几何基本图(1)

初中几何基本图复习

平行线基本图：

PAAP BB

ABA B PP

CDCD CC DD

________________ __________________ __________________ ________________ 例1. 如图所示，已知AB∥CD∥EF，则∠x、∠y、∠z三者之间的关系是 .

AB x CDyz

EF

例2.已知如图，AB与CD交于点O，CE平分∠ACD，BE平分∠ABD。 （1）若AC∥BD，∠B=40°，∠C=30°，求∠E的度数？

（2）若AC不平行BD，问∠A、∠E、∠D三个角之间的数量关系；

A C

O E

B D

（3）如图，点O为△ABC内任意一点，BD平分∠ABO，CD平分∠ACO，问∠A、∠O、∠D三个角之间的数量关系？ B

O

D A C

例2. (1) 如图, AC平分∠DAB，∠1=∠2，试说明AB与CD的位置关系， 并予以证明；

D C 2

A 1 B

(2) 如图，在(1)的条件下， AB的下方两点E，F满足∠EBF＝2∠ABF, CF平分∠DCE， 若∠F的2倍与∠E的补角的和为190o, 求∠ABE的度数；

D C

A B

F

E

(3) 在前面的条件下，若P是BE上一点, G是CD上任一点, PQ平分∠BPG, PQ∥GN, GM

平分∠DGP, 下列结论：①∠DGP－∠MGN的值不变；②∠MGN的度数不变。可以证明, 只有一个是正确的, 请你作出正确的选择并求值。

G D

Q A M

N

P

练习：

1. 如图，点E在直线BH、CD之间，点A为BH上一点，且∠E=120，∠DCE=60+∠EAH。 （1）求证：AB∥CD； A B H

E

G D C

（2）AF平分∠HAE，EF平分∠AEC，问∠F与∠ECG之间的数量关系？ A B H

E F

G D C

2. 如图，已知DH∥GE。（1）∠HAB、∠ABC、∠BCE三个角之间存在怎样的数量关系？并证明你的结论。

B

（2）如图2,作∠BCF=∠BCG，CF与∠BAH的平分线交于点F，若∠F的余角等于2∠B的补角，求∠BAH的度数；

A H D

A F B C E G

（3）在前面的条件下，如图，若P是AB上一点，Q是GE上任一点，QR平分∠PQG，PM∥QR，PN平分∠APQ， 下列结论：①∠APQ+∠NPM的值不变；②∠NPM的度数不变。可以证明只有一个是正确的，请你作出正确的选择并求值。

A H D

N P

M G R E Q

3. （自编题）已知AB∥CD，∠E=80°，∠F=40°.（1）求∠B与∠D之间的数量关系；

F

E

A B

C D

（2）若DG平分∠CDF，BG平分∠ABE，DG与BG交于点G，求∠G的度数？

F

E

G

A B

C D

三角形内角的基本图

ADBC

CDEDCBAAB______________________ _______________________ _____________________

BE平分∠ABC，DE平分∠CDA AD为∠BAC的平分线，AE⊥BC于E

CAD E

BDC

BE A

__________________________________ __________________________________

BD是∠ABC的平分线，CD是∠ACB BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB 的外角的平分线

AA D

D

BB CEC

________________________________ __________________________________

BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB的外角 BD、CE分别为高，并交于点F

AA DECBF

BC

D

_____________________________________

_________________________________

E例1：如图，延长四边形ABCD的两组对边交于E、F。EM平分∠BEC，FG平分∠DFC交AB于点N，∠ABC=80°，∠ADC=60°，求∠EGF的度数。 D A GNFC

BM

yE例2. 如图，在直角坐标系中，点A在y轴上，点B、C在x轴上，点E为CA上的一动点，连EO交AC于点D，QE、

AQC分别为∠CEO和∠ACB的角平分线；PD平分∠ADO，BP

D平分∠ABC，下列两个结论：①∠P＋∠Q的值不变；②∠QPQBOCx－∠P的值不变中只有一个是正确的，请你选择出正确的结论并求出其不变的值

例3. 若∠BOC=60°，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F

练习：

1. △ABC中，∠A=50°，有一块直角三角板PMN放置在△ABC上（P点在△ABC内），使三角板PMN的两条直角边PM、PN恰好分别经过点B和点C．

（1）试问?ABP与?ACP是否存在某种确定的数量关系，请写出你的结论并证明； （2）如图，改变直角三角板PMN的位置（P点在△ABC外，三角板PMN的两条直角边PM、PN仍然分别经过点B和点C），（1）中的结论是否仍然成立？若不成立，请写出你的结论．

AA

BCMNPBPC MN

2. 已知，如图，∠OAB=∠OCD。（1）问AB与CD之间的位置关系？

（2）如图，若CF平分∠OCD，BE平分∠ABC，BE与CF交于点F，求∠F的度数？ （3）如图，MN⊥线段CB，交CF于点N，BG平分∠EBC，NG平分∠CNM，BG与NG交于点G。则下列两个结论：①∠G的度数为定值；②∠GBC-∠BCF为定值。两个结论中有且只有一个正确，请你判断并证明，求出其值。 A

E E G MB O B C C F N D F

3. 如图，在平面直角坐标系中，直线AB交x轴于A点，交y

y轴于B点，点C是直线AB上一动点．

（1）若∠OAB比∠OBA大20°，OC⊥AB，求∠AOC的度数． C A

（2）过点C作直线交y轴的负半轴于N，AM平分∠BAO， ∠BM平分∠OBN，当A点在x轴负半轴上运动时，∠AMB的值 是否发生变化？若不变求出∠AMB的度数；若变请说明理由．

A

（3）沿AB、OB放置两面镜子，从O点发出的光线经AB、OB 两次反射后，反射光线DF与入射光线OP交于E点．若∠OAB =45°，下列两个结论：①DF∥AB，②DF⊥OP，其中有且只有一个 结论是正确的，请你指出正确的结论，并说明理由．

BO图?1?xyBNMOx图?2?yBPDEAFOx图?3?全等三角形基本图

含角的平分线的四边形基本图：如图，四边形AOBC中，AC=BC，∠A+∠OBC=180°，CD⊥OA于点D。 （1）OA+OB=2OD；（2）OC平分∠AOB；

ADC1.已知∠MAN，AC平分∠MAN。

O⑴在图1中，若∠MAN＝120°，∠ABC＝∠ADC＝90°，求证：AB＋

BAD＝AC； ⑵在图2中，若∠MAN＝120°，∠ABC＋∠ADC＝180°，则⑴中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明;若不成立，请说明理由；

MCMC

B

BADNADN

图1 图2

2.已知，如图：直线AB:y=—x+8与x轴、y轴分别相交于点B、A，过点B作直线AB的垂线交Y轴于点D. y（1）求BD两点确定的直线解析式； A（2）若点C是X轴负半轴上的任意一点，过点C作AC的垂线与BD相交于点E，请你判断：线段AC与CE的大小关系？并证明你的判断。 BO C

E

D

G yA（3）若点G为第二象限内任一点，连结EG,过点A作AF

F⊥FG于F,连结CF，当点C在x轴的负半轴上运动时，∠EFC的度数是否发生变化？若不变，请求出∠EFC的度数；

B若变化，请求出其变化范围. OCx

D

E

3.如图，四边形ABDM中，AB=BD，AB⊥BD，∠

B

D AMD=60°，以AB为边作等边△ABC，BE平分∠ABD交

M CD于点E，连ME。

E （1）求∠BEC的度数；

C （2）若EF⊥AM于点F，试探究：线段MD+MA与MF之

F 间的数量关系，并加以证明；

A

x旋转型全等基本图

已知AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=α

D C （1）BC=DE；（2）BC与DE的夹角为α

E

B A 1.如图，△ACB、△CEF都为等腰直角三角形，点E、F在AC、BC上，∠ACB=90°，连BE、AF。点M、N分别为AF、BE的中点。

（1）如图1，

MN=_________，并证明； AEMN=_________，并证明。 AE（2）如图2，将△CEF绕点C顺时针旋转一个锐角，则

B B

N

E N F

F

M M A A C C E 图2

图1

2.如图，将△ABC的边AB绕点A顺时针旋转α角得到线段AD，同时将边AC绕点A逆时针旋转α角得到线段AE，（α≠180°-∠BAC），连接BD、CE，取BD、BC、CE的中点M、P、N，连接PM、PN。

（1）如图1，α=60°时，∠MPN=________；如图，α=90°时，∠MPN=________； （2）如图3，角α为任意角时，用含α的式子表示∠MPN并证明。

（3）改变旋转方向如图4，将△ABC的边AB绕点A逆时针旋转α角得到线段AD，同时将边AC绕点A顺时针旋转α角得到线段AE，其余条件不变，写出∠MPN与α之间的关系（不必证明）。

D E A D A A A E D M E M M N N M E N N B C B C P P A C B P B C 图3

P 图4 图1

图2

3. ①如图1，在正方形ABCD中，M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝45°，则MN＝AM＋CN； ②如图2，在正五边形ABCDE中，M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝54°，则MN＝AM＋CN； ③如图3，在正六边形ABCDEF中，M、N分别在AE、CE上，若∠MBN＝60°，则MN＝AM＋CN； （1）请你从①②③三个命题中任选一个进行证明。

EF E MMD AM DAAND

NB图1B图2CNB图3CD C

（2）请你继续完成下面的探索：

①如图4，在正n边形ABCDEFG……（n≥4）中，M、N分别在AE、CE上， 当∠MBN等于 时，结论MN＝AM＋CN。（不要求证明）

②如图5，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ADC＋∠ABC＝180°，M、N分别在DA、CD的延长线上，若∠MBN＝

FE1∠ABC，试探究MN、AM、CN之间的数量关系并证明。 2NDGMNDAMAB图4CB图5C等腰直角三角形基本图

EC已知等腰直角三角形ABC中，过直C角顶点C任意作一条直线，过A、BDE作它的垂线，垂足分别为D、E，则

AAD=CE、CD=BE。

AB

D

y

1.如图，在平面直角坐标系中，点A为（0,3），△ABC为

A 等腰直角三角形，过C作CD⊥x轴于点D，若点B在x轴

B 负半轴上运动时，求证：点D为定点。 D O

C

y2.如图，在平面直角坐标系中，△AOB为等腰直角三角形，A（4，

A4）。（1）求B点坐标；

（2）若C为x轴正半轴上一动点，以AC为直角边作等腰直角△OCBDBx xACD，∠ACD=90°连OD，求∠AOD的度数；

正方形基本图：

如图，正方形ABCD外一点P，已知AP⊥CP。

则：①BP⊥DP；②∠APB=45°；③AP+PC=2PB;④AP－PC=2PD;

ABDC

P

例1. （10年四月调考题）如图，P为正方形ABCD边BC上任一点，BG⊥AP于点G，在AP的延长线上取点E，使 AG=GE，连接BE，CE．（1）求证：BC=BE (2)∠CBE的平分线交AE于N点，连接DN，

求证：BN+DN=2AN:

例2.（2013年四月调考） 在圆O中，AB为直径，PC为弦，且PA=PC.

（1）如图1，求证：OP//BC；

（2）如图2，DE切圆O于点C，若DE//AB，求tan∠A的值。

例3.（2013年四月调考）在面积为24的△ABC中，矩形DEFG的边DE在AB上运动，点F、G分别在边BC，AC上。

（1）若AB=8，DE=2EF，求GF的长；

（2）若∠ACBA=90°，如图2，线段DM、EN分别为△ADC和△BEF的角平分线，求证：MG=NF；

（3）请直接写出矩形DEFG的面积的最大值。

基本图二

正方形ABCD中，∠EAP的两边与正方形的两边所在直线交于E,P两点，(1)若BE=DF,则∠

DEAP=90°,AE=AP,(2)若∠EAP=90°则BE=DF,AE=AP A

P

EBC

例1. 如图.正方形ABCD中,P为CB上一动点,E为CB延长线上一点,且BE=DP,连接PE交AB,AC分别于Q,N,∠CPE的平分线分别交AC,BC于M,F.⑴求证:AP=AM.

AD N

QM

FCP⑵若AP=NE,求证:AD+DP=(2+1)CP;

⑶ DP=1,PC=6时, 请直接写出CF的长为____________

EB

例2. 如图, 点E为正方形ABCD边AD上一点, 点N为AB延长线上一点, 且BN＝DE, 连

CE、CN、EN, EN交BC于F.

(1) 判断△CEN的形状并予以证明;

(2) ∠ABC的平分线交EN于M, 求证: AB－BN＝2BM;

（3）正方形边长为6，当BF=_____时，AB=2BN.

圆的基本图：

圆心在直角边上

如图，已知直角△ABC中，∠A为直角，点O为AB上一点，以O为圆心，OA长为半径作⊙O与BC切于点D，交AB于点E。连接DE、OC、AD，CO与AD交于点F。

C 结论：_____________________ ________________

__________________________ __________________ D __________________________ ______________________

F ____________________________ ____________________

A B

O E __________________________________________________

_________________________________________________

例1.（09年中考题） 如图，Rt△ABC中，?ABC?90°，以AB为直径作⊙O交AC边于点D，E是边BC的中点，连接DE． （1）求证：直线DE是⊙O的切线；

C

（2）连接OC交DE于点F，若OF?CF，求tan?ACO的值． D F E

A B

O

例2.（10年中考题） 如图，点O在?APB的平分在线，圆O与PA相切于点C； (1) 求证：直线PB与圆O相切；

(2) PO的延长线与圆O交于点E。若圆O的半径为3，PC=4。求弦CE的长。 A C

E P O B

例3. （11年中考题）如图，PA为⊙O的切线，A为切点.过A作OP的垂线AB，垂足为点C，交⊙O于点B.延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E.

（1）求证：PB为⊙O的切线； （2）若tan∠ABE=

1，求sinE的值. 2

练习：

1.如图，在Rt△ABC中，∠C为直角，D为斜边AB上一点，过C、D两点做⊙O，交AC于点E，且OB∥DE。

（1）求证：AD是⊙O的切线；

（2）若BO=3DE，求tan∠ADE的值；

（3）设OB交⊙O于点F，延长EF交BC于点G，若BO=3DE，求

BG的值。 CGB D

AC

OE

2.如图，矩形ABCD中，H为AC的中点，过H作AC的垂线交CD于点E，以C为圆心，BC为半径做⊙C。

（1）求证：直线AE是⊙C的切线；

（2）分别延长AE、BC交于点F，若AD=2，AB=4，求tan∠F的值。

AD

E HFB

C

3.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过O作OE⊥BC于E，过C作⊙O的切线交OE的延长线于点D，连接BD。 （1）求证：BD为⊙O的切线；

（2）连接AE、AD，若AD=5，AE=3，求⊙O的半径。 D C EA

BO

4.如图，等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，点D是以AB为直径的⊙O上一点，直线CD与AB的延长线交于点E，且CD=AB，连接AD交BC于点F。 （1）求证：CD是⊙O的切线； C（2）若BF=2，求△CBE的面积； （3）求tan∠BCE的值。 D

FOEA

B

5.如图，在直角△ABC中，∠ACB=90°，以BC为直径作⊙O交斜边AB于点D，E为AC上一点，延长ED交CB的延长线于点F，∠A+∠F=∠ABC。 （1）求证：EF为⊙O的切线。

（2）若tan∠A=

3，求tan∠F的值； 43AG，求的值。 4FGA（3）直线CD、AF交于点G，若tan∠A=

ED

COFB

基本图二：圆心在斜边上

如图，已知直角△ABC中，∠C为直角，点O为AB上一点，以O为圆心，OA长为半径

C作⊙O与BC切于点D，交AB于点E。连接DE、DF。

DF结论：_____________________ ________________

H__________________________ __________________

OGB__________________________ ______________________ AE____________________________ ____________________ __________________________________________________ _________________________________________________

例4.（08年中考题）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F．⑴求证：DE是⊙O的切线；⑵若求

AC3?，AB5D F A B O

例5.（07年中考题）如图，等腰三角形ABC中，AC＝BC＝10，AB＝12。以BC为直径作

⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E。 (1)求证：直线EF是⊙O的切线； A (2)求sin∠E的值。

F D G

C E B O

AF的值。 DFC E

例5.（09年中考）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90，AD⊥BC于点D，点O是AC边上一点，连接BO交AD于点F，OE⊥OB交BC于点E。

ACOF?2时，如图，求的值； ABOEACOF?n时，请直接写出（3）当O为AC边中点，的值。 ABOEB（1）求证：△ABF∽△COE；（2）当O为AC边中点，

D

F E AC O

练习：

1. 如图所示，梯形ABCD，AD∥BC，DC⊥BC，AD+BC=AB, 以AB为直径的⊙O交BC于点E，连结OC、BD交于点F．

A D （1）求证：DC与⊙O相切； （2）若

F

E C B

2.（2011年5月调考）如图，ΔABD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，C为BD弧的中点，AC、BD交于点E。

（1）求证：ΔCBE∽ΔCAB；（2）若S△CBE：S△ABC=1：4，求sin∠ABD的值。 D CE

AO B

3. 如图1，已知AD∥BC，AC与BD交于点O，过点O作EF平行BC。 （1）求证：OE=OF；

（2）如图2,若AD不平行BC，AC与BD交于点O，过点O作EF平行BC，交AD的延长线于

BE3BF?，求的值． BA5FDO 点G，求证：OG?GE?GF

（3）如图1，若AD=a，BC=b，则 EF的长为__________。

AEOFD2ADEOFGB图1CB图2C

（母子型相似）如图，D为△ABC的AB边上的一点，且∠CBCD=∠A。则有：△BCD～△ BAC ABD

例1.（2011年中考题） 如图，PA为⊙O的切线，A为切点.过A作OP的垂线AB，垂足为点C，交⊙O于点B.延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E.

（1）求证：PB为⊙O的切线； （2）若tan∠ABE=

1，求sinE的值. 2

练习：

1.（03年北京市中考题）已知：在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，以C为圆心，CD为半径的半圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点

AM，且∠B=∠CAE，EF:FD=4：3. （1）求证：AF=DF；（2）求∠AED的余弦值；

F（3）若BD=10，求△ABC的面积。 M BED C

2.（2012年全国联赛） 如图，⊙O的内接四边形ABCD中，AC，BD是它的对角线，AC的中点I是△ABD的内心.求证：

（1）OI是△IBD的接圆的切线； （2）AB+AD=2BD.

3. （2011年四月调考题）如图，等腰ΔABC内接于⊙O，BA?CA，弦CD平分?ACB，交AB于点H，过点B作AD的平行线分别交AC，DC于点E，F。 (1)求证：CF?BF；

(2)若BH?DH?1，求FH的值。

练习：

1. 如图，△CDF是等边三角形，且∠ACB=120,点E是DF上一点，且∠ECF=∠B，则下列

AC2AD?结论：①CD?AD?BF；②;③BC2BF2CED?EA?EF?EB；④

BE结论有___________个。

2.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，FG垂直平分AD，交AB、AD及BC

111??。正确的ACBCCEADF的延长线于F、E和G。求证：DG?CG?GB

AFEBDCG2

3.（06年中考题）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点G，连接BE交AC于F，连接FD，若∠BFA=90°，且点E为AD的中点，则下列四对三角形：①△BEA和△ACD；②△FED和△DEB；③△CFD和△ABG；④△ADF与△CFB。其中相似的为（ ）

A.①④ B. ①② C. ②③④ D. ①②③

AFEDGBC4. 如图，抛物线y?x2?2x?3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，抛物线上在y轴右侧是否存在一点P，使∠PCA=45°，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

5.如图，抛物线y??x2?2x?3与x轴交于A

、B两点，与y

CAOBC轴交于C点，抛物线上是否存在一点P，使∠PCB=∠ACB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

（射影定理）（09年4月调考）如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且

AOBADCD?， CDBD求证：∠ACB=90°。

例1. （07年4月调考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=6,AB=10，以AC为直径作⊙O交AB于E，D为BC上一点，连AD交⊙O于G，连CG、BG。 （1）求证：CD?DG?DA；

（2）连CE，若∠CBG=∠GCE，求BD的长。

2BDCGOEA

2. （2010年四月调考）已知，抛物线y?12x?4x?9与x轴交于A（-9,0），B（-3,0），3顶点为D。对称轴与x轴交于点E，点P为抛物线上一点，PF⊥PD交对称轴于F。是否存在P，使得点E位DF的三等分点。若存在，请求出点P的坐标？

C F P

E

AOB

D

3. （07年四月调考）如图，直线y?kx?k2（k>0）与x

轴交于点A，与y轴交于点C，与抛物线y?ax2有唯一公共点B，点B在x轴上的正投影为点E，已知点D（0,4）。

（1）求抛物线的解析式；(2)是否存在实数k，使经过D、O、E三点的圆与抛物线的交点刚好为点B？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由。 （2）如图2，连接DE、CE，已知点F（0,1），直线FA与CE相交于点M，直线AC与DE相交于点N，不论k取何值，求证：∠ENM=∠NCD恒成立

B BD

D NEFE OAOA M C C

4. （2009年四月调考）如图，已知等腰Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC边上一动点，BC=nDC，CE⊥AD于点E，延长BE交AC于点F。 （1）若n=3，则

CEAE=__________，=__________； DEDEA（2）若n=2，求证：AF=2FC；

EBDCF（3）当n=_________，F为AC的中点。

5. 已知抛物线y??x2?2x?3交x轴于A（-1,0），B（3,0），与y轴交于点C，，在抛物线上是否存在点P，使得△ACP的外接圆圆心在CP上，若存在，求出点P的坐标？

DCAOB

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