应用最优控制答案

应用最优控制答案

【篇一：最优控制的应用概述】

1.引言

最优控制是现代控制理论的重要组成部分，它研究的主要问题是：在满足一定约束条件下，寻求最优控制策略，使得性能指标取极大值或极小值。最优控制是使控制系统的性能指标实现最优化的基本条件和综合方法。可概括为：对一个受控的动力学系统或运动过程，从一类允许的控制方案中找出一个最优的控制方案，使系统的运动在由某个初始状态转移到指定的目标状态的同时，其性能指标值为最优。最优控制是最优化方法的一个应用。从数学意义上说，最优化方法是一种求极值的方法，即在一组约束为等式或不等式的条件下，使系统的目标函数达到极值，即最大值或最小值。从经济意义上说，是在一定的人力、物力和财力资源条件下，是经济效果达到最大（如产值、利润），或者在完成规定的生产或经济任务下，使投入的人力、物力和财力等资源为最少。

最优控制理论是研究和解决从一切可能的控制方案中寻找最优解的一门学科，基本内容和常用方法包括动态规划、最大值原理和变分法。这方面的开创性工作主要是由贝尔曼（r.e.bellman）提出的“动态规划”和庞特里亚金等人提出的“极大值原理”，到了60年代，卡尔曼（kalman）等人又提出了可控制性及可观测性概念，建立了最优估计理论。这方面的先期工作应该追溯到维纳（n.wiener）等人奠基的控制论（cybernetics）。最优控制理论的实现离不开最优化技术。控制系统最优化问题，包括性能指标的合理选择以及最优化控制系统的设计，而性能指标在很大程度上决定了最优控制性能和最优控制形式。最优化技术就是研究和解决最优化问题，主要包括两个需要研究和解决的方面：一个是如何将最优化问题表示为数学模型；另一个是如何根据数学模型尽快求出其最优解。 1 2 3 4 5

【篇二：倒立摆系统的最优控制应用研究】

txt>张弛

（1兰州理工大学机电工程学院甘肃兰州，730050）

摘 要：针对倒立摆系统的不稳定性，对最优控制理论在倒立摆控制系统中的应用进行了分析, 设计l q r 控制器，并在倒立摆实验装置上进行了实验。实验结果表明设计的控制器是有效的，对倒立摆系统的平衡稳定控制效果好，提高了系统的抗干扰能力。关键词：倒立摆；最优控制；matlab仿真

abstract: this paper reviews the applications of theory of

optimal control for inverted pendulum, design a lqr controller. simulation and experiment show that the presented method is effective. and system has good stability and good robustness. key words: inverted pendulum ; optimal control ; matlab simulation

中图分类号：tp13 0 引 言

倒立摆作为典型的快速、多变量、非线性、不确定系统, 一直是控制领域研究的热点。许多研究人员一直将它视为典型的研究对象，不断从中发掘出新的控制策略和控制方法。其控制方法在军工、航天、机器人领域及一般工业过程中都有着广泛的应用。针对不稳定的倒立摆系统的平衡控制，应用最优控制理论设计控制器。 1 线性二次最优控制lqr基本原理及分析

线性二次最优控制lqr基本原理，由系统方程： x=ax+bu

确定下列最佳控制向量的矩阵k： ?? ?? =??????(??)

使得性能指标达到最小值：

??= (????????+????????)???? 0∞1

式中，q 为正定( 或正半定)厄米特或实对称阵；r 为正定厄米特或实对称阵。 方程右端第二项是考虑到控制能量的损耗而引进的，矩阵q和r确定了误差和能量损耗的相对重要性。并且假设控制向量u(t)是无约束的。 对线性系统：

??=????+???? ??=????

根据期望性能指标选取q和r，利用matlab命令lqr 就可以得到反馈矩阵k的值。

k=lqr(a，b，q，r)

改变矩阵q的值，可以得到不同的响应效果，q的值越大(在一定的范围之内)，系统抵抗干扰的能力越强，调整时间越短。但是q不能过大。

2 倒立摆lqr控制参数调节及仿真

针对直线型一级倒立摆系统应用lqr法设计与调节控制器，控制摆杆保持竖直向上平衡的同时，跟踪小车的位置，倒立摆最优控制lqr控制原理图如图1所示。

图1 倒立摆最优控制lqr控制原理图

直线一级倒立摆系统的以小车加速度作为输入的系统状态方程： 0??0?? 01 ? + ?? 100?3 ??

??1000?? 0??= ? =? + ??′ 00100?

假设全状态反馈可以实现（四个状态量都可测），找出确定反馈控制规律的向量k。在matlab中得到最优控制器对应的k。lqr 函数允许你选择两个参数——r和q，这两个参数用来平衡输入量和状态量的权重。

最简单的情况是假设r=1，q=ctc。当然，也可以通过改变q矩阵中的非零元素来调节控制器以得到期望的响应。 10000000q=ct?c=00100000

其中，q1,1代表小车位置的权重，而q3,3是摆杆角度的权重，输入的权重r是1 。matlab 语句为k=lqr(a，b，q，r)。求得 k=[-1 -1.7855 25.422 4.6849]

在simulink 中建立直线一级倒立摆的模型如图2所示。 ?? 0?? 0 = ?00?100000029.4

图2 直线一级倒立摆lqr控制仿真模型 得到如下仿真结果：

lqr控制的阶跃响应如图3 所示，其中cart pos 为小车的位置曲线，cart spd 为小车的速度曲线，pend ang为摆杆角度曲线，pend spd为摆杆角速度曲线，从图中可以看出，闭环控制系统响应的超调量很小，但稳定时间和上升时间偏大，我们可以通过增大控制量来缩短稳定时间和上升时间。 图3 lqr控制的阶跃响应

可以发现，q 矩阵中，增加q1,1使稳定时间和上升时间变短， 并且使摆杆的角度变化减小。

这里取q1,1=1000，q3,3=200。则 k=[-31.623 -20.151 72.718 13.155]

输入参数，运行得到响应曲线如图4 所示 图4 直线一级倒立摆响应曲线

从图中可以看出，系统响应时间有明显的改善，增大q1, 1和q3, 3，系统的响应还会更快，但是对于实际离散控制系统，过大的控制量会引起系统振荡。

3 直线一级倒立摆lqr实时控制

实时控制实验在matalb simulink 环境下进行，直线一级倒立摆l q r 实时控制模块如图5所示。 图5 l q r 实时控制模块

实时控制模块“real control”模块如图6 所示。 图6 real control 模块内部结构

其中“pendulum”模块为倒立摆系统输入输出模块，输入为小车的速度“v e l ”和“a c c ”，输出为小车的位置“pos”和摆杆的角度“angle”。“pendulum”模块内部结构如图7 所示。 图7“pendulum”模块内部结构

其中“set cart’s acc and vel”模块的作用是设置小车运动的速度和加速度，“get cart’s position”模块的作用是读取小车当前的实际位置，“get pend’s angle”的作用是读取摆杆当前的实际角度。 4 结 论

输入参数k值：k=[-31.623 -20.151 72.718 13.155]，运行结果如图8 所示

图8 直线一级倒立摆lqr控制实时控制结果

其中图片上半部分为小车的位置曲线，下半部分为摆杆角度的变化曲线，从图中可以看出，在给定外界干扰后，小车可以在1 . 5 秒内回到平衡位置。达到了较好的控制效果。 参考文献

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[6]吴晓莉.matlab辅助模糊系统设计[m].西安:西安电子科技大学出版社,2002.

【篇三：现代控制工程大作业】

............................................................................................... 1 一、系统设计及仿真分

析 ....................................................................... 1 1、确定被控系统状态空间表达

式 ................................................................................. 1 2、系统能控、能观性判

别 ............................................................................................. 1 3、系统极点配

置 ............................................................................................................. 1

4、确定状态反馈增益矩阵

f ......................................................................................... 2 5、确定输入变换线性放大器

k ..................................................................................... 2 6、验证跟踪单位斜坡输入信号的稳态误差ev ............................................................. 2 7、利用simulink建立控制系统的动态仿真模型 ................................................... 3 （1）跟踪单位阶跃信号的动态仿真分

析 ................................................................. 3 （2）跟踪单位斜坡信号的动态仿真分

析 ................................................................. 3 二、采用全维状态观测器的状态反馈系统............................................... 4 1、配置闭环系统状态观测器极

点 ................................................................................. 4 2、确定观测器偏差反馈增益矩阵

g ............................................................................. 4 3、利用simulink建立系统动态仿真模

型 ............................................................... 5

（1）对单位阶跃输入信号仿真分

析 ......................................................................... 5 ................................................ 6

4、与采用直接状态反馈的控制系统仿真结果比较 ..................................................... 7

?(0)?0时的仿真结果比较 .............................................................. 7 （1）x(0)?0且x

?(0)??222?时的仿真结果比较 .................................................. 7 （2）x(0)?0且x

5、单位阶跃输入作用下状态估值误差收敛性分析 ..................................................... 8 （1）收敛过程分

析 ..................................................................................................... 8

（2）收敛速度与状态观测器极点的关系及对系统性能的影响 ............................. 9

三、实现状态反馈的降维观测器设计 .................................................... 10

1、通过线性变换使状态向量按输出可检测性分解 ................................................... 10 2、确定降维观测器的反馈增益矩

阵 ........................................................................... 11 3、列写降维观测器状态方程并重构原系统状态 ....................................................... 11 4、利用simulink建立系统动态仿真模

型 ............................................................. 12 （1）跟踪单位阶跃信号的动态仿真分

析 ............................................................... 12 （2）跟踪单位斜坡信号的动态仿

真 ....................................................................... 13 题目

二： .............................................................................................. 15 一、线性二次型最优控制律设

计 ........................................................... 15 1、判断系统是否具有最优控制

律 ............................................................................... 15

2、非零给定点的最优控制设计及仿真分

析 ............................................................... 15 3、权矩阵的各权值对动态性能的影响分

析 ............................................................... 17 （1）固定q22?q33?1 ，使 q11分别取1，10,100,1000 ..................................... 17

（2）固定q11?q33?1 ，使 q22分别取1，10,100,1000 ..................................... 18

（3）固定q11?q22?1 ，使 q33分别取1，10,100,1000...................................... 19

4、使系统具有良好动、静态性能的线性二次型最优控制 ....................................... 20

题目一： 设被控系统的传递函数为go(s)?1，现在采用带有输入变换的状态反馈控s(s?6)(s?12)

制（如教材图5-15）改善系统的性能，要求控制系统满足如下性能指标：超调量??5%；调节时间ts?0.5秒；跟踪阶跃输入信号的稳态误差ep?0；跟踪单位斜坡输入信号的稳态误差ev?0.2。

(1)根据控制系统综合指标设计状态反馈增益矩阵f及输入变换线性放大器k，并在simulink中建立控制系统的动态仿真模型，对系统的动态和静态性能进行仿真分析。

(2)根据控制系统的响应速度，合理确定状态观测器系统矩阵期望特征值的分布，设计对状态向量x进行估计的全维状态观测器以实现状态反馈，并保证控制系统的性能仍满足要求；在simulink中建立采用状态观测器实现状态反馈的控制系统的动态仿真模型，对系统的动态和静态性能进行仿真分析，并与采用直接状态反馈的控制系统仿真结果比较；观察

?与状态真实值x的误差的收敛过程，并研究状态估计误差单位阶跃输入作用下状态估计值x

收敛速度与状态观测器极点的关系及其对系统性能的影响。

(3)设系统输出量可准确测量，试设计实现状态反馈的降维观测器，在simulink中建立采用降维状态观测器实现状态反馈的控制系统的动态仿真模型，对系统的动态和静态性能进行仿真分析。 一、系统设计及仿真分析

1、确定被控系统状态空间表达式 被控系统传递函数为 go(s)?1 s(s?6)(s?12)

则其能观型状态空间表达式为

??0????1?x????0??y??0?00??1???0?72??x??0?u ?1?18???0??01?x

2、系统能控、能观性判别

系统能控性判别矩阵qc?b??100?? aba2b??010????001??? 则rankq所以系统完全能控；又因为其状态空间表达式为能观标准型，所以系c?3?n， 统完全能观。

综上所述，此系统既能控又能观。 3、系统极点配置

根据系统性能指标要求：??5%，ts?0.5 1 ??

??2?由??e

取?n?11。 可推出??0.690107，取??0.7；由ts??5%，3.5??n??0.7，得?n?10，?0.5， ?n2

根据经典控制理论，二阶系统闭环传递函数标准形式为?(s)?2，将s?2??ns??n2

???0.7，?n?11代入式s2?2??ns??n2?0，得期望的闭环主导极点为?1,2??7.7?j7.8556；

选择一个期望的闭环非主导极点离虚轴为主导极点的5倍以上，即??3??7.7?6??46.2。则期望的闭环特征多项式为

p*(s)?(s??1*)(s??2*)(s??3*)?s3?61.6s2?832.48s?5590.2 4、确定状态反馈增益矩阵f

由上已知，系统完全能控，所以可以通过状态反馈任意配置系统闭环极点。应用matlab极点配置函数求解状态反馈增益矩阵，代码如下：

a=[0 0 0;1 0 -72;0 1 -18];b=[1;0;0]; p=[-7.7+j*7.8556;-7.7-j*7.8556;-46.2]; f=place(a,b,p)

求得状态反馈增益矩阵f??f1f2f3???43.6?24.32888.8? 5、确定输入变换线性放大器k

根据题目要求，跟踪单位阶跃参考输入信号的稳态误差

ep?1?c(?a?bf)?1bk?0，求得k?5590.2，则带有输入变换的状态反馈系统传递函数

gf(s)?k5590.2?p(s)s?61.6s?832.48s?5590.2

6、验证跟踪单位斜坡输入信号的稳态误差ev

将带有输入变换的状态反馈系统等效为具有单位负反馈的闭环系统，系统方框图如下所示：

图1-1等效单位负反馈闭环系统方框图 则系统传递函数?(s)? 求得，

g(s)?g(s)5590.2 ?gf(s)?31?g(s)s?61.6s2?832.48s?5590.25590.2 s3?61.6s2?832.48s

s?0对于单位斜坡输入信号，r(s)?1/s2；则ev?limse(s)?lim 所以，所设计系统能满足要求系统性能指标。 2

sr(s)?0.149?0.2 s?01?g(s)

7、利用simulink建立控制系统的动态仿真模型 图1-2带有输入变换的状态反馈系统

（1）跟踪单位阶跃信号的动态仿真分析

为便于输出图形数据的观察比较，在t=0.5s处输入单位阶跃响应，仿真结果如下图所示： 图1-3单位阶跃响应

图1-4单位阶跃响应局部放大图

静态性能分析：由图1-3可知，系统满足跟踪阶跃输入信号的稳态误差ep?0。

动态性能分析：从局部放大图1-4中易知，超调量??1.05?1调节时间ts?0.5秒?5%，1

（注意：为便于观察，本实验中单位阶跃信号在t=0.5s时刻输入），系统满足设计要求。

（2）跟踪单位斜坡信号的动态仿真分析

在t=0处输入单位阶跃响应，仿真结果如下图所示： 3

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