c=1993,那么a+b+c= 。 （广州市小学五年级数学竞赛试题）

【思路点拨】由题设可知，a×b与c的奇偶性不同，这是解答本题的突破口。

【例8】沿江有A1、A2、A3、A4、A5、A6六个码头，相邻两个码头间距离都相等。早晨有甲、

乙两船从A1出发，各自在这些码头间多次往返运送货物。傍晚，甲船停泊在A6 码头，而乙船返回 A1码头。求证：无论如何两船的航程总不相等。

【思路点拨】注意到“船在码头间多次往返”的路程总是增加两码头间距离的偶数

倍。

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