2017届人教A版 古典概型与几何概型 三年高考两年模拟题

第二节 古典概型与几何概型

A组三年高考真题（2016～2014年）

1.(2016·新课标全国Ⅰ,3)为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( ) 1125A.B.C.D. 3236

2.(2016·新课标全国Ⅲ,5)小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是M,I,N中的一个字母,第二位是1,2,3,4,5中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )

8111A.B.C.D. 1581530

3.(2016·北京,6)从甲、乙等5名学生中随机选出2人,则甲被选中的概率为( ) 1289A.B.C.D. 552525

4.(2015·新课标全国Ⅰ,4)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数,从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的概率为( ) 3111A.B.C. D. 1051020

11

x＋?≤1”发生的概率为5.(2015·山东,7)在区间[0,2]上随机地取一个数x,则事件“－1≤log?2?2?( )

3211

A. B. C.D. 4334

1

6.(2015·湖北,8)在区间[0,1]上随机取两个数x,y,记p1为事件“x＋y≤”的概率,p2为事件

21

“xy≤”的概率,则( )

2

1111

A.p1

2222

7.(2015·福建,8)如图,矩形ABCD中,点A在x轴上,点B的坐标为(1,0),且点C与点D在函数f(x)x＋1，x≥0，??

＝?1的图象上.若在矩形ABCD内随机取一点,则此点取自

－x＋1，x＜0??2阴影部分的概率等于( ) 1131A.B. C.D. 6482

8.(2014·辽宁,6)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中,其中AB＝2,BC＝1,则质点

落在以AB为直径的半圆内的概率是( )

ππππA. B.C.D. 2468

9.(2014·陕西,6)从正方形四个顶点及其中心这5个点中,任取2个点,则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为( ) 1234A.B. C. D. 5555

10.(2014·湖北,5)随机掷两枚质地均匀的骰子,它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1,点数之和大于5的概率记为p2,点数之和为偶数的概率记为p3,则( ) A.p1＜p2＜p3B.p2＜p1＜p3C.p1＜p3＜p2D.p3＜p1＜p2

11.(2015·重庆,15)在区间[0,5]上随机地选择一个数p,则方程x2＋2px＋3p－2＝0有两个负根的概率为________.

12.(2014·福建,13)如图,在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子,有180粒落到阴影部分,据此估计阴影部分的面积为________.

13.(2014·重庆,15)某校早上8：00开始上课,假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校,且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的,则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________(用数字作答).

14.(2014·浙江,14)在3张奖券中有一、二等奖各1张,另1张无奖.甲、乙两人各抽取1张,两人都中奖的概率是______.

15.(2014·广东,12)从字母a,b,c,d,e中任取两个不同字母,则取到字母a的概率为________. 16.(2014·新课标全国Ⅰ,13)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行,则2本数学书相邻的概率为________.

17.(2014·新课标全国Ⅱ,13)甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种,则他们选择相同颜色运动服的概率为________.

18.(2016·山东,16)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.设两次记录的

数分别为x,y.奖励规则如下： ①若xy≤3,则奖励玩具一个； ②若xy≥8则奖励水杯一个； ③其余情况奖励饮料一瓶.

假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀,小亮准备参加此项活动. (1)求小亮获得玩具的概率；

(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.

19.(2015·天津,15)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18,现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛. (1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；

(2)将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为A1,A2,A3,A4,A5,A6,现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛.

①用所给编号列出所有可能的结果；

②设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”,求事件A发生的概率.

20.(2015·山东,16)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况,数据如下表：(单位：人)

参加演讲社团 未参加演讲社团 参加书法社团 8 2 未参加书法社团 5 30 (1)从该班随机选1名同学,求该同学至少参加上述一个社团的概率； (2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中,有5名男同学A1,A2,A3,A4,A5,3名女同学B1,B2,B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人,求A1被选中且B1未被选中的概率.

21.(2014·四川,16)一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字1,2,3,这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次,每次抽取1张,将抽取的卡片上的数字依次记为a,b,c. (1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率； (2)求“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率.

22.(2014·天津,15)某校夏令营有3名男同学A,B,C和3名女同学X,Y,Z,其年级情况如下表：

男同学 女同学 一年级 A X 二年级 B Y 三年级 C Z 现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同). (1)用表中字母列举出所有可能的结果；

(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”,求事件M发生的概率.

B组两年模拟精选(2016～2015年)

1.(2016·北京西城区期末)某天,甲要去银行办理储蓄业务,已知银行的营业时间为9：00至17：00,设甲在当天13：00一个至18：00之间任何时间去银行的可能性相同,那么甲去银行恰好能办理业务的概率是( ) 1354A.B.C.D. 3485

2.(2016·安徽合肥第二次质量检测)某中学有3个社团,每位同学参加各个社团的可能性相同,甲,乙两位同学均参加其中一个社团,则这两位同学参加不同社团的概率为( ) 1123A.B.C.D. 3234

ππ1

－，?上随机取一个x,则cos x的值在0到之间的3.(2016·天津河西区质量调查(一))在区间??22?2概率为( ) 1212

A.B.C.D. 3π23

4.(2016·湖北黄冈4月适应性考试)从数字3,4,5中任取两个不同的数字构成一个两位数,则这两个数字不大于50的概率为( ) 1112A.B.C.D. 6323

5.(2016·山西太原模拟)某袋中有编号为1,2,3,4,5,6的6个小球(小球除编号外完全相同),甲先从袋中摸出一个球,记下编号后放回,乙再从袋中摸出一个球,记下编号,则甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是( ) 11535A.B.C.D. 56636

6.(2015·湖南益阳模拟)在正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点,则构成的四边形是梯形的概率为( )

1211A.B.C.D. 5568

7.(2016·河北保定第一次模拟)已知b,r∈{1,2,3,4},则直线y＝x＋b与圆x2＋y2＝r2有公共点的概率为________.

8.(2015·重庆一中模拟)某市为增强市民的环境保护意识,面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名,按年龄分组：第1组[20,25),第2组[25,30),第3组[30,35),第4组[35,40),第5组[40,45],得到的频率分布直方图如图所示.

(1)若从第3,4,5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动,则应从第3,4,5组中各抽取多少名志愿者？

(2)在(1)的条件下,该市决定在第3,4组的志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验,求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.

答案精析

A组三年高考真题（2016～2014年）

1.解析将4种颜色的花种任选两种种在一个花坛中,余下2种种在另一个花坛,有((红黄)、(白紫)),((白紫)、(红黄)),((红白)、(黄紫)),((黄紫)、(红白)),((红紫)、(黄白)),((黄白)、(红紫))共6种种法,其中红色和紫色不在一个花坛的种数有((红黄)、(白紫)),((白紫)、(红黄)),((红白)、(黄42

紫)),((黄紫),(红白)),共4种,故所求概率为P＝＝,选C.

63答案C

2.解析第一位是M,I,N中的一个字母,第二位是1,2,3,4,5中的一个数字,所以总的基本事件的个1

数为15,密码正确只有一种,概率为,故选C.

15答案C

3.解析从甲,乙等5名学生中随机选2人共有10种情况,甲被选中有4种情况,则甲被选中的概42率为＝.

105答案B

4.解析从1,2,3,4,5中任取3个数有10个基本事件,构成勾股数的只有3,4,5一组,故概率为1. 10答案C

11113x＋?≤1,得≤x＋≤2,∴0≤x≤. 5.解析由－1≤log?2?2?2223

－023

∴由几何概型的概率计算公式得所求概率P＝＝.

2－04

答案A

??0≤x≤1，11

6.解析在直角坐标系中,依次作出不等式?x＋y≤,xy≤的可行域如图所示：依题

22?0≤y≤1，?

S△ABOS曲边多边形OEGFCS△OEC11

意,p1＝,p2＝,而＝,所以p1<

2S四边形OCDE2S四边形OCDES四边形OCDE答案D

32113

7.解析由图形知C(1,2),D(－2,2),∴S四边形ABCD＝6,S阴＝×3×1＝.∴P＝＝.

2264答案B

半圆的面积

8.解析由几何概型的概率公式可知,质点落在以AB为直径的半圆内的概率P＝长方形的面积1π2π

＝＝,故选B. 24答案B

9.解析5个点中任取2个点共有10种方法,若2个点之间的距离小于边长,则这2个点中必须42

有1个为中心点,有4种方法,于是所求概率P＝＝.

105答案B

10.解析总的基本事件个数为36,向上的点数之和不超过5的有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4), 105

(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(4,1),共10个,则向上的点数之和不超过5的概率p1＝＝；3618513

向上的点数之和大于5的概率p2＝1－＝；向上的点数之和为偶数与向上的点数之和为

18181

奇数的个数相等,故向上的点数之和为偶数的概率p3＝.即p1

2答案C

Δ≥0，??

11.解析方程x2＋2px＋3p－2＝0有两个负根,则有?x1＋x2＜0，

??x1·x2＞0，

1104p－4（3p－2）≥0，?3＋?3322

即?－2p＜0，解得p≥2或＜p≤1,又p∈[0,5],则所求概率为p＝＝＝.

3553

??3p－2＞0，

2

2答案 3

S阴影S阴影180180

12.解析依题意,得＝,所以＝,解得S阴影＝0.18.

S正方形1 0001×11 000答案0.18

13.解析设小张与小王的到校时间分别为7：00后第x分钟,第y分钟,根据题意可画出图形,如图所示,则总事件所占的面积为(50－30)2＝400.小张比小王至少早5分钟到校表示的事件A＝{(x,y)|y－x≥5,30≤x≤50,30≤y≤50},

1225

如图中阴影部分所示,阴影部分所占的面积为×15×15＝,所以小张比小王至少早5分钟

22225

29

到校的概率为P(A)＝＝.

400329答案 32

14.解析设3张奖券中一等奖、二等奖和无奖分别为a,b,c,甲、乙两人各抽取1张的所有情况1有ab,ac,ba,bc,ca,cb,共6种,其中两人都中奖的情况有ab,ba,共2种,所以所求概率为.

31答案 3

15.解析从a,b,c,d,e中任取两个不同字母的所有基本事件为：

4

ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de,共10个,其中取到字母a的有4个,故所求概率为＝0.4.

10答案0.4

16.[设两本数学书为A1,A2,一本语文为B.

则基本事件有(A1A2B),(A1BA2),(A2A1B),(A2BA1),(BA1A2),(BA2A1)共6种. 42

其中2本数学书相邻的有(A1A2B),(A2A1B),(BA1A2),(BA2A1)共4种.∴概率为＝.

632答案 3

17.解析甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种的所有可能情况为(红,白),(白,红),(红,蓝),(蓝,红),(白,蓝),(蓝,白),(红,红),(白,白),(蓝,蓝),共9种,他们选择相同颜色运动服的所有可能情况为(红,红),(白,白),(蓝,蓝),共3种.故所求概率31为P＝＝.

931答案 3

18.解 (1)用数对(x,y)表示儿童参加活动先后记录的数,则基本事件空间Ω与点集S={(x,y)|x∈N,y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应.

因为S中元素的个数是4×4＝16.所以基本事件总数n＝16.

记“xy≤3”为事件A,则事件A包含的基本事件数共5个, 即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1),

55

所以P(A)＝,即小亮获得玩具的概率为.

1616(2)记“xy≥8”为事件B,“3＜xy＜8”为事件C.

则事件B包含的基本事件数共6个.即(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4). 63

所以P(B)＝＝. 168

事件C包含的基本事件数共5个,即(1,4),(2,2),(2,3),(3,2),(4,1). 535

所以P(C)＝.因为＞,

16816

所以小亮获得的水杯的概率大于获得饮料的概率.

19.解 (1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.

(2)①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A6},{A2,A3},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A4},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共15种.

②编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为{A1,A5},{A1,A6},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共9种. 93

因此,事件A发生的概率P(A)＝＝.

155

20.解 (1)由调查数据可知,既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人, 故至少参加上述一个社团的共有45－30＝15人,

151

所以从该班随机选1名同学,该同学至少参加上述一个社团的概率为P＝＝.

453

(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人,其一切可能的结果组成的基本事件有： {A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2}, {A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},{A4,B1}, {A4,B2},{A4,B3},{A5,B1},{A5,B2},{A5,B3},共15个. 根据题意,这些基本事件的出现是等可能的,

事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的基本事件有：{A1,B2},{A1,B3},共2个. 2

因此,A1被选中且B1未被选中的概率为P＝. 15

21.解 (1)由题意,(a,b,c)所有的可能为(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1,3,2) ,(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1,2),(3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3),共27种. 设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A,

31

则事件A包括(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3),共3种.所以P(A)＝＝.

2791

因此,“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为. 9(2)设“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”为事件B,

38

则事件B包括(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),共3种.所以P(B)＝1－P(B)＝1－＝. 2798

因此,“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率为.

9

22.解 (1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为

{A,B},{A,C},{A,X},{A,Y},{A,Z},{B,C},{B,X},{B,Y},{B,Z},{C,X},{C,Y},{C,Z},{X,Y},{X,Z},{Y,Z},共15种.

(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A,Y},{A,Z},{B,X},{B,Z},{C,X},{C,Y},共6种. 因此,事件M发生的概率P(M)＝62＝. 155

B组两年模拟精选(2016～2015年)

17－134

1.解析甲去银行恰好能办理业务的概率为＝.

18－135答案D

2.解析甲、乙各参加一个社团的情况共有9种,其中参加相同的情况有3种,则甲、乙参加不同32

社团的概率为1－＝.

93答案C

?π－π?2×?23?1ππ1ππππ

－，?得－

－－2?2?答案 A

4.解析从3,4,5中任取两个不同的数字构成一个两位数有34,35,43,45,53,54共6种,不大于5042

的有34,35,43,45共4种,所求概率p＝＝. 63答案D

5.解析记(a,b)为甲、乙摸球的编号,由题意得,所有的基本事件共有36个,满足a≠b的基本事件305

共有30个,∴所求概率为＝. 366答案C

6.解析如图,在正六边形ABCDEF的6个顶点中随机选择4个顶点,共有15种选法,其中构成的四边形是梯形的有ABEF、BCDE、ABCF、CDEF、ABCD、ADEF,共6种情况,故构成的四边62

形是梯形的概率P＝＝,故选B.

155

答案B

7.解析若直线与圆有公共点,则

|b|

≤r,即b≤2r.b,r所有取值情况,共有16种,其中满

12＋（－1）211

足b≤2r的情况有11种,故所求概率为.

1611答案 16

8.解(1)第3组的人数为0.3×100＝30, 第4组的人数为0.2×100＝20, 第5组的人数为0.1×100＝10.

因为第3,4,5组共有60名志愿者,所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者,302010每组抽取的人数分别为第3组：×6＝3；第4组：×6＝2；第5组：×6＝1.

606060所以应从第3,4,5组中分别抽取3人,2人,1人.

(2)记第3组的3名志愿者为A1,A2,A3,第4组的2名志愿者为B1,B2,则从5名志愿者中抽取2名志愿者有：(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2),共10种. 其中第4组的2名志愿者B1,B2至少有一名被抽中的有： (A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2),共7种. 7

所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为.

10

6.解析如图,在正六边形ABCDEF的6个顶点中随机选择4个顶点,共有15种选法,其中构成的四边形是梯形的有ABEF、BCDE、ABCF、CDEF、ABCD、ADEF,共6种情况,故构成的四边62

形是梯形的概率P＝＝,故选B.

155

答案B

7.解析若直线与圆有公共点,则

|b|

≤r,即b≤2r.b,r所有取值情况,共有16种,其中满

12＋（－1）211

足b≤2r的情况有11种,故所求概率为.

1611答案 16

8.解(1)第3组的人数为0.3×100＝30, 第4组的人数为0.2×100＝20, 第5组的人数为0.1×100＝10.

因为第3,4,5组共有60名志愿者,所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者,302010每组抽取的人数分别为第3组：×6＝3；第4组：×6＝2；第5组：×6＝1.

606060所以应从第3,4,5组中分别抽取3人,2人,1人.

(2)记第3组的3名志愿者为A1,A2,A3,第4组的2名志愿者为B1,B2,则从5名志愿者中抽取2名志愿者有：(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2),共10种. 其中第4组的2名志愿者B1,B2至少有一名被抽中的有： (A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2),共7种. 7

所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为.

10

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