2018届河北省唐山市高三年级第一次模拟考试（理科）数学Word版含解析

2018届河北省唐山市高三年级第一次模拟考试

（理科）数学（解析版）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. A. C.

（ ） B. D.

【答案】A 【解析】故答案为：A. 2. 设集合A.

B.

， C.

D.

，则（ ）

，

【答案】C 【解析】集合故两个集合相等. 故答案为：C. 3. 已知A. B. 【答案】B 【解析】已知故答案为：B.

4. 两个单位向量，的夹角为A. B. C. 【答案】D

【解析】两个单位向量，的夹角为代入得到. 故答案为：.

, 则

D.

，则

（ ）

,

,将

代入得到

.

，且 C. D.

，则

（ ）

,

，

5. 用两个，一个，一个，可组成不同四位数的个数是（ ） A.

B.

C.

D.

【答案】D

【解析】根据题意得到有两个1是相同的，故可以组成不同的四个数字为

故答案为：D. 6. 已知，，

，则（ ） A.

B.

C.

D.

【答案】D

【解析】根据题意得到，

，故

，

,故得到

.

故答案为：D.

7. 如图是根据南宋数学家杨辉的“垛积术”设计的程序框图，该程序所能实现的功能是（

A. 求 B. 求 C. 求

D. 求

【答案】C

【解析】根据题意得到：a=0,s=0,i=1, A=1,s=1,i=2, A=4,s=1+4,i=3, A=9,s=1+4+9,i=4, A=16,s=1+4+9+16,i=5,

依次写出s的表达式，发现规律，满足C. 故答案为：C.

）

8. 为了得到函数

A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 【答案】A 【解析】函数将函数

的图象，可以将函数的图象（ ）

,

的图象向做平移个单位长度即可.

故答案为：A.

9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】根据题意得到该几何体是一个三棱柱切下了一个三棱锥，剩下的部分的表面积由一个等腰三角形，两个直角梯形，一个等腰直角三角形，一个长方形构成.面积和为故答案为：A. 10. 已知为双曲线：条渐近线于点.若A.

B.

C.

的右焦点，过点向的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一

，则的离心率是（ ） D.

【答案】B

【解析】根据题意画出图像，得到

由结论焦点到对应渐近线的距离为b得到：AF=b,故

OA=a,OF=c,而角AOF 等于角FOB ,又因为三角形AOB为直角三角形，由二倍角公式得到

化简得到c=2b,故得到离心率为.

故答案为：B. 11. 已知函数A. C.

，则下列关于

，

的表述正确的是（ ） 的最小值为

的图象关于轴对称 B. 有个零点 D.

有无数个极值点

【答案】D 【解析】A因为函数B. 假设得到错误的; C

,其中一个零点为0，另外的零点就是

两个图像的交点，两者的图像

，使得

的最小值为

，即

，故函数不是偶函数，图像也不关于y轴对称；A不正确；

有解，

在同一坐标系中画出图像，

的最大值为2，最小值为2，且不是在同一个x处取得的，故得到两个图像无交点，故B是

只有一个交点，故选项不正确； D化一得到也可得到D. 故答案为：D.

点睛：函数的零点或方程的根的问题，一般以含参数的三次式、分式、以e为底的指数式或对数式及三角函数式结构的函数零点或方程根的形式出现，一般有下列两种考查形式：(1)确定函数零点、图象交点及方程根的个数问题；(2)应用函数零点、图象交点及方程解的存在情况，求参数的值或取值范围问题．研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最值、函数的变化趋势等，根据题目要求，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现。同时在解题过程中要注意转化与化归、函数与方程、分类讨论思想的应用． 12. 已知，，，是半径为的球面上的点，则三棱锥A.

B.

体积的最大值是（ ）

，

，点在

上的射影为，

，

，

，此时满足

的x值有无数个；或者根据排除法

C. D. 【答案】B 【解析】如图，

由题意，PA=PB=PC=2，∠ABC=90°，

可知P在平面ABC上的射影G为△ABC的外心，即AC中点， 则球的球心在PG的延长线上，设PG=h，则OG=2﹣h， ∴OB2﹣OG2=PB2﹣PG2，即4﹣（2﹣h）2=4﹣h2，解得h=1． 则AG=CG=，

过B作BD⊥AC于D，设AD=x，则CD=再设BD=y，由△BDC∽△ADB，可得∴y=令f（x）=

，

，则f′（x）=

，

，

,

,

, ,

由f′（x）=0，可得x=∴当x=

时，f（x）max=

∴△ABD面积的最大值为则三棱锥P﹣ABD体积的最大值是故答案为：B.

点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 设，满足约束条件

，则

的最小值是__________．

【答案】-5

【解析】根据条件得到可行域是一个封闭的三角形区域，目标函数化为（-1.-1）时有最小值，代入得到值为-5. 故答案为：-5. 14.

的展开式中，二项式系数最大的项的系数是__________．（用数字作答）

，得到当目标函数过点A

【答案】-160 【解析】

的展开式中，二项式系数最大的项是第四项，系数为

故答案为：-160. 15. 已知为抛物线点，直线【答案】 【解析】如图

上异于原点的点，

轴，垂足为，过

的中点作轴的平行线交抛物线于

交轴于点，则__________．

，

222

设P（t，t），则Q（t，0），PQ中点H（t，）．M

，

∴直线MQ的方程为：

令x=0，可得yN=

∴则

故答案为：． 16. 在

中，角，，的对边分别为，，，

边上的高为，若

，则

的取值范围是__________．

【答案】[2，2] 【解析】根据题意得到

故

范围为[2，2].

故答案为：[2，2].

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第（22）、（23）题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.

17. 已知数列（1）求（2）若

为单调递增数列，为其前项和，

.

的通项公式；

，为数列

的前项和，证明：

.

【答案】(1) an＝n (2)见解析

【解析】试题分析：（1）根据题干中所得给的式子求出通项；（2）根据题意得到的通项，进行裂项求和. 解析：

2

（Ⅰ）当n＝1时，2S1＝2a1＝a＋1，所以(a1－1)＝0，即a1＝1，

，再写一项两式做差得到an＋1－an＝1，进而

又{an}为单调递增数列，所以an≥1． 由2Sn＝a＋n得2Sn＋1＝a整理得2an＋1＝a

＋n＋1，所以2Sn＋1－2Sn＝a

－a＋1，

－a＋1，所以a＝(an＋1－1)2．

所以an＝an＋1－1，即an＋1－an＝1，

所以{an}是以1为首项，1为公差的等差数列，所以an＝n． （Ⅱ）bn＝所以Tn＝(＝

－

－

＝)＋(＜

．

－

＝)＋…＋[

－－

]

18. 某水产品经销商销售某种鲜鱼，售价为每公斤元，成本为每公斤元.销售宗旨是当天进货当天销售.如果当天卖不出去，未售出的全部降价处理完，平均每公斤损失元.根据以往的销售情况，按

，

，

，

进行分组，得到如图所示的频率分布直方图.

，

（1）求未来连续三天内，该经销商有连续两天该种鲜鱼的日销售量不低于于

公斤的概率；

公斤，而另一天日销售量低

（2）在频率分布直方图的需求量分组中，以各组区间的中点值代表该组的各个值. （i）求日需求量的分布列； （ii）该经销商计划每日进货日进货

公斤还是

公斤？

公斤或

公斤，以每日利润的数学期望值为决策依据，他应该选择每

【答案】(1)0.192(2) （ⅰ）见解析（ⅱ）该经销商应该选择每日进货400公斤

【解析】试题分析：（1）根据频率分布直方图得到不低于350公斤的概率为0.4，有连续两天该种鲜鱼的日销售量不低于

公斤，而另一天日销售量低于

公斤的概率即分两种情况按照概率相乘计算即可；（2）

（i）X可取100，200，300，400，500，根据图得到对应的长方形的概率值，（ii）根据题意求出进货量为300，400时的利润均值，选择较高的即可. 解析;’

（Ⅰ）由频率分布直方图可知，

100＝0.4， 日销售量不低于350公斤的概率为(0.0025＋0.0015)×

则未来连续三天内，有连续两天的日销售量不低于350公斤，而另一天日销售量低于350公斤的概率P＝0.4×0.4×(1－0.4)＋(1－0.4)×0.4×0.4＝0.192． （Ⅱ）（ⅰ）X可取100，200，300，400，500，

P(X＝100)＝0.0010×10＝0.1； P(X＝200)＝0.0020×10＝0.2；

P(X＝300)＝0.0030×10＝0.3； P(X＝400)＝0.0025×10＝0.25； P(X＝500)＝0.0015×10＝0.15； 所以X的分布列为：

（ⅱ）当每日进货300公斤时，利润Y1可取－100，700，1500， 此时Y1的分布列为：

0.1＋700×0.2＋1500×0.7＝1180； 此时利润的期望值E(Y1)＝－100×

当每日进货400公斤时，利润Y2可取－400，400，1200，2000， 此时Y2的分布列为：

0.1＋400×0.2＋1200×0.3＋2000×0.4＝1200； 此时利润的期望值E(Y2)＝－400×因为E(Y1)＜E(Y2)，

所以该经销商应该选择每日进货400公斤． 19. 如图，在三棱柱

中，平面

平面

，

.

（1）证明：（2）若

； 是正三角形，

，求二面角

的大小.

【答案】(1)见解析(2)

【解析】试题分析：（1）要证线线垂直，可以从线面垂直入手，证得AC⊥平面A1B1C，进而得到AC⊥；（2）利用空间坐标系的方法，求得两个面的法向量，通过向量的夹角的计算得到二面角的大小.

解析:

（Ⅰ）过点B1作A1C的垂线，垂足为O，

由平面A1B1C⊥平面AA1C1C，平面A1B1C∩平面AA1C1C＝A1C，

得B1O⊥平面AA1C1C，

又AC平面AA1C1C，得B1O⊥AC． ，AB∥A1B1，得A1B1⊥AC． 由∠BAC＝90°

又B1O∩A1B1＝B1，得AC⊥平面A1B1C． 又CA1平面A1B1C，得AC⊥CA1． （Ⅱ）以C为坐标原点，

的方向为x轴正方向，|

|为单位长，建立空间直角坐标系C-xyz． )． ＝(0，－1，

)．

由已知可得A(1，0，0)，A1(0，2，0)，B1(0，1，所以

＝(1，0，0)，

＝(－1，2，0)，

＝

设n＝(x，y，z)是平面A1AB的法向量，则

即

可取n＝(2

，

，1)．

设m＝(x，y，z)是平面ABC的法向量，则

即

可取m＝(0，则cos?n，m?＝

，1)．

＝

．

又因为二面角A1-AB-C为锐二面角， 所以二面角A1-AB-C的大小为

．

20. 已知椭圆：

，

.当

的左焦点为，上顶点为，长轴长为

时，与重合.

，为直线：上的动点，

（1）若椭圆的方程； （2）若直线【答案】(1)

交椭圆于，两点，若

1 (2) m＝±

，求的值.

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